郭繼文

(西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系，陜西 西安710014)

“電路分析”課程中，理想變壓器歷來是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。對(duì)這一部分的教學(xué)內(nèi)容有必要進(jìn)行深入的研究和探討，使學(xué)生能夠深刻理解理想變壓器作為電路元件模型的主要特性，并掌握相關(guān)的分析計(jì)算。

1 關(guān)于理想變壓器的定義

大部分教材中對(duì)理想變壓器都有一個(gè)敘述式的定義［1］:理想變壓器是實(shí)際變壓器的理想化模型。是對(duì)實(shí)際變壓器的科學(xué)抽象，可以看作是極限情況下的耦合電感元件，其電路符號(hào)仍采用耦合電感元件的符號(hào)(圖1)。理想變壓器的三個(gè)理想化條件是:①變壓器無損耗，即認(rèn)為線圈的導(dǎo)線無電阻(通常叫做無銅損)，芯子的鐵磁材料的磁導(dǎo)率為無限大(通常叫做無鐵損);②耦合電感元件的耦合系數(shù)k=1，即全耦合;③參數(shù)無限大，即L1→∞，L2→∞，M→∞，但是滿足

圖1 理想變壓器的電路符號(hào)

教材［2］利用伏安特性(即VCR)定義理想變壓器，即將理想變壓器視作一個(gè)理想電路元件加以定義:理想變壓器是一種二端口元件，其電路符號(hào)仍與圖1相同。理想變壓器的VCR 為

式中，n 稱為理想變壓器的變比，是理想變壓器的唯一參數(shù)。

采用前一種定義方式進(jìn)行教學(xué)，比較符合學(xué)生的思維慣性，符合從個(gè)別到一般，從具體到抽象，從感性到理性這一認(rèn)識(shí)上飛躍的規(guī)律，并且和學(xué)生在中學(xué)物理和大學(xué)物理課中的已有知識(shí)相銜接。而且學(xué)生對(duì)理想變壓器相關(guān)知識(shí)的掌握比較具體，如初級(jí)線圈、次級(jí)線圈和同名端等。但在學(xué)生的頭腦中建立的理想變壓器是依賴于電磁感應(yīng)工作的電路元件這一似是而非的認(rèn)知。這里，理想變壓器是被集中描述為變換交變電壓及交變電流的理想化的電路元件模型［3］。

采用教材［2］的定義方式進(jìn)行教學(xué)，是從一般到個(gè)別、從抽象到具體及從理論到實(shí)踐，同樣也是一種認(rèn)識(shí)的飛躍。這種教學(xué)方法比較抽象，對(duì)學(xué)生而言，理解起來有一定的難度，但可以立即觸及理想變壓器這一元件的本質(zhì)。理想變壓器本質(zhì)上是一種線性二端口電阻元件，盡管它采用耦合電感元件的電路符號(hào)，因?yàn)樗奈ㄒ粎?shù)只是變比n，而不是電感L1、L2和互感M 等。就理想變壓器的定義式(即VCR)而言，它并非一種依靠電磁感應(yīng)工作的電路元件，理想變壓器的定義式對(duì)電壓、電流的頻率和波形沒有任何限制，直流也是適用的。利用電磁感應(yīng)來近似描述理想變壓器概念僅適用于時(shí)變的電壓和電流。這時(shí)的理想變壓器可以看成是滿足一定理想化條件的耦合電感元件，但它又和耦合電感元件有本質(zhì)的區(qū)別。當(dāng)耦合電感元件的電感L1、L2和互感M等參數(shù)由小變大，以至于大到無窮時(shí)，量變引起質(zhì)變［4］。理想變壓器和耦合電感元件就有了本質(zhì)的不同，這是對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證法教育的最好事例。

2 關(guān)于理想變壓器的特性方程

關(guān)于理想變壓器特性方程的具體推導(dǎo)，文獻(xiàn)［5］給出了詳細(xì)討論，基本涵蓋了大多數(shù)教材的推導(dǎo)方法。但在教學(xué)中還是有需要注意的一些問題。

在理想變壓器的特性方程中，u1= nu2和i1=－(1/n)i2所滿足的理想化條件并不相同，二者是各自在不同條件下獲得的獨(dú)立關(guān)系式，二者不是聯(lián)列關(guān)系［6］。在無損耗的情況下，由耦合電感元件端口電壓—電流特性方程，得

另一方面，如果設(shè)初級(jí)線圈和次級(jí)線圈的匝數(shù)分別為N1和N2，全耦合k =1 時(shí)的耦合磁通為Φ，則有

兩式相比，有u1/u2=N1/N2。于是，u1/u2=N1/由此還可以得到變比n 的意義為n=N1/N2。這一部分內(nèi)容在教學(xué)中一般不會(huì)引起異議。但是在推導(dǎo)i1=-(1/n)i2會(huì)出現(xiàn)問題。

由耦合電感元件端口電壓—電流特性方程的第一式:u1=L1di1/dt+Mdi2/dt 可得

文獻(xiàn)［4］和［6］采用兩邊取不定積分的辦法，得

這時(shí)，加上第三個(gè)理想化條件，即參數(shù)L1和L2同比趨于無窮大，且有可得i1/i2但文獻(xiàn)［4］在得到這一結(jié)論時(shí)提及了積分常數(shù)，指出略去兩線圈中的任何直流電流分量，僅對(duì)時(shí)變電流部分而言得此結(jié)果。文獻(xiàn)［6］并沒有提及積分常數(shù)，直接得到結(jié)果這是教學(xué)中應(yīng)該注意的一個(gè)問題。

文獻(xiàn)［5］采用的是兩邊取定積分，即

并給出條件i1(-∞)=i2(-∞)=0，便可得到結(jié)論這樣，可避免積分常數(shù)的問題。

實(shí)際上，在這里也可以從實(shí)際的鐵芯變壓器出發(fā)，加上理想化條件，根據(jù)安培環(huán)路定律推導(dǎo)電流變換關(guān)系［5］，但這需要學(xué)生具有相應(yīng)的知識(shí)儲(chǔ)備。

特性方程中正負(fù)號(hào)與同名端位置的關(guān)系應(yīng)該讓學(xué)生掌握。事實(shí)上，在列寫理想變壓器特性方程時(shí)，當(dāng)選取u1和u2的參考方向?qū)ν艘恢聲r(shí)，其電壓關(guān)系式為u1=nu2。當(dāng)選取i1和i2的參考方向?qū)ν艘恢聲r(shí)，電流關(guān)系式為i1=-(1/n)i2。

3 理想變壓器的功率和能量

計(jì)算理想變壓器的兩個(gè)端口在任意時(shí)刻吸收的瞬時(shí)功率，絕大多數(shù)教材都是將理想變壓器VCR 的兩個(gè)方程相乘得到

由此得出結(jié)論，在任意時(shí)刻理想變壓器吸收的瞬時(shí)功率為零，所以有功功率和無功功率均為零，理想變壓器既不消耗能量，也不儲(chǔ)存能量。只是從初級(jí)線圈輸入的能量全部都能從次級(jí)線圈傳輸給負(fù)載。理想變壓器是一個(gè)非動(dòng)態(tài)、無損耗和無記憶的耦合元件。但如果我們?nèi)绱私虒W(xué)，無法解釋其中的物理機(jī)理。學(xué)生會(huì)產(chǎn)生疑問，耦合電感元件有儲(chǔ)能，理想變壓器卻沒有儲(chǔ)能，為什么根據(jù)耦合電感元件抽象出來的理想變壓器會(huì)和耦合電感元件具有如此根本不同的性質(zhì)。

事實(shí)上，我們可以首先利用耦合電感元件的VCR 計(jì)算出耦合電感元件儲(chǔ)存的能量。

在電壓和電流取關(guān)聯(lián)參考方向下，耦合電感元件吸收的功率為

由于在t=-∞時(shí)，i1(-∞)=i2(-∞)=0，耦合電感元件無儲(chǔ)能。因此，從－∞到t 這段時(shí)間內(nèi)，耦合電感元件儲(chǔ)存的能量為

從上式可以看出，耦合電感元件的儲(chǔ)能并不為零。但考慮到理想變壓器的理想化條件，即k =1，或者，則有

再利用理想變壓器的特性方程:i1/i2=-1/n=代入上式，很容易得到

顯然，如果改變同名端的位置，也能得到同樣的結(jié)論。這說明，只要滿足理想變壓器的定義條件，在任意時(shí)刻，理想變壓器的儲(chǔ)能就恒等于零。這和大多數(shù)教材只是指出瞬時(shí)功率恒等于零相比更能說明理想變壓器既不消耗能量，也不儲(chǔ)存能量的本質(zhì)。

這里需要強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)。第一點(diǎn)，從上面的推導(dǎo)過程可以看出，必須滿足理想變壓器的全部理想化條件，才能得出儲(chǔ)能恒等于零這一結(jié)論。這也就說明了同樣作為實(shí)際變壓器電路模型的空心變壓器和全耦合變壓器不能得到這一結(jié)論的原因。另一方面，空心變壓器和全耦合變壓器均需要一定的勵(lì)磁電流維持其磁通［7］，所以無功功率一定不為零。而理想變壓器不需要?jiǎng)?lì)磁電流，其無功功率就為零，這也從另一個(gè)角度說明了理想變壓器是不依賴于磁場(chǎng)工作的。第二點(diǎn)，理想變壓器既不消耗能量，也不儲(chǔ)存能量的性質(zhì)是對(duì)端口外而言的，在其內(nèi)部，是存在著能量的傳輸和流動(dòng)。

4 結(jié)語

理想變壓器是“電路分析”課程的經(jīng)典內(nèi)容，屬于傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容，其定義也是給出耦合電感元件之后引出的。但是，關(guān)于理想變壓器的教學(xué)理念和教學(xué)方法仍值得深入探索和研究。就實(shí)際變壓器的電路模型而言，有空心變壓器、全耦合變壓器和理想變壓器之分。它們既有聯(lián)系，又有區(qū)別，尤其是理想變壓器和空心變壓器、全耦合變壓器有著本質(zhì)的區(qū)別。在教學(xué)中充分注意到這一點(diǎn)，就能取得更好的教學(xué)效果。

［1］ ［美］Charles K.Alexander，Matthew N.O.Sadiku.電路基礎(chǔ)［M］(第3 版)關(guān)欣等譯.北京:人民郵電出版社，2009年9月

［2］ 陳洪亮，張峰，田社平.電路基礎(chǔ)［M］.北京:高等教育出版社，2007年5月

［3］ 陳崇源.高等電路［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2000年3月

［4］ 李瀚蓀.簡明電路分析基礎(chǔ)［M］.北京:高等教育出版社，2002年7月

［5］ 陳希有，劉風(fēng)春，董維杰，李冠林.理想變壓器特性方程教學(xué)方法討論［J］. 南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào). 2010年 第32 卷 第4期55-58

［6］ 邱關(guān)源.電路［M］(第五版). 北京:高等教育出版社，2006年5月

［7］ 田化梅，錢菁.電路分析［M］武漢:湖北科學(xué)技術(shù)出版社，2004年10月