尤 磊， 王 勇， 吳敬玉， 劉忠國(guó)， 周承豫， 喬永亮

(1.上海航天控制技術(shù)研究所·上?！?01109； 2.上海慣性工程技術(shù)研究中心·上海·201109)

0 引 言

PID控制器因?yàn)槠浣Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本較低、在簡(jiǎn)單系統(tǒng)中控制效果良好等優(yōu)點(diǎn)，在工程實(shí)踐中的應(yīng)用十分廣泛。但是，PID需要調(diào)節(jié)3個(gè)參數(shù)，即使應(yīng)用較多的PI控制器也需要調(diào)節(jié)2個(gè)參數(shù)，其參數(shù)間的耦合關(guān)系較為復(fù)雜。目前，仍未有較為系統(tǒng)的參數(shù)調(diào)節(jié)方法。同時(shí)，確定的PID參數(shù)對(duì)于非線性、時(shí)延、負(fù)載變化的系統(tǒng)，在多數(shù)情況下無法實(shí)現(xiàn)理想的控制效果。飛輪使用的無刷直流電機(jī)，是典型的非線性、強(qiáng)耦合系統(tǒng)。為達(dá)到良好的控制效果，需要自適應(yīng)調(diào)節(jié)的PID控制器，以實(shí)現(xiàn)較好的控制效果。

文獻(xiàn)[1]將灰度模型G(1，2)與徑向基函數(shù)(Radial Basis Function，RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)了小型無刷直流電機(jī)的智能控制；文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[3]使用灰度模型G(0，N)，將無刷直流電機(jī)模型分為確定部分和非確定部分，并設(shè)計(jì)為灰色模型，建立了參數(shù)在線調(diào)整的控制器，有效補(bǔ)償了電機(jī)受到的干擾及非確定模型。由于采用了多輸入方式，上述幾種方法的實(shí)現(xiàn)較為困難；不使用電機(jī)雙閉環(huán)控制中的電流環(huán)控制器，將導(dǎo)致電流無法快速響應(yīng)指令，控制效果不佳。

本文建立了基于灰度模型G(1，1)的轉(zhuǎn)速控制器，用于無刷直流電機(jī)的轉(zhuǎn)速控制，電流環(huán)控制仍然使用了傳統(tǒng)的PI控制器。由灰度模型預(yù)測(cè)電機(jī)在下一采樣時(shí)刻的轉(zhuǎn)速，建立預(yù)測(cè)誤差值同PID參數(shù)間的變化關(guān)系，在線調(diào)整PID參數(shù)，以達(dá)到更加快速、穩(wěn)定地跟蹤預(yù)期轉(zhuǎn)速指令的目的。

1 無刷直流電機(jī)模型

在飛輪中應(yīng)用最多的是按Y形連接的三相無刷直流電動(dòng)機(jī)。在無中線、忽略管壓降的情況下，三相繞組的電勢(shì)平衡方程為[4]

(1)

(2)

在式(2)中，LA、LB、LC為定子三相繞組自感；MAB、MBA、MAC、MCA、MBC、MCB為定子三相繞組間的互感。

假設(shè)三相繞組對(duì)稱，不計(jì)磁路飽和的影響，則電子繞組電感(自感和互感)不隨定子電流及轉(zhuǎn)子位置而發(fā)生變化，即有

RA=RB=RC=Ra

(3)

LA=LB=LC=L

(4)

MAB=MBA=MAC=MCA=MBC=MCB=M

(5)

用Ra(a代表A、B或C)、L、M分別表示定子繞組的相電阻、相電感、相間互感，將式(2)代入式(1)并寫為矩陣形式，可得

(6)

飛輪中的電機(jī)三相繞組為Y形無中線聯(lián)結(jié)，則有

iA+iB+iC=0

(7)

因此

MiB+MiC=-MiA

(8)

將式(6)整理為

(9)

由于在實(shí)際應(yīng)用中，習(xí)慣采用電動(dòng)機(jī)線電壓方程式，由式(9)可得

(10)

在式(10)中，eAB=eA-eB；eBC=eB-eC；eCA=eC-eA。

其中，各相繞組反電動(dòng)勢(shì)的幅值為

(11)

ea=KEω

(12)

產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩為

(13)

電機(jī)動(dòng)力學(xué)模型為[5]

(14)

其中，Tl為負(fù)載轉(zhuǎn)矩，B為阻尼系數(shù)。

2 灰度預(yù)測(cè)模型

灰度模型的常用符號(hào)為G(M，N)。其中，N表示變量個(gè)數(shù)，M表示常微分方程的階數(shù)。在本文中，使用灰度模型G(1，1)預(yù)測(cè)無刷直流電機(jī)的轉(zhuǎn)速。G(1，1)模型為1個(gè)輸入變量的一階灰度模型。由于其只有1個(gè)輸入，因此結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，無需大量運(yùn)算過程，采用一階差分方式，利用較少的數(shù)據(jù)就可以得到較為準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)電機(jī)轉(zhuǎn)速。

以下為建立轉(zhuǎn)速灰度預(yù)測(cè)模型的過程：

(1)建立初始轉(zhuǎn)速序列

ω(0)=[ω(0)(1)ω(0)(2) …ω(0)(n)]

(15)

在式(15)中，n為采集轉(zhuǎn)速個(gè)數(shù)。該序列表示電機(jī)的實(shí)測(cè)轉(zhuǎn)速值，用于預(yù)測(cè)下一時(shí)刻的轉(zhuǎn)速，該序列最少需要4個(gè)數(shù)據(jù)[6]。所采集的數(shù)據(jù)越多，需要的計(jì)算量越大，相應(yīng)的結(jié)果也越精確。在飛輪控制中，采用FPGA作為控制處理器。其資源有限，無法進(jìn)行數(shù)量較多的灰度預(yù)測(cè)算法，因此選擇4個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)未來轉(zhuǎn)速進(jìn)行預(yù)測(cè)，即n=4。

(2)建立數(shù)據(jù)累加序列

ω(1)=AGO(ω(0))
=[ω(1)(1)ω(1)(2) …ω(1)(n)]

(16)

在式(16)中，ω(1)(k)表示數(shù)列ω(0)對(duì)應(yīng)的前k項(xiàng)數(shù)據(jù)的累加，即

(17)

通過數(shù)據(jù)累加對(duì)測(cè)量轉(zhuǎn)速的噪聲進(jìn)行簡(jiǎn)單的降噪處理，以加強(qiáng)數(shù)據(jù)的規(guī)律顯現(xiàn)。

(3)建立背景值序列

k的取值為：k=2,3,…n

(18)

計(jì)算累加序列的平均值，防止原始序列自身存在突變的奇異數(shù)據(jù)而干擾模型，運(yùn)用背景序列平滑這一階躍特性。

(4)灰度差分方程

G(1，1)的一階線性微分方程為

(19)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)與差分的數(shù)學(xué)思想，可得

ω(0)(k)+az(1)(k)=b,k=2,3,…n

(20)

令

ω=[ω(0)(2)ω(0)(3) …ω(0)(n)]T

(21)

v=[ab]T

(22)

(23)

式(23)可寫為ω=Bv，利用最小二乘法求解可得

(24)

(5)求解預(yù)測(cè)模型

求解式(19)，可得在第k+1時(shí)刻預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)速的累加值為[7]

(25)

則k+1時(shí)刻的預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)速值為

(26)

3 灰度預(yù)測(cè)控制器

參數(shù)調(diào)節(jié)器的具體調(diào)整步驟如下

(1)計(jì)算預(yù)測(cè)誤差函數(shù)

(27)

(2)定義預(yù)測(cè)精度函數(shù)

(28)

(3)PID輸出控制信號(hào)

(29)

在式(29)中，eP、eI、eD分別為增益誤差函數(shù)、積分誤差函數(shù)，以及微分誤差函數(shù)。

(30)

(31)

(32)

(4)采用梯度下降法求解參數(shù)

(33)

(34)

(35)

將式(27)、 式(28)、 式(29)代入式(33)、式(34)、式(35)，可得

(36)

(37)

(38)

(5)更新PID中的3個(gè)參數(shù)

(39)

(40)

(41)

圖1 基于灰度預(yù)測(cè)控制器的電機(jī)控制Fig.1 The control of BLDC motor based on Pray Prediction Controller

該控制器用預(yù)測(cè)誤差代替實(shí)際誤差，對(duì)傳統(tǒng)PID中的3個(gè)控制參數(shù)提前進(jìn)行了調(diào)整，應(yīng)用梯度下降法使預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)速與理論轉(zhuǎn)速的誤差在最短時(shí)間內(nèi)達(dá)到了最小值，從而求出了在每一時(shí)刻最合適的PID參數(shù)值。將該參數(shù)值應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)中，可使系統(tǒng)快速、穩(wěn)定地達(dá)到預(yù)期狀態(tài)。

4 仿真分析

在圖1所示結(jié)構(gòu)圖中，針對(duì)電流控制器，仍然使用傳統(tǒng)PI進(jìn)行控制；PI控制器輸出控制電壓Vc，并在控制器內(nèi)增加限幅，使得最大控制電壓為Vcm；將Vc輸入到逆變器中，通過整流作用，輸出電機(jī)的相電壓ua(a代表A、B、C)。作為具有時(shí)間滯后效應(yīng)的增益環(huán)節(jié)，逆變器的模型如下

Kr·e-Tr

(42)

在式(42)中，

(43)

在式(43)中，Vdc為逆變器輸入的直流母線線電壓；fc為逆變器的開關(guān)(載波)頻率。

由于在工程應(yīng)用中，電機(jī)控制采用離散化方法，因此在仿真過程中，需對(duì)上述模型及控制律進(jìn)行離散化處理。

仿真所使用的電機(jī)的參數(shù)如下：

逆變器輸入的直流母線電壓：Vdc=28V。

最大控制電壓：Vcm=42V。

逆變器開關(guān)(載波)頻率：4kHz。

電機(jī)三相電阻：Ra=0.3Ω。

電機(jī)三相電感：L=0.06mH。

忽略電機(jī)三相間互感，即M≈0mH。

電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：J=0.088kg·m2。

電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩系數(shù)：KT=0.38。

電機(jī)反電勢(shì)系數(shù)：Ke=0.04。

圖2為當(dāng)電機(jī)給定轉(zhuǎn)速為3000r/min時(shí)，電機(jī)轉(zhuǎn)速?gòu)?r/min達(dá)到指定轉(zhuǎn)速的2種控制器的表現(xiàn)；表1為2種控制器的具體性能指標(biāo)。

圖2 2種控制器控制效果的對(duì)比Fig.2 The contrast between two controllers

超調(diào)量穩(wěn)態(tài)誤差上升時(shí)間/s調(diào)節(jié)時(shí)間/s灰度預(yù)測(cè)控制器000.0490.049PID控制器9.7%00.0310.11

從圖2和表1可以明顯看出，灰度預(yù)測(cè)控制器比PID控制器能夠更快、超調(diào)更小地達(dá)到轉(zhuǎn)速理論值，實(shí)現(xiàn)對(duì)電機(jī)的智能控制。

圖3為PID參數(shù)隨預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)速的變化值。

(a)比例增益Kp的變化曲線

(b)積分增益KI的變化曲線

(c)微分增益KD的變化曲線圖3 預(yù)測(cè)下的灰度預(yù)測(cè)控制器的參數(shù)變化Fig.3 The variety of parameters based on Gray Prediction Controller

為驗(yàn)證灰度預(yù)測(cè)下的電機(jī)抗干擾能力，在1s處對(duì)電機(jī)施加0.1N·m的干擾力矩。圖4所示為在存在外力矩干擾下的電機(jī)的調(diào)節(jié)情況。從圖4可知，灰度預(yù)測(cè)控制器受干擾后的偏差值為1.8%，PID控制器的偏差值同樣為1.8%；但是，灰度預(yù)測(cè)控制器在0.079s后重新恢復(fù)穩(wěn)定，而PID控制器則需要0.167s才可恢復(fù)穩(wěn)定。因此可知，運(yùn)用灰度預(yù)測(cè)控制器的系統(tǒng)抗干擾能力更強(qiáng)。圖5所示為在干擾情況下灰度預(yù)測(cè)控制器的參數(shù)變化。

圖4 負(fù)載干擾下的控制效果對(duì)比圖Fig.4 The contrast between two controllers under loading

(a)比例增益Kp的變化曲線

(b)積分增益KI的變化曲線

(c)微分增益KD的變化曲線圖5 負(fù)載干擾下灰度預(yù)測(cè)控制器的參數(shù)變化Fig.5 The variety of parameters under loading based on Gray Prediction Controller

5 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)了參數(shù)可調(diào)節(jié)的灰度預(yù)測(cè)控制器。該控制器將灰度預(yù)測(cè)模型G(1，1)和梯度下降法進(jìn)行了結(jié)合，以求解PID的參數(shù)變化?；叶阮A(yù)測(cè)模型將下一采樣時(shí)刻的轉(zhuǎn)速較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出來，通過梯度下降法尋找參數(shù)變化的規(guī)律，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)參數(shù)均可實(shí)現(xiàn)快速響應(yīng)的效果。

由仿真結(jié)果可知，相較于傳統(tǒng)PID控制器，灰度預(yù)測(cè)控制器實(shí)現(xiàn)了無超調(diào)控制，調(diào)節(jié)時(shí)間減少了55.5%。同時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差為0，即準(zhǔn)確地跟蹤了轉(zhuǎn)速指令。由此驗(yàn)證，用4個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，可快速、平滑且準(zhǔn)確地控制電機(jī)轉(zhuǎn)速。對(duì)于外部突加干擾，灰度預(yù)測(cè)控制器可以更加快速地消除系統(tǒng)所受到的干擾。相對(duì)于傳統(tǒng)PID控制器，其穩(wěn)定性更強(qiáng)。由此，驗(yàn)證了該方法的有效性。