郝田義，薛永華，鄭志剛

（1.中國(guó)飛行試驗(yàn)研究院，西安710089；2.海軍航空大學(xué)，山東 煙臺(tái)264001；3.上海久航電子有限公司，上海610092）

短時(shí)傅里葉變換作為一種較為成熟的時(shí)頻分析工具，由于其運(yùn)算快捷，時(shí)頻分辨率較高，且無(wú)交叉項(xiàng)干擾而倍受研究學(xué)者的青睞[1-5]。但是短時(shí)傅里葉變換在處理調(diào)頻信號(hào)時(shí)隨著信號(hào)調(diào)頻率變化率的增大，在時(shí)頻分辨率上會(huì)變得模糊。

在信號(hào)處理中，當(dāng)利用短時(shí)傅里葉變換對(duì)調(diào)頻信號(hào)進(jìn)行瞬時(shí)頻率估計(jì)時(shí)，就有可能出現(xiàn)估計(jì)精度不高的問(wèn)題。而將分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（Fractional Fourier Transform，F(xiàn)RFT）[6-9]引入短時(shí)傅里葉變換后得到的短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（STFRFT）[10]，由于將非線性調(diào)頻信號(hào)進(jìn)行短時(shí)截取，當(dāng)窗函數(shù)選擇合理時(shí)，截取后的每一段區(qū)間信號(hào)可以近似看作線性調(diào)頻信號(hào)，利用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換對(duì)線性調(diào)頻信號(hào)的高度時(shí)頻聚集性，可以較為容易地獲得非線性調(diào)頻信號(hào)的高時(shí)頻分辨結(jié)果。因此，短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換可以起到提高非線性調(diào)頻信號(hào)時(shí)頻估計(jì)精度的效果[10-19]。因此，本文從噪聲背景下短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的時(shí)頻分辨能力仿真分析入手，研究了短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換滑窗口方式與瞬時(shí)頻率估計(jì)的關(guān)系。

1 時(shí)頻分辨能力

1.1 理論

分?jǐn)?shù)階傅里葉變換定義式為[6]：

式（1）中：α為變換角度；Kα(t,u)為變換核。

FRFT是傳統(tǒng)傅里葉變換的廣義形式。利用FRFT的這一特點(diǎn)，對(duì)短時(shí)傅里葉變換進(jìn)行廣義化，可以得到STFRFT，其定義式為[10]：

1.2 仿真

仿真信號(hào)為：

式（4）中：初始頻率f0；采樣時(shí)間為1 s；采樣頻率為1 024Hz；窗函數(shù)采用高斯窗，窗長(zhǎng)為0.125 s；滑動(dòng)步長(zhǎng)為1個(gè)采樣周期；N(t)為均值為0的高斯白噪聲，信噪比為-4dB，分別對(duì)信號(hào)進(jìn)行含噪情況下的短時(shí)傅里葉變換和短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，提取的時(shí)頻分析譜圖如圖1所示。

圖1 SNR=-4dB條件下STFRFT與STFT的時(shí)頻分辨能力對(duì)比Fig.1 Time-frequency resolution comparison between STFRFT and STFT withSNR=-4dB

從圖1中可以看出，在信噪比為-4dB時(shí)，STFT和STFRFT都還能夠保持良好的時(shí)頻聚集性，但較高的聚集性主要體現(xiàn)在頻率變化率較低的部分（如圖1中的0～0.2 s）。在頻率變化率較高的時(shí)間段（如圖1中的0.6～0.8 s），STFT的能量峰值有所減弱，時(shí)頻聚集性減弱，而STFRFT在頻率變化率較高的時(shí)間段，時(shí)頻聚集性仍然保持較好?？v觀整個(gè)時(shí)頻譜圖，由于STFRFT的良好魯棒性，使得待測(cè)信號(hào)在含噪聲條件下仍然能夠獲得很好的能量聚集性，反映在時(shí)頻譜圖中的噪點(diǎn)更少。由此可知，STFRFT在抗噪聲性能方面比STFT更為出色。

2 基于STFRFT的瞬時(shí)頻率估計(jì)的滑窗方式分析

對(duì)于非線性調(diào)頻信號(hào)在經(jīng)過(guò)短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換時(shí)，可以認(rèn)為其在短時(shí)窗內(nèi)是近似線性調(diào)頻信號(hào)，如圖2所示，以此實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性調(diào)頻信號(hào)的瞬時(shí)頻率估計(jì)[13]。

圖2 STFRFT對(duì)非線性調(diào)頻信號(hào)的瞬時(shí)頻率估計(jì)Tab.2 Instantaneous frequency estimation of non-linear FM signal using STFRFT

2.1 滑動(dòng)方式選擇

在進(jìn)行短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的過(guò)程中，為獲得某一采樣時(shí)刻的瞬時(shí)頻率估計(jì)值，需要將短時(shí)窗沿時(shí)間軸進(jìn)行滑動(dòng)。對(duì)于短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，其短時(shí)窗滑動(dòng)可以有以下3種不同方式。采用不同的滑動(dòng)方式將會(huì)導(dǎo)致不同的瞬時(shí)頻率估計(jì)效果。

1）無(wú)重疊滑動(dòng)方式。當(dāng)采用無(wú)重疊滑動(dòng)的方式進(jìn)行瞬時(shí)頻率估計(jì)時(shí)，窗函數(shù)在整個(gè)時(shí)間段內(nèi)每次滑動(dòng)一個(gè)窗長(zhǎng)，各窗長(zhǎng)之間不發(fā)生重疊。每進(jìn)行一次滑動(dòng)，通過(guò)在短時(shí)窗內(nèi)進(jìn)行的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換就會(huì)相應(yīng)的得到該時(shí)間段內(nèi)的一組瞬時(shí)頻率估計(jì)值：

式中，τ為短時(shí)窗的初始時(shí)刻，由此可以得到每個(gè)采樣時(shí)刻的瞬時(shí)頻率估計(jì)值。

2.2 仿真

非線性調(diào)頻信號(hào)各項(xiàng)參數(shù)與之前保持不變，仿真分別采用無(wú)重疊滑動(dòng)、逐點(diǎn)滑動(dòng)和逐點(diǎn)滑動(dòng)取平均值3種方式進(jìn)行，其中逐點(diǎn)滑動(dòng)區(qū)分以第一采樣時(shí)刻作為估計(jì)值和以中間采樣時(shí)刻作為估計(jì)值2種情況，其瞬時(shí)頻率估計(jì)精度如表1所示。

表1 不同滑動(dòng)方式下的瞬時(shí)頻率估計(jì)精度對(duì)比Tab.1 Comparison of instantaneous frequency estimation error using different moving-windows

從表1數(shù)據(jù)可以看出，采用第一采樣時(shí)刻作為估計(jì)值的逐點(diǎn)滑動(dòng)方式在眾多滑動(dòng)方式中對(duì)瞬時(shí)頻率估計(jì)的精度最高，其次為采用中間時(shí)刻作為估計(jì)值的逐點(diǎn)滑動(dòng)方式。無(wú)重疊滑動(dòng)方式和逐點(diǎn)滑動(dòng)取平均值的方式并不能取得預(yù)期的高瞬時(shí)頻率估計(jì)精度，特別是逐點(diǎn)滑動(dòng)取平均值的方式，在利用其對(duì)信號(hào)頻率變化較劇烈的非線性調(diào)頻信號(hào)進(jìn)行瞬時(shí)頻率估計(jì)時(shí)，可能反而會(huì)減弱瞬時(shí)頻率估計(jì)精度，造成瞬時(shí)頻率估計(jì)的誤差。因此，并不適用于處理非線性調(diào)頻信號(hào)。

3 結(jié)論

本文利用STFT作對(duì)比，首先從理論和仿真兩方面分析了高斯噪聲背景下的STFRFT時(shí)頻分辨能力；然后，研究了STFRFT窗口滑動(dòng)方式對(duì)瞬時(shí)頻率估計(jì)的影響，可以發(fā)現(xiàn)：①STFRFT在抗噪聲性能方面比STFT更為出色，尤其是在調(diào)頻率較大或是變化劇烈時(shí)；②采用第一采樣時(shí)刻作為估計(jì)值的逐點(diǎn)滑動(dòng)方式在眾多滑動(dòng)方式中對(duì)瞬時(shí)頻率估計(jì)的精度最高。因此，實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)主要采用該種滑動(dòng)窗口方式。