葉丹

（福州第四十中學，福建 福州 350007）

一、考點分析，明確絕對值不等式模塊的復習方向

從福建卷到全國卷,理科數(shù)學的選考從矩陣與變換、坐標系與參數(shù)方程、不等式選講中的三選二，前期是改為幾何證明選講、坐標系與參數(shù)方程、不等式選講中的三選一，由于不等式選考?？疾爝\用柯西不等式、均值定理證明不等式，因此在高三總復習中我校高三集備組統(tǒng)一采取回避不等式選考的方式。2017年全國卷選考調(diào)整為從坐標系與參數(shù)方程、不等式選講中二選一，而且縱觀近三年的全國卷的不等式選考的試題，考察知識點多為絕對值不等式的解法及運用。近三年全國卷的不等式選考的試題考察知識點統(tǒng)計如下：（見表1）

表1 近三年全國卷的不等式考點

針對以上統(tǒng)計結(jié)果，并結(jié)合對考題的難度分析，我校高三數(shù)學一輪復習調(diào)整策略，在必修五不等式的專題復習中加入選考4-5不等式選講中的絕對值不等式的復習，并根據(jù)對考題的研究，從幾種熱門考點由易到難展開復習。

二、夯實基礎，積累絕對值不等式解題方法

絕對值不等式的基礎要求是掌握絕對值不等式的求解，難度較低，但仍有部分學生易出現(xiàn)計算錯誤。美國數(shù)學家哈爾莫斯：“數(shù)學的真正組成部分應該是問題和解，解題才是數(shù)學的心臟?！备呷膹土曊n更是離不開解題能力的訓練，解題能力訓練的第一層次：利用通性通法，尋求題目的一種解法并得到正確的結(jié)果。從學生掌握知識的結(jié)構(gòu)和認識問題的規(guī)律來說，首先是掌握解決這一類問題的方法，而不僅僅是解決其中某個問題的特殊方法。只有掌握了最通用的方法，才能達到通一法而通一類的效果。解絕對值不等式的題目關(guān)鍵是如何去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化絕對值不等式為不等式，通法為零點分段法。

例1.解不等式： |x-2+|+|x-4|≤3.

解法一：（通法--零點分段法）將x的解分x≥4,2≤x＜4,x＜2三種情況討論，得不等式的解集為

【注釋】此解法易出現(xiàn)由于符號化簡錯誤，要強調(diào)檢驗的方法，解集的兩個端點值和即為方程的解，可代入檢驗。

解題能力訓練的第二層次：一題多解，即在通性通法的基礎上，尋求其他更簡捷更巧妙的解法。將不等式的兩側(cè)分別看作兩個函數(shù)，求兩個圖像的交點，結(jié)合圖像得到不等式的解集，這種方法稱為函數(shù)圖像法。

解法二：（函數(shù)圖像法）分三段作出函數(shù)的圖象(如圖1所示)

圖1

【注釋】解法三運用初中的絕對值定義，解法更直觀簡潔，可訓練學生的直觀想象能力，但多數(shù)學生在理解和運用上反而有一定難度，在文字描述上更是不知如何下筆，因此在平時的解題中多選用零點分段法或函數(shù)圖像法。

三、建模訓練，提升絕對值不等式解題能力

解題能力訓練的第三層次：進行一題多變的訓練，改變條件的敘述方式，改變條件的題設背景,改變設問方式,或把相似的幾個題目組合改造,引申演變成新的問題。此環(huán)節(jié)要求教師跳進題海，準確把握絕對值不等式題型的變換特點，并具備對一些原題進行改編的能力。高質(zhì)量、輕負擔是教師努力的目標，提高學習效率最終要落實在課堂45分鐘，復習課不能演變成講評課，應精選例題，充分挖掘題目的內(nèi)涵與外延，給足學生的思考時間，務必引導學生逐步掌握如何將未知的問題轉(zhuǎn)化成可用已有的知識來解答，從而達到數(shù)學建模訓練的目的。

（一）已知絕對值不等式的解集求參數(shù)的值

【注釋】該例即為例題一的解法的逆用，解法主要參考一元二次不等式的解集與一元二次方程的解之間的關(guān)系，將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為等量關(guān)系，學生的易錯點是只代入一個解，而忽視這兩個解必須同時滿足。

（二）可利用化歸轉(zhuǎn)化分離參數(shù)的含參問題

不等式成立（恒成立）問題中的常用結(jié)論：

①若f(x)≥a恒成立，則f(x)min≥a；若f(x)≥a有解，則f(x)max≥a.

②若f(x)≤b恒成立，則f(x)max≤b；若f(x)≤b有解，則f(x)min≤b.

③若f(x)≥g(x)恒成立，則構(gòu)造F(x)=f(x)-g(x)，F(xiàn)(x)min＞ 0.

將不等式的恒成立、有解等問題進行歸納，培養(yǎng)學生建模素養(yǎng)，理解各問題之間的關(guān)系，通過化歸轉(zhuǎn)化化難為易，積累解決此類問題的經(jīng)驗與方法。

∴4≥m+7即m≤-3

解法二（函數(shù)法）：

函數(shù)h(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減，在(3,+∞)上單調(diào)遞增.

∴h(x)min=4

∴4≥m+7即m≤-3

【注釋】解決恒成立問題的最常用方法是參數(shù)分離法，參數(shù)分離后將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。本例求最值采用絕對值三角不等式和分段函數(shù)單調(diào)性兩種方法求最值，前者只針對兩個絕對值內(nèi)的式子的和或差為常數(shù)才可運用，有局限性，后者可視為通法。

【注釋】將問題“存在x∈R使 | 2x+1|≤|x|+a成立”等價于“關(guān)于x的不等式 | 2x+1|≤| x|+a有解”，可轉(zhuǎn)化為“(|2x+1|-|x|)min≤a”解答。

【注釋】將問題“方程f(x)=a的解集為空集”轉(zhuǎn)化為“a?f(x)的值域”解答。

（三）不可參數(shù)分離的含參問題

參數(shù)與變量不易或無法分離時，可以利用數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等思想方法輔助解題，引導學生對試題進行歸類總結(jié)。

解：因為 | 2x+2|-4≥4kx-5 解集為 R，所以|2x+2|≥kx-1在R上恒成立.

等價于函數(shù)y= | 2x+2|的圖像不在函數(shù)y=kx-1的下方，可得k∈[-1,2]

【注釋】不等式 | 2x+2|≥kx-1參數(shù)分離需要考慮x的符號不易操作，反而是利用不等式兩側(cè)的兩個函數(shù)圖像間的關(guān)系，將不等式問題轉(zhuǎn)化成直線間的斜率大小問題，難度大大降低。

例5.已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]，求a的取值范圍．

解：因為不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]

∴ 在［-1,1］上不等式 d(x)≥g(x)恒成立，即-x2+ax+4≥|x+1|+|x-1|恒成立

∴在［-1,1］上-x2+ax+4≥(x+1)-(x-1)，即-x2+ax+2≥0

Q函數(shù)h(x)=-x2+ax+2開口向下

∴在［-1,1］上h(x)min=h(-1)或h(1)

【注釋】將問題“不等式f(x)≥g(x)的解集包含［-1,1］”轉(zhuǎn)化為“在［-1,1］上不等式f(x)≥g(x)恒成立”解答。不等式-x2+ax+2≥0在［-1,1］上分離參數(shù)反而需要分類討論，直接運用二次函數(shù)的圖像單調(diào)性確定最值只在端點處產(chǎn)生。

對學生通性通法、一題多解、一題多變這三個層次的訓練，注重分類討論、參數(shù)分離、數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學方法的滲透，不僅學活了知識，更重要的是完善了絕對值不等式的解題模式，達到鍛煉思維品質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力的目的。