孫 杰，黃庭軒，朱東方，黃 靜，孫祿君

(1.上海航天控制技術(shù)研究所·上海·201109； 2.上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室·上海·201109)

0 引 言

傳統(tǒng)航天器中心剛體的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在整個(gè)系統(tǒng)中占據(jù)絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，是典型的中心剛體占優(yōu)的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)，其控制模式主要為采用力矩控制形式的被動(dòng)控制[1-3]。隨著航天技術(shù)的發(fā)展，以大型化、輕質(zhì)化和柔性化為典型特征的大型柔性航天器正在成為新一代航天器發(fā)展的一個(gè)重要趨勢(shì)[4]。

智能材料和結(jié)構(gòu)在大型柔性航天器上擁有很好的應(yīng)用前景。傳統(tǒng)驅(qū)動(dòng)器的體積和質(zhì)量都較大，不便于在軌航天器實(shí)現(xiàn)撓性主動(dòng)抑制，較適合于固定系統(tǒng)或地面系統(tǒng)的振動(dòng)控制。壓電材料具有質(zhì)量小、易于粘貼于主體結(jié)構(gòu)表面或埋入主體結(jié)構(gòu)內(nèi)部、頻響高、靈敏度高、能量密度高、溫度敏感性低等優(yōu)點(diǎn)，這使得壓電材料適合于航天結(jié)構(gòu)的撓性振動(dòng)主動(dòng)抑制。壓電陶瓷(Piezoelectric Ceramic Transducer，PZT)和壓電纖維復(fù)合材料(Macro Fiber Composite，MFC)是目前使用最為廣泛的壓電材料。憑借較強(qiáng)的壓電性能和較好的穩(wěn)定性，壓電陶瓷被廣泛應(yīng)用于傳感器、振動(dòng)控制、換能器等領(lǐng)域，是當(dāng)前應(yīng)用最為普遍的壓電材料[5-9]。LI D X等[8]采用嵌入式的壓電智能結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了一種新的、針對(duì)大型柔性空間結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制的機(jī)構(gòu)。QIU Z C等[9]采用陀螺儀和經(jīng)位置優(yōu)化后的PZT壓電片作為傳感器和驅(qū)動(dòng)器以解耦彎曲和扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)的懸臂板結(jié)構(gòu)，建立了壓電板系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，并設(shè)計(jì)了一種時(shí)間離散的滑模變結(jié)構(gòu)控制算法，對(duì)柔性懸臂板結(jié)構(gòu)進(jìn)行了試驗(yàn)研究。經(jīng)試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證，所提方法可以顯著抑制懸臂板的振動(dòng)。

近年來(lái)，壓電纖維復(fù)合材料驅(qū)動(dòng)器以其良好的驅(qū)動(dòng)性能得到了廣泛的發(fā)展和應(yīng)用。圖1所顯示的是Smart Material公司生產(chǎn)的宏纖維復(fù)合材料驅(qū)動(dòng)器，它是目前已經(jīng)實(shí)現(xiàn)商業(yè)化的壓電纖維復(fù)合材料產(chǎn)品，也是目前應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域中的最為先進(jìn)的壓電驅(qū)動(dòng)器。相比傳統(tǒng)的PZT，MFC具有很大的優(yōu)勢(shì)。PZT材料脆性大，易碎，不便于加工，同時(shí)對(duì)于粗糙的材料表面不便實(shí)現(xiàn)粘貼，這些缺點(diǎn)限制了PZT材料的應(yīng)用范圍。壓電纖維材料的出現(xiàn)促進(jìn)了MFC的誕生，MFC大大改善和增強(qiáng)了PZT材料的脆性和柔韌性，同時(shí)又延續(xù)了PZT材料頻響高、靈敏度高的優(yōu)點(diǎn)，并且能量密度更高。MFC已在結(jié)構(gòu)壓電主動(dòng)控制中顯示出了極大的優(yōu)越性。MFC是當(dāng)前最先進(jìn)的驅(qū)動(dòng)器類型之一，在驅(qū)動(dòng)載荷和驅(qū)動(dòng)應(yīng)變方面的性能大大優(yōu)越于PZT[10]。將兩種不同的MFC應(yīng)用于1/6縮比的F/A-18模型中進(jìn)行抖振控制[11]。孫杰等[12]采用MFC驅(qū)動(dòng)器對(duì)全動(dòng)垂直尾翼的抖振問(wèn)題進(jìn)行了主動(dòng)控制研究。MFC擁有較高的面內(nèi)驅(qū)動(dòng)性和靈活的驅(qū)動(dòng)指向性，能夠顯著增強(qiáng)扭轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)效果，這使其在航空航天領(lǐng)域中得到了廣泛的關(guān)注。MFC在結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制領(lǐng)域中取得了優(yōu)異的應(yīng)用成果，將MFC應(yīng)用于大型柔性航天器的振動(dòng)抑制領(lǐng)域具有極好的應(yīng)用前景。

圖1 MFC壓電驅(qū)動(dòng)器Fig.1 MFC piezoelectric actuator

綜合國(guó)內(nèi)外的研究現(xiàn)狀，可以看出MFC驅(qū)動(dòng)器在航空領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用，但其在航天器尤其是大型柔性航天器上還鮮有應(yīng)用。本文基于壓電纖維復(fù)合材料驅(qū)動(dòng)器，建立了帶有壓電驅(qū)動(dòng)的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程，對(duì)柔性航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)與撓性振動(dòng)進(jìn)行了耦合分析，并研究了在外界激勵(lì)條件下對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)與振動(dòng)的協(xié)同控制。

1 粘貼MFC驅(qū)動(dòng)器的航天器剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型的建立

首先介紹壓電纖維復(fù)合材料驅(qū)動(dòng)器的建模方法。圖2所示的是壓電纖維復(fù)合材料驅(qū)動(dòng)器的典型驅(qū)動(dòng)模式。一對(duì)壓電纖維復(fù)合材料片分別對(duì)稱粘貼于主體結(jié)構(gòu)的上下表面，驅(qū)動(dòng)彎矩或扭矩可由在壓電纖維復(fù)合材料片上下分別施加相反的驅(qū)動(dòng)電壓而獲得。在圖2中，1、2和3坐標(biāo)系為驅(qū)動(dòng)器材料坐標(biāo)系；x、y和z坐標(biāo)系為空間結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系。壓電纖維復(fù)合材料與壓電陶瓷材料的不同之處在于， 1方向?yàn)閴弘娎w維的鋪設(shè)方向，同時(shí)1方向?yàn)閴弘娎w維的極化方向，因此只有1方向上的電場(chǎng)強(qiáng)度E1≠0，其余兩個(gè)方向上的E2和E3均等于0。同樣，在1和2方向上能夠產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)應(yīng)變，而3方向上為壓電應(yīng)變，不產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)。σ1和σ2分別為壓電驅(qū)動(dòng)器上的主向應(yīng)力。

在壓電纖維復(fù)合材料中，壓電纖維的排列方向具有指向性和可設(shè)計(jì)性。圖2所示的是壓電纖維(1方向)沿x坐標(biāo)軸進(jìn)行0°鋪設(shè)。如果壓電纖維與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)軸之間存在夾角，則會(huì)產(chǎn)生由切向應(yīng)力組成的力矩(如圖3所示)，這與壓電陶瓷只產(chǎn)生由正應(yīng)力組成的力矩明顯不同。在圖3中，σx和σy分別為壓電驅(qū)動(dòng)器上的正應(yīng)力，τxy和τyx分別為切應(yīng)力。很顯然，由切向應(yīng)力組成的力矩對(duì)結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)效果的產(chǎn)生是很有益的。

圖2 結(jié)構(gòu)上下表面分布?jí)弘娎w維復(fù)合材料(纖維0°鋪設(shè))的示意圖Fig.2 Sketch of MFC distributed on the upper and lower surfaces of the structure (the fibers are laid at 0 degrees)

圖3 結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下壓電單元的應(yīng)力分布Fig.3 Stress distribution of piezoelectric element in structural coordinates

下面介紹壓電驅(qū)動(dòng)的載荷比擬方法[13]。根據(jù)載荷比擬方法，可以對(duì)壓電單元的響應(yīng)分析進(jìn)行有效的模擬。MFC驅(qū)動(dòng)器和本體結(jié)構(gòu)的厚度分別為t1和t2，長(zhǎng)度和寬分別為l1和w1。其中，厚度t1和t2遠(yuǎn)小于l1和w1，屬于平面應(yīng)力問(wèn)題范疇。假定等效載荷作用于壓電驅(qū)動(dòng)器中性面的中心，那么在對(duì)驅(qū)動(dòng)器施加一對(duì)相反的電壓時(shí)，能夠產(chǎn)生的彎矩和扭矩分別為

Mw=σ1w1t1(t1+t2)

(1)

MT=σ2l1t1(t1+t2)

(2)

由壓電驅(qū)動(dòng)載荷比擬方法得到的驅(qū)動(dòng)力矩只需施加在壓電結(jié)構(gòu)的邊界，這是由于內(nèi)部加載的力矩已全部被抵消。同時(shí)，僅需使用二維模型，大大簡(jiǎn)化了有限元模型的整體規(guī)模，尤其在處理復(fù)雜的壓電結(jié)構(gòu)時(shí)可使建模難度大大降低，這也是采用壓電驅(qū)動(dòng)載荷比擬方法的最大優(yōu)勢(shì)所在。

圖4所示的是粘貼有MFC驅(qū)動(dòng)器的柔性航天器的簡(jiǎn)化示意圖，由中心剛體和柔性梁組成，是典型的剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng)。o-XYZ為慣性坐標(biāo)系，o-xyz為固定在中心剛體上的隨體坐標(biāo)系，Z(z)軸方向按照右手法則確定。本文研究單軸轉(zhuǎn)動(dòng)航天器，即中心剛體只考慮沿Z軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，柔性梁只考慮xoy平面內(nèi)的振動(dòng)。MFC驅(qū)動(dòng)器沿柔性體上下表面對(duì)稱粘貼。中心剛體的姿態(tài)角用θ表示，中心剛體上可以施加控制力矩Mr。柔性梁采用歐拉-伯努利梁進(jìn)行建模。

圖4 粘貼MFC的柔性航天器的示意圖Fig.4 Sketch of a flexible spacecraft with MFC actuators

粘貼有MFC驅(qū)動(dòng)器的懸臂梁的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程可表示為

(3)

式(3)中，Mu、Cu和Ku分別為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，u為結(jié)構(gòu)位移，F(xiàn)為外力矢量，Kuφ是力電耦合矩陣，Kφφ是介電剛度矩陣；φ表示電勢(shì)矢量；Fφ表示壓電驅(qū)動(dòng)力。電勢(shì)φ通過(guò)施加在壓電驅(qū)動(dòng)器上的電壓來(lái)進(jìn)行控制。因此，帶壓電驅(qū)動(dòng)的懸臂梁的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程可表示為

(4)

使用模態(tài)離散方法，式(4)可以變換為

(5)

式(5)中，

(6)

根據(jù)哈密頓原理，可得到系統(tǒng)連續(xù)形式的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程，再結(jié)合式(5)可得到基于MFC驅(qū)動(dòng)器的離散形式的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程

(7)

2 LQR控制算法

將式(7)簡(jiǎn)化為線性形式

(8)

則式(8)可以表示為

(9)

由式(9)可得系統(tǒng)狀態(tài)空間方程

(10)

Kf=R-1BTP

(11)

式(11)中，矩陣P滿足以下的黎卡提方程

PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0

(12)

3 數(shù)值模擬及結(jié)果分析

3.1 數(shù)值算例

帶壓電纖維復(fù)合材料驅(qū)動(dòng)器的中心剛體-柔性梁系統(tǒng)的參數(shù)為：柔性梁的長(zhǎng)度為2m，寬為0.1m，厚度為0.00215m，彈性模量為70GPa，泊松比為0.3，密度為2700 kg/m3，忽略結(jié)構(gòu)阻尼；中心剛體邊長(zhǎng)r0=0.3m，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為1.1664kg·m2。由于本文著重于基于MFC的航天器振動(dòng)抑制方法和機(jī)理的研究，所以暫不考慮驅(qū)動(dòng)器的位置優(yōu)化問(wèn)題，只采用一片MFC驅(qū)動(dòng)器粘貼于靠近柔性梁的根部處。驅(qū)動(dòng)器左端距離梁根部的長(zhǎng)度為0.1m，其壓電纖維沿柔性梁軸向方向鋪設(shè)。MFC驅(qū)動(dòng)器的長(zhǎng)度為0.6m，寬度為0.1m，厚度為0.0003 m，其材料參數(shù)如表1所示，其中單位C/N表示庫(kù)倫/牛頓。載荷激勵(lì)施壓于柔性梁的自由端p處，振動(dòng)位移響應(yīng)的輸出點(diǎn)同樣為p點(diǎn)。經(jīng)計(jì)算，柔性梁的前五階固有頻率分別為0.442Hz、2.76Hz、7.71Hz、15.06Hz、24.8Hz，LQR控制器的控制參數(shù)分別為Q=diag(100)12×12、R=0.1。

表1 MFC的參數(shù)

在柔性梁自由端處施加典型脈沖激勵(lì)力載荷，分別計(jì)算系統(tǒng)在未受控和受控后的位移響應(yīng)、中心剛體的姿態(tài)角及姿態(tài)角速度。脈沖載荷的幅值為100N，作用時(shí)間為0.0005s。采用4階龍格-庫(kù)塔法，計(jì)算得到的梁自由端處的位移響應(yīng)、中心剛體的姿態(tài)角分別如圖5、圖6所示。

圖5 柔性梁自由端的開(kāi)環(huán)位移響應(yīng)Fig.5 Open-loop displacement response at free end of the flexible beam

圖6 中心剛體的開(kāi)環(huán)姿態(tài)角Fig.6 Open-loop attitude of the central rigid body

采用MFC主動(dòng)控制方法對(duì)柔性航天器的彈性振動(dòng)和中心剛體的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行協(xié)同控制。為了說(shuō)明主動(dòng)控制的控制效果，將其結(jié)果與采用被動(dòng)控制的結(jié)果進(jìn)行比較，以分析將MFC驅(qū)動(dòng)器應(yīng)用于柔性航天器振動(dòng)抑制的機(jī)理。兩種控制方案都使用了LQR最優(yōu)控制，并且控制參數(shù)相同。當(dāng)采用主動(dòng)控制時(shí)，施加在中心剛體上的Mr為零。

在分別采用MFC主動(dòng)控制和被動(dòng)控制后，梁自由端處的位移響應(yīng)、中心剛體的姿態(tài)角及角速度分別如圖7～圖9所示。

在采用MFC主動(dòng)控制后，施加在MFC驅(qū)動(dòng)器上的驅(qū)動(dòng)電壓如圖10所示，在采用被動(dòng)控制后施加在中心剛體上的驅(qū)動(dòng)力矩如圖11所示。

圖7 柔性梁自由端的閉環(huán)位移響應(yīng)Fig.7 Closed-loop displacement responses at free end of the flexible beam

圖8 中心剛體的閉環(huán)姿態(tài)角Fig.8 Closed-loop attitude angles of the central rigid body

圖9 中心剛體的閉環(huán)姿態(tài)角速度Fig.9 Closed-loop attitude angular velocities of the central rigid body

圖10 施加在MFC上的驅(qū)動(dòng)電壓Fig.10 Driving voltage applied to the MFC actuator

圖11 施加在中心剛體上的驅(qū)動(dòng)力矩Fig.11 Driving moment applied to the central rigid body

3.2 結(jié)果分析

此算例中柔性梁與中心剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之比(即柔性比)為2，即為典型的柔性占優(yōu)的航天器。從圖7可以看出，采用MFC主動(dòng)控制，位移響應(yīng)在1.8s即可收斂到0，而采用被動(dòng)控制在5s時(shí)才能收斂。由于MFC驅(qū)動(dòng)器的控制頻帶比較寬，對(duì)于由復(fù)雜外界激勵(lì)引發(fā)的高頻振動(dòng)也能較好地進(jìn)行抑制，而被動(dòng)控制方法對(duì)高頻振動(dòng)的抑制效果較差。在采用被動(dòng)控制時(shí)，即使在5s時(shí)仍然存在微小的高頻振動(dòng)。針對(duì)中心剛體的姿態(tài)角可以得到同樣的規(guī)律，如圖8所示。從圖9可以看出，采用MFC主動(dòng)控制的姿態(tài)角速度可以更快地收斂到0，說(shuō)明其姿態(tài)穩(wěn)定性更強(qiáng)。圖10是采用主動(dòng)控制時(shí)施加在MFC上的驅(qū)動(dòng)電壓。壓電驅(qū)動(dòng)載荷比擬方法可使壓電結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模難度大大降低，在處理復(fù)雜的航天器壓電結(jié)構(gòu)時(shí)尤其具有顯著的優(yōu)勢(shì)。

本文只采用1片MFC驅(qū)動(dòng)器對(duì)航天器的振動(dòng)進(jìn)行了主動(dòng)抑制。如果在航天器柔性體的表面粘貼多片經(jīng)過(guò)位置優(yōu)化和壓電纖維鋪設(shè)角度優(yōu)化后的MFC驅(qū)動(dòng)器，則航天器的振動(dòng)抑制效果將會(huì)更好，同時(shí)中心剛體的姿態(tài)穩(wěn)定性將會(huì)更高。因此，MFC驅(qū)動(dòng)器在柔性航天器的撓性振動(dòng)抑制中具有很好的應(yīng)用前景。

4 結(jié) 論

本文研究了基于壓電纖維復(fù)合材料驅(qū)動(dòng)器的柔性航天器的振動(dòng)抑制問(wèn)題。利用哈密頓原理和壓電驅(qū)動(dòng)的載荷比擬方法，建立了帶MFC驅(qū)動(dòng)的離散形式的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程，采用LQR最優(yōu)控制算法進(jìn)行了主動(dòng)控制。結(jié)果表明，使用MFC可以實(shí)現(xiàn)航天器撓性振動(dòng)的快速抑制，并且可同時(shí)保持中心剛體姿態(tài)的穩(wěn)定性，即能夠?qū)崿F(xiàn)柔性航天器撓性振動(dòng)與姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的協(xié)同控制。由于MFC驅(qū)動(dòng)器的控制頻帶較寬，基于MFC的主動(dòng)控制方法對(duì)于高頻響應(yīng)也具有較好的控制效果。針對(duì)柔性占優(yōu)的航天器，采用主動(dòng)控制方法相比被動(dòng)控制方法在響應(yīng)收斂的速度和姿態(tài)穩(wěn)定性方面更具優(yōu)勢(shì)。本文方法在處理具有復(fù)雜柔性壓電結(jié)構(gòu)的航天器時(shí)可使建模難度大幅降低，具有顯著的優(yōu)勢(shì)，更適合于工程應(yīng)用。MFC驅(qū)動(dòng)器在柔性航天器的動(dòng)力學(xué)控制中具有很好的應(yīng)用前景。本文只采用1片MFC進(jìn)行主動(dòng)控制，后續(xù)應(yīng)考慮粘貼多片MFC，并對(duì)MFC驅(qū)動(dòng)器的粘貼位置及壓電纖維的鋪設(shè)角度進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。