☉江蘇省宜興市第二高級中學(xué) 呂 昌

導(dǎo)數(shù)作為一種數(shù)學(xué)解題工具，可以用來處理很多與函數(shù)有關(guān)的問題.而涉及不等式的證明問題是其中最具有綜合與創(chuàng)新應(yīng)用的一種題型，其實質(zhì)就是通過所要證明的不等式的等價變換，構(gòu)造與之相應(yīng)的函數(shù)，通過求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性來處理對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值問題，進而達到解決不等式的證明與應(yīng)用等相關(guān)問題的目的.

一、問題呈現(xiàn)

問題已知函數(shù)

（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若a≤1，證明（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）.

本題結(jié)合已知函數(shù)，通過求導(dǎo)來確定函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間，并通過函數(shù)的構(gòu)造與應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)來求解相應(yīng)函數(shù)的最值，從而解決不等式的證明問題.通過巧妙的設(shè)置問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想等.

二、問題解決

解析：（Ⅰ）解法一：函數(shù)f（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞），而，令，則u（′x）=.所以u（x）在區(qū)間（0，1］上單調(diào)遞增；在區(qū)間［1，+∞）上單調(diào)遞減.故x∈（0，1）∪（1，+∞）時，u（x）＜u（1）=0，即f′（x）＜0.因此，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上也單調(diào)遞減.

解法二：函數(shù)f（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞），而，令u（x）=x-xlnx-1，則u′（x）=1-lnx-1=-lnx.

當x∈（0，1）時，u′（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，u′（x）＜0.

所以u（x）＜u（1）=0，即f′（x）＜0.因此，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），（1，+∞）.

（Ⅱ）證法一：（分類討論法）

因為a≤1，故，因此只需證明（fx）＞，即證明

①先證明x∈（1，+∞）時的情況，此時（*）?lnx-

令h（x）=ex+x3-2x2-x，則h′（x）=ex+3x2-4x-1，h″（x）=ex+6x-4＞0（因為x＞1）.

所以h′（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，故h′（x）＞h′（1）=e-2＞0.

所以h（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，于是h（x）＞h（1）=e-2＞0.

則有x∈（1，+∞）時，所以g（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增.

因此，當x∈（1，+∞）時，g（x）＞g（1）=0，即

②下面證明x∈（0，1）時的情況：

證明角度1：

令g（x）=ex-x-1，則g′（x）=ex-1＞0，所以g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增.

于是當x∈（0，1）時，g（x）＞g（0）=0，即

令h（x）=lnx-x+1，則，所以h（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增.

于是當x∈（0，1）時，h（x）＜h（1）=0，即lnx-x+1＜0.

證明角度2：

當x∈（0，1）時，此時

令h（x）=ex+x3-2x2-x，則h′（x）=ex+3x2-4x-1，h″（x）=ex+6x-4.

顯然函數(shù)h″（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增.

而h″（0）=-3＜0，h″（1）=e+2＞0，故?x0∈（0，1），使得h′（x）在區(qū)間（0，x0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（x0，1）上單調(diào)遞增.

而h′（0）=0，h′（1）=e-2＞0，故必存在唯一的x1∈（x0，1）?（0，1），使得h（x）在區(qū)間（x0，x1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（x1，1）上單調(diào)遞增，且h′（x1）=0，即ex1=-3x12+4x1+1.

令v（x）=x3-5x2+3x+1，x∈（0，1），則v′（x）=3x2-10x+3=（3x-1）（x-3）.

所以v（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

而v（0）=1＞0，v（1）=0，因此當x∈（0，1）時，v（x）＞0.

故h（x）≥h（x1）＞0，則 有x∈（0，1）時 ，g′（x）=.所以g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增.

因此，當x∈（0，1）時，g（x）＜g（1）=0，即

故若a≤1，則有成立.

證法二：因為a≤1，故

顯然當x∈（0，+∞）時，恒有h?（x）＞0，所以h″（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增.

而h″（1）=0，于是知當x∈（0，1）時，有h″（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，有h″（x）＞0.

所以h′（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增.

因此當x∈（0，1）∪（1，+∞）時，有h′（x）＞h′（1）=0.

所以h（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增.

又注意到h（1）=0，于是知當x∈（0，1）時，有h（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，有h（x）＞0.

所以g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增.

因此當x∈（0，1）∪（1，+∞）時，

故若a≤1，則有成立.

點評：在（Ⅰ）中求解函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間時，通過對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的變換，可以通過不同函數(shù)的構(gòu)造來確定其單調(diào)性與最值，從而得以確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；在（Ⅱ）中結(jié)合條件a≤1，先通過轉(zhuǎn)化不等式進而來證明，可以結(jié)合對應(yīng)函數(shù)的定義域（0，1）∪（1，+∞）分類討論來證明，也可以在定義域的條件下綜合來證明.在分類討論證明不等式中，證明x∈（0，1）時不等式成立的情況，還可以通過放縮法與函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化法等不同的方法來切入與應(yīng)用.

利用導(dǎo)數(shù)法證明不等式是證明不等式問題的一種重要方法，其證明思維與方向明確，且證明過程往往簡捷明快，特別是在證明一些相關(guān)的超越不等式時，更是如魚得水.證明的關(guān)鍵是通過構(gòu)造合理且恰當?shù)暮瘮?shù)，把不等式的證明問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性或求解極值或最值問題，從而得以證明相應(yīng)的不等式.