☉安徽省靈璧縣第一中學(xué) 朱 松

立體幾何作為培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力及幾何直觀能力的重要工具，一直以來(lái)都是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，它作為高中數(shù)學(xué)的必修內(nèi)容，充分展現(xiàn)了學(xué)生的空間思維和直觀想象能力.在高考中，立體幾何章節(jié)不僅出現(xiàn)在解答題（直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算均能體現(xiàn)）中，在客觀題或填空題中也反復(fù)出現(xiàn).尤其在高考數(shù)學(xué)的小題中，更加注重從幾何角度來(lái)區(qū)別學(xué)生的思維層次，也真正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科中的直觀想象的核心素養(yǎng).

雖然近幾年的高考要求我們從幾何角度來(lái)關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展，但是學(xué)生依然不能夠明確地把握立體幾何的基本知識(shí)點(diǎn)，而且在平時(shí)的教學(xué)中，教師往往會(huì)注重向量法或者建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)解決問(wèn)題，而忽略了幾何的本質(zhì)教學(xué).在立體幾何中，異面直線所成的角、線面角及二面角通常是考查的重點(diǎn)，而在空間幾何體中找到這些角往往也是學(xué)生最為薄弱的環(huán)節(jié).本文以近幾年的立體幾何高考真題為例，一方面，從代數(shù)的角度出發(fā)，淺談數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的滲透與發(fā)展；另一方面，談?wù)勅绾螐膸缀蔚慕嵌葋?lái)解決點(diǎn)線面問(wèn)題，這也是對(duì)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng).

一、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)——建系

例1（2018年浙江卷19）如圖1所示，已知多面體ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2.

（1）證明：AB1⊥平面A1B1C1；

（2）求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值.

圖1

分析：本題中給出了幾何體中的許多信息，其中∠ABC=120°，可能在建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)造成一定的干擾，如何來(lái)建系呢？還是要準(zhǔn)確地找到對(duì)應(yīng)邊來(lái)確定x軸，y軸，z軸.因?yàn)锳1A垂直于平面ABC，所以A1A⊥AC，現(xiàn)在只需要找到既垂直于A1A，又垂直于AC的直線，就可以建立空間直角坐標(biāo)系，因此各點(diǎn)坐標(biāo)也能夠相應(yīng)得到，依據(jù)定理，若計(jì)算得到與平面A1B1C1中任意兩相交向量的數(shù)量積均為零，即可證明第（1）問(wèn)的結(jié)論；在第（2）問(wèn)中，運(yùn)用坐標(biāo)求出平面ABB1的法向量n，由平面幾何中的三角函數(shù)知識(shí)即可得出結(jié)論.

說(shuō)明：第（1）問(wèn)依據(jù)的是課本中的基本定理：若平面α外一條直線l垂直于平面內(nèi)兩條相交直線，則直線l垂直于平面α，而這里建立坐標(biāo)系的方法并不唯一，可以用AC的中點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，還可以用C點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)；第（2）問(wèn)是直線與平面所成角的問(wèn)題，最后歸結(jié)為直角三角形中三角函數(shù)值的問(wèn)題.

當(dāng)下的立體幾何教學(xué)出現(xiàn)了模式僵化的困擾，即建系在很多學(xué)生的頭腦中已經(jīng)根深蒂固，這是解決立體幾何甚至平面幾何問(wèn)題最暴力高效的辦法，值得掌握并熟練化.當(dāng)然，有些幾何體在建系的時(shí)候非常麻煩，這就要求我們必須從幾何的角度去解決問(wèn)題，空間幾何平面化是我們解決這類問(wèn)題的手段，凸顯了幾何直觀能力，是我們應(yīng)該關(guān)注的重點(diǎn)，也是高考復(fù)習(xí)中的要點(diǎn).

二、直觀想象素養(yǎng)——空間幾何平面化

AC1，這樣即為所求角的正弦值.

例2（2018年浙江卷8）已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段AB上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則（ ）.

我們?nèi)砸岳?中的第（2）問(wèn)為例，觀察在不建系的情況下，從純幾何的視角來(lái)找出線面角：因?yàn)锳點(diǎn)在平面上，找直線與平面所成的角只需要過(guò)C1作平面的垂線C1D，連接AD即可構(gòu)造出一個(gè)直角三角形ADC1，這樣要求的角就轉(zhuǎn)化為求∠C1AD，利用已知條件求出C1D和

圖2

分析：本題考查的是必修二中立體幾何的核心內(nèi)容：異面直線所成的角、線面角及二面角，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確地找到這些角，通常的做法是將這些空間角轉(zhuǎn)化為平面角.如圖2所示，E是AB上任意一點(diǎn)，首先要找到θ1，可將BC邊向左平移，使得B與E重合，且EC1與BC平行，∠SEC1即為θ1，因?yàn)镾E=SC1，取EC1的中點(diǎn)F，可知△SFE是直角三角形，且；若設(shè)正方形ABCD的中心是點(diǎn)O，則SO⊥平面ABCD，此時(shí)△SOE是直角三角形，且線面角θ2=∠SEO，即；平面SAB與平面CAB的交線是AB，根據(jù)二面角的定義，可知SG⊥AB，OG⊥AB，其中G是AB的中點(diǎn)，所以θ3=∠SGO，且△SOG是直角三角形，所以.我們將三個(gè)空間角平面化后進(jìn)行了量化，比較它們之間的大小只需要知道它們之間的量化關(guān)系即可.因?yàn)镺G=EF，且SO≤SF，所以，即θ≤θ；又OG≤OE，所以31，即θ≤θ.所以選D.23

說(shuō)明：作為客觀題來(lái)說(shuō)，如果選擇建系來(lái)量化幾何圖形中的各種關(guān)系，那就會(huì)花費(fèi)大量的時(shí)間，而從幾何的角度來(lái)看這一題，就是考查異面直線所成的角、線面角和二面角，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地找到這些角，使立體幾何平面化，通過(guò)找到其對(duì)應(yīng)關(guān)系，也就找到了問(wèn)題的答案.本題還可以從最小角定理等秒殺技巧出發(fā)，留給讀者自己思考，此處不再贅述.

例3（2017年浙江卷9）如圖3，已知正四面體DABC（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），P，Q，R分別為AB，，分別記二面角D-PR-Q，D-PQ-R，D-QR-P的平面角為α，β，γ，則（ ）.

圖3

圖4

分析：本題考查的是在正三棱錐中二面角的關(guān)系，抓住核心要素：點(diǎn)、線、面，首先找出二面角的平面角.如圖4所示，點(diǎn)P、Q、R在同一平面內(nèi)，點(diǎn)D在平面上的投影為點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，則，現(xiàn)在只需比較OE、OF、OG的大小即可.在正三角形ABC中，將P點(diǎn)移到AB的三等分點(diǎn)P′處，此時(shí)三角形P′RQ也是正三角形，容易得知OF＜OG＜OE，所以選B.

例4（2015年浙江卷8）如圖5所示，已知△ABC，D是AB的中點(diǎn)，沿直線CD將△ACD翻折成△A′CD，所成二

面角A′-CD-B的平面角為α，則（ ）.

圖5

分析：翻折前與翻折后圖形有何變化？本題主要考查二面角的性質(zhì)，如何準(zhǔn)確找到二面角是解題的關(guān)鍵.如圖5所示，作AE⊥CD，BF∥CD，且AE∩CD于點(diǎn)E，AE∩BF于點(diǎn)F，顯然α=∠A′EF.不妨設(shè)DE=a，AE=b，A′F=c，則.所以cos∠A′DB≤cosα.所以α≤∠A′DB，所以選B.

說(shuō)明：本題是翻折問(wèn)題，在翻折中需要注意哪些是不變量，哪些是變化量，然后準(zhǔn)確找出二面角的平面角，抓住這兩點(diǎn)，也就抓住了這類問(wèn)題的關(guān)鍵.

總之，本文從兩個(gè)角度來(lái)反映核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的體現(xiàn)，計(jì)算能力是代數(shù)能力體現(xiàn)的重要環(huán)節(jié).在立體幾何中，若選擇向量方式，則運(yùn)算能力成為首要提高的素養(yǎng)，若選擇幾何方式，加強(qiáng)直觀想象素養(yǎng)的教學(xué)則是關(guān)鍵，所以數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)在高中立體幾何的學(xué)習(xí)中是相輔相成的.

立體幾何在高中數(shù)學(xué)中是難度系數(shù)較大、題型較為復(fù)雜的章節(jié)，又是集中培養(yǎng)與考查空間想象能力和思維能力的重要部分.因此解決這類問(wèn)題，知識(shí)點(diǎn)的牢固掌握是基礎(chǔ)，思維的發(fā)散、解題方法的靈活運(yùn)用是關(guān)鍵.從以上例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，建系并不是解決立體幾何問(wèn)題的萬(wàn)能鑰匙，有時(shí)反而會(huì)增加解題的難度，如何打破思維定式，回歸幾何本身，尋找更恰當(dāng)?shù)姆椒?，這些在立體幾何教學(xué)中變得日益重要.