方 淼，方 帆

1.安徽大學(xué)江淮學(xué)院理工部,安徽合肥,230039；2.巢湖學(xué)院教務(wù)處,安徽巢湖,238000

自1990年，Pecora等發(fā)現(xiàn)了混沌可以被同步，并且用電路對混沌同步進行實現(xiàn)[1]后，混沌被用于保密通信成為信息安全領(lǐng)域研究的熱點。其中超混沌系統(tǒng)由于具有多個正的Lyapunov指數(shù)，動力學(xué)行為更加難以預(yù)測[2]，能為保密通信提供更高的安全性。因此許多研究人員在構(gòu)造新的超混沌系統(tǒng)方面進行了深入的研究，提出了一系列超混沌系統(tǒng)。Li等在Chen 系統(tǒng)的基礎(chǔ)上提出了超混沌Chen系統(tǒng)[3]；方淼將憶阻器引入Lü系統(tǒng)，構(gòu)建了一個四維超混沌系統(tǒng)，并采用等效電路對系統(tǒng)進行了實現(xiàn)[4]；阮靜雅等將二次型磁控憶阻器作為系統(tǒng)的正反饋項設(shè)計了Lorenz超混沌系統(tǒng)并進行了電路實現(xiàn)[5]；喬曉華等將憶阻元件引入Lü系統(tǒng)構(gòu)造了一種具有隱藏動力學(xué)特性的憶阻超混沌Lü系統(tǒng)[6]。這些超混沌系統(tǒng)往往通過在已有的典型三階混沌系統(tǒng)中引入非線性控制器來實現(xiàn)超混沌，電路結(jié)構(gòu)較復(fù)雜且實現(xiàn)有一定的難度。

文獻[7]提出通過給Chen系統(tǒng)施加正弦信號產(chǎn)生超混沌的方法，但施加的正弦信號要達到一定的頻率才能進入超混沌狀態(tài)。受此啟發(fā)，本文首先通過給經(jīng)典Rossler系統(tǒng)施加余弦激勵的方法，構(gòu)建了一種新穎的、改進型的Rossler超混沌系統(tǒng)，然后采用基本動力學(xué)方法對系統(tǒng)的特性進行了研究，當(dāng)余弦激勵信號的頻率達到一定值后，該系統(tǒng)處于恒定超混沌狀態(tài)。最后采用模擬器件設(shè)計并實現(xiàn)了相應(yīng)的電路，電路仿真的結(jié)果和數(shù)值仿真結(jié)論一致，驗證了該超混沌系統(tǒng)的可行性。

1 Rossler混沌系統(tǒng)

Rossler混沌系統(tǒng)可用常微分方程表示[8]為:

(1)

式中，x，y，z為3個狀態(tài)變量，a、b、c為Rossler系統(tǒng)的控制參數(shù)。當(dāng)a=0.2，b=0.2，c=5.7時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，設(shè)置初始條件為(1,1,1)時，系統(tǒng)生成一個單渦卷折疊混沌吸引子如圖1所示。

圖1 Rossler混沌系統(tǒng)的混沌吸引子

2 余弦激勵的Rossler系統(tǒng)

在Rossler混沌系統(tǒng)的第二個方程中添加余弦信號γcoswt作為激勵信號，激勵信號受參數(shù)a控制，其振幅為γ，角頻率為w，即可構(gòu)建出一種新的超混沌Rossler系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型表示為：

(2)

式中，x、y、z、w為狀態(tài)變量，a、b、c為經(jīng)典Rossler系統(tǒng)的控制參數(shù)，保持這些參數(shù)的數(shù)值不變，選擇余弦激勵信號的角頻率w作為系統(tǒng)唯一的可調(diào)節(jié)參數(shù)。

當(dāng)γ=0.6，w=10時，設(shè)置系統(tǒng)的初始條件為(1,1,1,1)，系統(tǒng)(2)產(chǎn)生的混沌吸引子如圖2所示。利用Wolf方法計算系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)可得LE1=0.057，LE2=0.015，LE3=0，LE4=-5.405，此時系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)為：

(3)

系統(tǒng)(2)有兩個Lyapunov指數(shù)大于0，且其Lyapunov維數(shù)為分數(shù)值，顯然該系統(tǒng)表現(xiàn)出了超混沌特性。

圖2 超混沌吸引子相圖

3 系統(tǒng)動力學(xué)分析

3.1 平衡點的穩(wěn)定性

(4)

相應(yīng)的特征方程為：

P(λ)=det(λE-JE)

(5)

計算可得其特征值為：

λ1，2=±5.14i，λ3=0.1922，λ4=0

λ1,2是一對共軛虛數(shù)，λ3為正實數(shù)。根據(jù)Routh-Hurwitz條件[9]可知平衡點E1為不穩(wěn)定結(jié)點。在平衡點E2附近線性化系統(tǒng)(2)，可得系統(tǒng)的Jacobian矩陣為：

(6)

計算可得其特征值為：

λ1，2=0.096±0.995i，λ3=-5.085，λ4=0λ1,2是一對具有正實部的共軛復(fù)數(shù)，λ3為負實數(shù)，可知平衡點E2為不穩(wěn)定的鞍焦點。

3.2 Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖

為了研究新引入的狀態(tài)變量的參數(shù)變化對系統(tǒng)(2)的動力學(xué)行為的影響，固定參數(shù)a=0.2，b=0.2，c=5.7，設(shè)置系統(tǒng)初值為(1,1,1,1)，當(dāng)γ=0.6時，取系統(tǒng)參數(shù)w∈[0, 15]，步長為0.01，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜如圖3所示。與之對應(yīng)的狀態(tài)變量y的分岔圖如圖4所示。

圖3 系統(tǒng)隨參數(shù)w變化的Lyapunov指數(shù)譜

圖4 狀態(tài)變量y隨參數(shù)w變化的分岔圖

由圖3、圖4可知，當(dāng)參數(shù)w在[0，15]區(qū)域內(nèi)變化時，除了w=1和9.6時，LE2從正數(shù)變?yōu)樨摂?shù)，此時LE1>0，LE3=0，LE4<0，Rossler系統(tǒng)僅有一個正的Lyapunov指數(shù)，系統(tǒng)處于混沌態(tài)，在其他區(qū)域內(nèi)LE1、LE2始終大于0，即Rossler系統(tǒng)始終處于超混沌狀態(tài)。且當(dāng)w增大到13后，LE1、LE2基本保持不變，即系統(tǒng)處于恒定的超混沌狀態(tài)，與其他憶阻超混沌系統(tǒng)相比，該系統(tǒng)不因控制參數(shù)w的擾動或微小變化而導(dǎo)致狀態(tài)發(fā)生變化，其結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，具有強魯棒性[10]，適于作為隨機信號源。

3.3 Poincaré截面

通過選取合適的Poincaré截面，可將系統(tǒng)隨時間的連續(xù)運動轉(zhuǎn)換為Poincaré截面上的一個離散映射[5]，降低系統(tǒng)的維數(shù),同時保持原系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)，便于對多變量的系統(tǒng)的混沌行為進行判斷。因此選取w=10，對系統(tǒng)作Poincaré截面分析。系統(tǒng)在x=-2截面上Poincaré映射如圖5所示，是典型的分型結(jié)構(gòu)，進一步說明了該系統(tǒng)的超混沌特性。

圖5 系統(tǒng)在x=-2截面上的Poincaré映射

4 電路實現(xiàn)

連續(xù)混沌系統(tǒng)可采用電阻、電容、運算放大器和模擬乘法器等分立元器件進行電路實現(xiàn)。本文提出的余弦激勵的Rossler超混沌系統(tǒng)，選用AD633模擬乘法器和LM741運放作為主要器件來搭建模擬電路。由于模擬乘法器的容許電壓范圍為±10V，運放的容許電壓范圍為±15 V。為確保實際電路的信號幅度在合適的動態(tài)范圍內(nèi)，不因過小而導(dǎo)致信號失真，因此在不改變系統(tǒng)性能的條件下需對系統(tǒng)狀態(tài)變量進行線性縮放。根據(jù)之前的數(shù)值仿真結(jié)果可知，超混沌吸引子的狀態(tài)變量x，y，z，v分別在-10～15，-15～10，0～25,0～2500范圍內(nèi)變化。因此對系統(tǒng)(2)的狀態(tài)變量進行線性縮放如下：

(x,y,z,v)→(2x,2y,2z,v)

(7)

變換后系統(tǒng)(2)對應(yīng)的電路方程為：

(8)

基于式(8)的電路狀態(tài)方程，可設(shè)計并實現(xiàn)電路原理圖如圖6所示。

圖6 超混沌系統(tǒng)的電路圖

選擇時間尺度因子τ=1/(RC)中的R=10 kΩ,C=1μF。與系統(tǒng)(2)比較，可得圖6中各元器件的參數(shù)分別為：

R7=50 kΩ

R1=R2=R6=10 kΩ

R3=R9=R13=100 Ω

R4=R8=R14=R12=R15=R16=R17

=R18=10 kΩ

R5=20 kΩ，R10=5 kΩ

C1=C2=C3=C=1 μF

A=0.6R11=1.8 kΩ

b=0.1

采用PSPICE對上述電路方程進行電路仿真，仿真結(jié)果如圖7所示。電路仿真結(jié)果和數(shù)值仿真結(jié)果基本一致，再次驗證了該超混沌電路的正確性。

圖7 超混沌系統(tǒng)的電路仿真圖

5 結(jié)論

本文通過對經(jīng)典Rossler混沌系統(tǒng)施加余弦激勵的方法，構(gòu)建了一種新穎的、改進型的Rossler混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)出現(xiàn)了恒定的超混沌特性。通過對系統(tǒng)的分岔圖、Poincare截面、Lyappunov指數(shù)譜等動力學(xué)特性進行分析，驗證了系統(tǒng)的超混沌特性。為了進一步驗證系統(tǒng)的動力學(xué)行為，采用通用的運算放大器和模擬乘法器實現(xiàn)了系統(tǒng)的模擬等效電路，并對該等效電路通過PSPICE進行了電路仿真，仿真結(jié)果和數(shù)值仿真以及理論仿真結(jié)果一致，驗證了電路的有效性和可實現(xiàn)性，為超混沌電路的同步控制應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。