☉安徽省合肥市第七中學(xué) 彭曉芹

美國著名的數(shù)學(xué)教育家G·波利亞說過：“觀察可能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)，觀察將提示某種規(guī)則、模式或定律.”在解決一些相關(guān)的數(shù)學(xué)問題時，有時我們通過深入觀察，多思維拓展，往往會有意想不到的收獲.

問題如圖1，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=120°，點C在弧AB上若則x+y=______.

圖1

分析：本題涉及平面幾何圖形背景下平面向量的線性關(guān)系中相關(guān)系數(shù)的和的求解問題，綜合平面幾何、平面向量、三角函數(shù)等相關(guān)知識，交匯性多，創(chuàng)新性強.可以通過坐標法借助平面向量知識來處理，也可以通過幾何法借助平面幾何知識來處理.

解法1：以O(shè)為坐標原點，以O(shè)B所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標系，則知，設(shè)C（m，n）（其中m＞0，n＞0），可得m2+n2=1.而，可得，并與m2+n2=1聯(lián)立，解得.而可 得+y（1，0），解得，所以

故填答案

圖2

圖3

解法2：如圖3，連接AB交OC于點D，過D，C分別作DE⊥OB，CF⊥OB，垂足分別為E，F(xiàn).

設(shè)OE=x1，在Rt△ODE中，

在Rt△DEB中，則有OE+BE=，可得

在Rt△ODE中

點評與拓展：通過多個知識點的交匯，綜合動與靜，交匯數(shù)與式，真正達到完美的統(tǒng)一.其實，通過對本題的深入觀察與研究，根據(jù)條件進行拓展，可以將此類問題進行深化與變式，從而開拓解題的深度與廣度.

變式方向1：改變條件，探求系數(shù)代數(shù)式的值問題.

變式1：如圖1，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=120°，點C在弧AB上，若∠BOC=30°，則x+y=______.

解析：如圖4所示，過點C作CD∥OA交OB的延長線于點D，過點C作CE∥OB交OA于點E，由于∠AOB=120°，則有∠ODC=60°，而∠BOC=30°，所以有∠OCD=90°.

圖4

而OC=1，可得

變式方向2：減少條件，探求系數(shù)滿足的關(guān)系式問題.

解析：以O(shè)為坐標原點，以O(shè)B所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標系.

故填答案：x2-xy+y2=1.

變式方向3：減少條件，探求系數(shù)代數(shù)式的取值范圍或最值問題.

變式3：如圖1，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=120°，點C在弧AB上，，則x+y的取值范圍為______.

解析：以O(shè)為坐標原點，以O(shè)B所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標系，則知

組成。裝置內(nèi)部無扎線，使用WB500總線背板。351F采用現(xiàn)場總線CAN網(wǎng)技術(shù)，與主控單元的通信采用深圳所的《ISA300基于CAN網(wǎng)保護測控通信規(guī)約》V3.01；接地變及站用變 351F軟件信息均為：ISA-351F-FG-11C-V1.54-20041118。

故填答案：［1，2］.

變式4：如圖1，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=120°，點C在弧AB上，則x+y的最大值為______.

解析：同變式3中的過程一樣，則，即，亦即時取得最大值2.

故填答案：2.

變式方向4：減少條件，探求系數(shù)代數(shù)式變形的最值問題.

變式5：如圖1，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=120°，點C在弧AB上，則的最小值為______.

解析：由于∠AOB=120°，點C在弧AB上，可知x＞0，y＞0.

以O(shè)為坐標原點，以O(shè)B所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標系.

n2=1.

兩邊同時除以xy可得2，當且僅當，即x=y=1時等號成立.

所以xy≤1.

故填答案：2.

看似平常的一道平面向量問題，其實經(jīng)過認真分析，仔細探究，可以從不同的角度用不同的方式加以拓展深入，真正達到“認真解答一道題，拓廣解決一類題，變式深化一片題，思維能力一起高”的美好目的，從而避免“題海戰(zhàn)術(shù)”，真正做到開拓思維，拓展能力，提升素養(yǎng)，培養(yǎng)品質(zhì).