辛莉峰，李小珍，朱 艷

(西南交通大學 土木工程學院, 四川 成都 610031)

通訊作者：朱 艷(1979—)，女，湖南湘潭人，博士，講師。E-mail:zhuyan@swjtu.edu.cn

列車—軌道—橋梁耦合系統(tǒng)擁有非常復雜的隨機振動特性，從概率角度來講，由于自然演化與人為建造等原因，在常規(guī)計算模型中所涉及的激振源和設計參數(shù)均存在一定的不確定性。對于鐵路工作者或者橋梁設計人員，掌握耦合系統(tǒng)的響應狀態(tài)，確定計算參數(shù)的改變對響應特性的影響程度，才能更好地調(diào)整鐵路線路狀態(tài)或設計方案以滿足高速鐵路運營的高舒適度要求。因此，分析參數(shù)變化對于列車—軌道—橋梁耦合系統(tǒng)所帶來的影響是一項非常重要的工作。

近年來，隨著計算機技術(shù)的發(fā)展及車橋耦合建模方法的完善，眾多學者開始逐步研究參數(shù)變化對車橋耦合系統(tǒng)的動力學影響。研究方法大致可以分為2類，一類為探索某單一參數(shù)變化所導致模型輸出的改變情況，如文獻[1—3]等，另一類為同時考慮多變量的隨機性，探究模型輸出均值、均方差、極值等統(tǒng)計值的變化情況，如文獻[4—8]等。前述文獻中對于車橋耦合參數(shù)敏感性的分析研究較少，且大多采用局部敏感性分析方法，即在僅改變某一參數(shù)，而保持其余參數(shù)不變的條件下，考察模型輸出的變化情況。局部敏感性分析方法的優(yōu)勢很明顯，簡單且直觀，然而其缺陷亦很清楚，如：僅能考察參數(shù)設計值基線附近的情況，難以涵蓋參數(shù)的概率統(tǒng)計特性；不能考慮多個參數(shù)同時變化時的相關性影響，也無法定量分析各參數(shù)對輸出結(jié)果的敏感性等。全局敏感性分析可較好地克服這些不足，可考慮參數(shù)的實際概率分布，且允許所有參數(shù)同時變化，并定量化地度量不同參數(shù)及多參數(shù)之間的相互作用對目標量的影響，方法上更具有有效性和優(yōu)越性，而目前車橋耦合系統(tǒng)的全局敏感性分析研究尚未見報道。

本文基于車輛—軌道—橋梁耦合動力學，建立車—線—橋耦合計算模型，引入軌道不平順功率譜密度的概率分布模型，應用推廣的傅里葉幅度敏感性檢驗方法(eFSAT)，考慮參數(shù)間的耦合作用，研究橋梁上部結(jié)構(gòu)部分結(jié)構(gòu)參數(shù)和不同類型的軌道不平順激勵對車—線—橋耦合系統(tǒng)動力響應的影響。

1 車—線—橋耦合計算模型

車輛—有砟軌道—橋梁計算模型可分解為車輛、有砟軌道和橋梁3個子模型。

車輛模型為具有兩系懸掛系統(tǒng)的鐵路4軸車輛模型，轉(zhuǎn)向架和輪對間通過一系懸掛連接，車體和轉(zhuǎn)向架間通過二系懸掛連接。整個車輛模型可視為通過彈簧—阻尼元件連接起來的多剛體系統(tǒng)，由車體、構(gòu)架及輪對共7個剛體組成，每個剛體考慮浮沉、橫擺、側(cè)滾、搖頭、點頭共5個自由度，忽略縱向自由度，則每節(jié)車共有35個自由度。車輛的質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣的推導參見文獻[1]。本文的計算車輛為8節(jié)CRH3型高速列車，車輛編組為(動+拖+動+拖+拖+動+拖+動)，車速為300 km·h-1。

有砟軌道模型包括鋼軌、扣件、軌墊板、軌枕和道床等，將其簡化為3層離散點支承模型，其中鋼軌視為離散彈性點支承基礎上的有限長Euler梁，彈性支承點的間距即為軌枕中心距，考慮其垂向、橫向和扭轉(zhuǎn)自由度。道床按軌枕的實際間距離散成質(zhì)量塊，考慮它的垂向振動，如圖1所示。圖中：Kpv和Cpv分別為軌下膠墊剛度和阻尼；Kbv和Cbv分別為道砟支撐剛度和阻尼，其計算采用力傳遞服從棱錐體分布的假定；此外，采用剪切剛度Kw和阻尼Cw代表道砟間的連續(xù)咬合作用；Kfv和Cfv分別為路基或橋面的支撐剛度和阻尼。詳細的有砟軌道模擬方法參見文獻[9]。有砟軌道模型參數(shù)見表1。

圖1 有砟軌道模型立面圖

橋梁模型采用有限單元法建立，下文以5跨32 m高速鐵路簡支梁橋(墩高為15 m)作為算例，如圖2所示。梁部為C50混凝土制成的統(tǒng)一箱梁，橋墩則采用C35混凝土。梁和墩均采用梁單元進行模擬，墩、梁連接處按主從自由度處理，墩底按剛性固結(jié)處理，即不考慮地基與橋梁基礎動力相互作用的影響。

表1 有砟軌道模型參數(shù)

圖2 5跨32 m鐵路簡支梁橋有限元計算模型

車輛模型和軌道模型之間通過非線性輪軌接觸關系建立聯(lián)系[10]，橋梁模型和軌道模型之前通過線橋幾何接觸關系建立聯(lián)系，各個子模型的運動方程如式(1)所示。

(1)

為了求解該復雜動力分析模型，本文應用顯—隱式混合積分法，即：車輛和軌道子模型采用顯式積分方法Zhai方法求解，橋梁模型采用隱式積分方法Wilson-θ方法求解。另外，為保證列車上橋時的計算穩(wěn)定性，在橋梁兩端分別設置了150 m的列車—有砟軌道—路基模型以達到預平衡。

2 全局敏感性分析理論

20世紀80年代，全局敏感性分析理論作為一個獨立的發(fā)展方向被提出，主要考察當輸入變量在各自的整體定義域范圍內(nèi)波動時，輸出變量會有怎樣的表現(xiàn)形式?；诖四繕耍S多學者研究了多種方法度量輸入變量和輸出變量之間的關系，如，多元線性回歸法、Morris法、傅里葉幅度敏感性檢驗法(FAST)、推廣的FAST方法(eFAST)[11]等。正如前文所述，列車—軌道—橋梁耦合系統(tǒng)非常復雜，輸入與輸出之間存在非線性、非單調(diào)性、非可加性，常規(guī)的方法，如多元線性回歸方法，并不適用。本文采用非常經(jīng)典的eFAST方法進行車—線—橋耦合系統(tǒng)的敏感性分析，該方法與模型形式無關，其敏感性可以通過變量的方差來度量。

將感興趣的輸出變量記為y，輸入變量記為x，x=(x1,x2, …,xn)，其中各個xi之間相互獨立，則y和x之間的關系可以表示為：y=f(x1(ρ),x2(ρ), …,xn(ρ))。eFAST方法中，設定多維空間搜索曲線為

(2)

式中：wi為一系列的頻率點；φi為隨機相位角，滿足[0,2π)范圍的均勻分布；ρ為一標量，范圍為-∞<ρ<∞。

可以看出，當ρ在整個實數(shù)域上變動時，xi會同時在各自的定義域內(nèi)變動，通過適當?shù)倪x取頻率點wi，可以使xi之間的變動具有獨立性，本文中wi采用Schaibly和Shuler所建議的數(shù)值。通過一維變量ρ的軌道變動，可以刻畫出原本的多元函數(shù)在整個定義域區(qū)間的軌跡。為簡便起見，將y=f(x1(ρ),x2(ρ), …,xn(ρ))寫成f(ρ)，利用傅里葉級數(shù)的性質(zhì)，y的方差Var(y)可以定量表示為

(3)

將f(ρ)展開為傅里葉級數(shù)的形式

(4)

其中，

式中：Aj和Bj為傅里葉系數(shù)。

通過式(3)定義的方差，可計算出2個敏感性指標：一階敏感度Si和總體敏感度STi，分別表示為

(5)

(6)

式中：Vari(y)和Var-i(y)分別為第i個參數(shù)和第i個參數(shù)以外的條件方差估計。

從式(5)可以看出，Si表征的是第i個參數(shù)獨立作用對模型輸出的影響，而STi表示第i個參數(shù)對輸出變量總的貢獻，其中不僅包含第i個參數(shù)獨自作用的貢獻，還包含了第i個參數(shù)與其他參數(shù)的交互作用對輸出變量的貢獻。若Si與STi非常接近，則說明參數(shù)間的交互作用不明顯，反之，則說明參數(shù)間的交互作用具有不可忽視的影響。

3 軌道不平順功率譜密度概率分布模型

在常規(guī)的確定性計算模型中，往往采用功率譜密度等效法獲得軌道不平順隨機序列，并以此作為車橋耦合系統(tǒng)的隨機激勵源。但是常使用的軌道不平順功率譜模型，如美國軌道譜等，僅反映了某線路軌道不平順的幅值—頻率的統(tǒng)計平均狀態(tài)，不足以涵蓋軌道不平順的遍歷特征。實際情況下，軌道不平順功率譜密度(PSD)的頻譜范圍較寬，且呈現(xiàn)出一定的概率特性，如圖3所示。

圖3 實測高速鐵路有砟軌道的高低不平順功率譜

本文采用文獻[13]提出的軌道不平順功率譜密度概率分布模型，該模型能全面表征軌道不平順激勵的時空遍歷特征，按照以下幾個步驟建立該模型：

(1)通過區(qū)段劃分，將不平順實測數(shù)據(jù)表達為空間向量集

XΩ(l)={XI1,k(l),XI2,k(l),XI3,k(l),XI4,k(l)}

k=1, 2, …,N;l=L/N

(7)

式中：Ω為軌道不平順的隨機域；L為所有檢測數(shù)據(jù)的區(qū)段長度；l為每個樣本區(qū)段長度；N為樣本總數(shù)；k表示樣本編號；I1，I2，I3和I4分別為4種軌道不平順類型，即高低、方向、水平及軌距不平順。

(2)對實測不平順數(shù)據(jù)進行時頻分析，得到軌道不平順功率譜密度的實測值，并將實測值進行統(tǒng)計分析，得到軌道不平順功率譜密度關于頻率ω和累計概率τ的聯(lián)合概率密度Γ(ψI(τ，ω))。

(3)任意軌道不平順功率譜密度的概率p(ψI(τj))可表示為

(8)

(4)將4種不平順類型作為相互獨立的隨機變量，根據(jù)軌道不平順功率譜密度的概率分布特性，模擬得到不同類型的軌道不平順功率譜密度的代表值。

(5)由上一步獲得的功率譜密度的代表值，運用時頻變換方法即可反演出不同類型的軌道不平順的空間序列。

以長度約100 km的某高速鐵路有砟軌道區(qū)段的高低不平順實測值為研究對象，每500 m劃分為1個區(qū)段，式(6)中l(wèi)=500，N=200。根據(jù)步驟(2)和步驟(3)得到圖4有砟軌道高低不平順功率譜密度的概率密度分布(PDF)和累計分布函數(shù)(CDF)的實測值。根據(jù)式(8)和步驟(4)、步驟(5)可以得到圖4所示的有砟軌道高低不平順功率譜密度的PDF和CDF的模擬值。從圖4可以看出模擬值與實測值吻合較好，驗證了軌道不平順功率譜密度的概率分布模型的可行性，因此，該軌道不平順功率譜密度的概率分布模型可被應用于車橋耦合系統(tǒng)的計算。

4 車橋耦合系統(tǒng)全局敏感性分析

4.1 輸入?yún)?shù)的確定

選取混凝土箱梁的密度ρc和彈性模量Ec、截面繞Z軸抗彎慣性矩Iz和截面繞Y軸抗彎慣性矩Iy為計算輸入?yún)?shù)，其分布特征、均值和變異系數(shù)見表2，橋梁結(jié)構(gòu)其他的結(jié)構(gòu)參數(shù)均按設計值選定。

表2 箱梁結(jié)構(gòu)參數(shù)及其分布特征

將4種軌道不平順激勵I1，I2，I3，I4和橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)ρc，Ec，Iz和Iy作為車橋系統(tǒng)全局敏感性分析的檢驗變量，用向量C=(C1C2…C8)表示。

4.2 車輛動力響應敏感性

統(tǒng)計的車輛加速度的敏感度對于時間的平均值見表3。由表3可以看出，軌道方向不平順是影響車輛橫向加速度的關鍵參數(shù)，其平均1階敏感度達到70%，軌道水平不平順對車輛橫向加速度有一定影響，其平均1階敏感度達到18%。車輛豎向加速度的變化則主要由軌道高低不平順決定，其平均1階敏感度和平均總體敏感度分別占到了73%和74%，混凝土彈性模量的作用次之，分別到了12%和13%。另外，從數(shù)值上來看，平均1階敏感度和平均總體敏感度的差別很小，最多只有1%，所以參數(shù)之間的交互作用對車輛加速度的影響較小，可以忽略。

表3 車輛加速度敏感性分析結(jié)果

4.3 橋梁動力響應敏感性

按照同樣的方法，分析橋梁跨中橫向、豎向加速度和橫向、豎向位移的平均1階敏感度和平均總體敏感度，如圖5所示。由圖5可以看出：混凝土箱梁的彈性模量、混凝土箱梁的密度和軌道方向不平順的平均敏感度對橋梁跨中橫向加速度的影響位居前3；對于橋梁跨中豎向加速度，混凝土箱梁的彈性模量影響最大，軌道高低不平順也具有不可忽視的作用；對于橋梁跨中橫向位移，混凝土箱梁的彈性模量、混凝土箱梁的密度和軌道方向不平順的平均敏感度位居前3；對于橋梁跨中豎向位移，主要受混凝土箱梁的彈性模量影響。此外，從圖中也可以看出，平均1階敏感度與平均總體敏感度也存在較大的區(qū)別，說明不同因素之間的交叉作用對橋梁結(jié)構(gòu)動力響應的影響不容忽視，因此，全局敏感性的分析是非常必要的。

圖5 橋梁跨中不同動力指標的平均敏感性分析結(jié)果

4.4 輪軌力敏感性

輪軌力是車輛、軌道、橋梁動力響應的激勵來源之一，屬于系統(tǒng)的內(nèi)激勵，反映輪軌的接觸情況，把握影響其變化的關鍵因素對于高速鐵路的安全運行非常重要。列車運行于橋梁上的橫、豎向輪軌力的平均總體敏感度STi見表4。由表4可以看出，輪軌力主要受軌道不平順影響，橋梁上部結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對其影響可以忽略。其中，方向不平順是橫向輪軌力的關鍵參數(shù)，其次是軌距不平順，第3為水平不平順。高低不平順是豎向輪軌力的關鍵參數(shù)，其次為水平不平順。需要注意的是，水平不平順所起到的作用較常規(guī)認識要大許多，常規(guī)2D車橋耦合計算模型對于輪軌力的預測可能會有一定的偏差，應當引起注意。

表4 輪軌力平均總體敏感度分析結(jié)果

5 結(jié) 論

(1)軌道不平順功率譜密度的概率分布模型能全面反映軌道不平順隨機過程的時空遍歷性，可被應用于車橋耦合系統(tǒng)的計算。

(2)軌道方向不平順是影響車輛橫向加速度和橫向輪軌力的關鍵性參數(shù)，軌道高低不平順是影響車輛豎向加速度和豎向輪軌力的關鍵性參數(shù)，橋梁上部結(jié)構(gòu)的彈性模量是影響其動力響應的關鍵性參數(shù)。

(3)各個參數(shù)之間的相互作用會導致橋梁結(jié)構(gòu)動力響應輸出的變化，采用全局敏感性分析參數(shù)敏感性的方法較局部敏感性分析方法更為合理。