田社平，張 峰

(上海交通大學 電子信息與電氣工程學院，上海200240)

一階電路的響應由電路的初始狀態(tài)、電路激勵和電路的時間常數(shù)所決定，其中時間常數(shù)反映了一階電路的特性，即電路的響應具有隨時間衰減的指數(shù)函數(shù)形式［1］。對直流激勵的一階電路，采用三要素法求解響應時，時間常數(shù)亦是三要素之一。盡管時間常數(shù)的定義非常簡單，對RC 電路，時間常數(shù)τ=RC;對RL 電路，τ=L/R。但筆者在教學實踐中發(fā)現(xiàn)，隨著一階電路形式的不同，其時間常數(shù)的確定也有繁簡之分，學生在計算時間常數(shù)時也常產(chǎn)生一些疑難之處。具體發(fā)生在:①一階電路由多個動態(tài)元件和/或多個電阻元件構(gòu)成時;②一階電路包括運算放大器時;③一階電路包括全耦合電感元件時的時間常數(shù)計算。筆者結(jié)合教學實踐，試對上述問題作一討論。

1 時間常數(shù)的一般求法

現(xiàn)在，我們介紹幾種確定時間常數(shù)的常見方法。

［方法1］如果列出的電路方程為

式中，x(t)和w(t)分別為電路電壓或電流變量和電路激勵;τ 和a 為常數(shù)，τ 就是電路的時間常數(shù)，即時間常數(shù)等于一階電路方程特征根倒數(shù)的負值。這個方法的優(yōu)點是比較直觀，缺點是必須列寫電路方程，求解過程顯得較為復雜。

［方法2］當一階電路僅包含一個動態(tài)元件(或雖包含若干個同類型的動態(tài)元件但這些動態(tài)元件可等效為一個動態(tài)元件)時，首先求出從動態(tài)元件(或等效動態(tài)元件)兩端看進去的等效電阻，然后可利用τ=RC 或τ =L/R 計算出時間常數(shù)。這是一種比較簡單的計算時間常數(shù)的方法，大多數(shù)一階電路的時間常數(shù)都可按該方法確定。

［方法3］從式(1)可以看出，一階電路的時間常數(shù)與電路的激勵無關。為方便起見，在求時間常數(shù)時可將電路的激勵(電壓源或電流源)置零，然后利用τ=RC 或τ=L/R 就可以計算出時間常數(shù)。

［方法4］時間常數(shù)等于一階電路固有頻率倒數(shù)的負值，因此如能求得電路的s 域網(wǎng)絡函數(shù)，則通過網(wǎng)絡函數(shù)也可求得時間常數(shù)。

對于簡單的一階電路，時間常數(shù)的確定可采用上述任一方法。當一階電路具有較復雜的形式時，則上述方法的繁簡程度有較大的區(qū)別。

2 一階電路時間常數(shù)的計算

2.1 多個動態(tài)元件/電阻元件構(gòu)成的電路［2］

如圖1所示的電路包含兩個電容，但兩個電容和電壓源構(gòu)成一個回路，因此為一階電路。首先運用［方法1］來求時間常數(shù)。

圖1 由兩個電容和兩個電阻構(gòu)成的電路

以電容電壓為電路變量列寫KVL 和KCL 方程，得

由上式得到

比較上式和式(1)，可以看出時間常數(shù)為

也可運用［方法3］來計算時間常數(shù)。將圖1電路的電壓源置零，可以看出，電路由R1、R2、C1、C2并聯(lián)構(gòu)成，因此電路時間常數(shù)滿足式(4)。

可見，當一階電路由多個動態(tài)元件和/或多個電阻元件構(gòu)成時，一種較為簡便的求時間常數(shù)的方法是將電路的激勵置零，然后將電路等效變換為RC電路或RL 電路，再直接寫出時間常數(shù)。

2.2 一階電路包含運算放大器

如圖2所示為常見的含運算放大器的一階電路。由于運算放大器工作于線性區(qū)，因此運算放大器滿足“虛短”和“虛斷”特性。采用［方法2］求電路的時間常數(shù)時，可先求出從電容兩端看出去的等效電阻。值得注意的是，運算放大器是有源元件，因此在求等效電阻時，無法采用電路的等效變換方法，而必須采用外施電源方法。

圖2 含運算放大器的一階電路

對圖2(a)電路，采用外施電源方法求從電容兩端看出去的等效電阻，將電壓源uS置零，由運算放大器的“虛短”特性，可知從電容兩端看出去的等效電阻為R1，因此電路的時間常數(shù)為τ =R1C。類似地，對圖2(b)電路，電路的時間常數(shù)為τ=R3C。

對圖2(c)電路，我們將電壓源uS置零，用電壓源或電流源替換電容C，如圖3所示。由運算放大器的“虛短”特性可知，電阻R1兩端電壓為零，因此i1=0。又由“虛斷”特性，得到i2=i1=0?？梢?，從電容兩端看出去的等效電阻為u/i =R2+R3，因此圖2(c)電路的時間常數(shù)為τ=(R2+R3)C。

圖3 外施電源法求等效電阻

我們也可采用［方法4］來求時間常數(shù)。取運算放大器輸出端電壓與輸入電壓之比為網(wǎng)絡函數(shù)，則圖2(a)和2(c)所示電路的s 域網(wǎng)絡函數(shù)分別為

對于圖2(b)電路，如取運算放大器輸出端電壓與輸入電壓之比為網(wǎng)絡函數(shù)，則無法求出時間常數(shù)，此時可取電容兩端電壓與與輸入電壓之比為網(wǎng)絡函數(shù)，即

由式(5)和式(6)可以看出，采用［方法4］得到的時間常數(shù)和［方法2］相同。

2.3 一階電路包含全耦合耦合電感元件

如圖4(a)所示為一含全耦合電感的電路，由于耦合系數(shù)為1，該電路為一階電路。為求時間常數(shù)，可將圖4(a)電路等效為圖4(b)或圖4(c)電路［3］。

圖4 含全耦合電感的一階電路

采用［方法2］，由圖4(b)電路，L1兩端看出去的等效電阻為R1//(L1/L2)R2，因此時間常數(shù)為

由圖4(c)電路亦可得到相同的結(jié)果?？梢姡瑢詈想姼性囊浑A電路，可采用上述等效變換求出等效電路，再通過［方法2］求得時間常數(shù)。

當然，采用［方法1］或［方法4］也可得到相同的結(jié)果，由于篇幅所限，不再贅述。

3 結(jié)語

時間常數(shù)在電路理論或電路分析中是一個比較簡單的概念，其含義十分明確，但具有重要的物理意義，即它決定了一階電路的響應特性?；蛟S正是因為概念明確，因此在目前的電路教材中沒有安排專門的章節(jié)來討論時間常數(shù)的計算。本文結(jié)合教學實踐，討論了三類一階電路時間常數(shù)的求法，這三類情況都是筆者在教學中學生感到較為疑惑的地方。通過歸納總結(jié)，可使學生更好地理解時間常數(shù)的含義及其計算方法。

［1］ 李瀚蓀. 簡明電路分析基礎［M］. 北京:高等教育出版社.2002

［2］ 陳洪亮，田社平，吳雪等. 電路分析基礎［M］. 北京:清華大學出版社. 2009

［3］ 田社平，陳洪亮，趙艾萍等. 含全耦合電感電路的求解［J］.南京:電氣電子教學學報，2008，30(1):27 －29