牟金震，溫凱瑞

(上海航天控制技術(shù)研究所·上?！?01109)

0 引 言

高超聲速控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的兩個(gè)重大難題是系統(tǒng)的耦合問題與不確定性問題[1-3]。針對(duì)這兩個(gè)問題，許多學(xué)者基于高超聲速飛行器的縱向模型開展了相關(guān)研究。文獻(xiàn)[4]對(duì)縱向模型輸入輸出進(jìn)行了線性化，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了自適應(yīng)滑?？刂破髋c滑模觀測(cè)器，使系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性。文獻(xiàn)[5]忽略了縱向系統(tǒng)間的弱耦合，基于控制模型設(shè)計(jì)了魯棒控制器，并提出了利用飛行器的鴨翼來提高系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性。文獻(xiàn)[6]對(duì)縱向系統(tǒng)的姿態(tài)模型進(jìn)行了魯棒性研究，針對(duì)攻角受限問題設(shè)計(jì)了反饋控制律。文獻(xiàn)[4-6]針對(duì)飛行器縱向不確定性問題的研究均取得了較大的成果。針對(duì)縱向系統(tǒng)的耦合問題，文獻(xiàn)[7]基于3D模型研究了縱向系統(tǒng)與推力系統(tǒng)間的耦合關(guān)系，并采用結(jié)構(gòu)圖的形式體現(xiàn)了系統(tǒng)的耦合關(guān)系。文獻(xiàn)[8]將縱向系統(tǒng)的耦合歸并為系統(tǒng)的不確定性來處理，基于動(dòng)態(tài)逆設(shè)計(jì)了耦合觀測(cè)器。文獻(xiàn)[9-10]利用分層協(xié)調(diào)的思想，將縱向系統(tǒng)分解為高度回路、速度回路、姿態(tài)回路與推力回路，并針對(duì)不同回路分別設(shè)計(jì)了耦合補(bǔ)償機(jī)制。文獻(xiàn)[7-10]針對(duì)縱向系統(tǒng)的耦合問題的分析研究均取得了較大的成果，但對(duì)如何弱化耦合與補(bǔ)償耦合的問題的研究仍然處于起始階段?；诖耍疚膶?duì)縱向系統(tǒng)間的強(qiáng)耦合問題繼續(xù)展開研究。本文主要研究的內(nèi)容包括：(1)基于耦合度表征縱向模型變量間的耦合關(guān)系；(2)采用系統(tǒng)分層協(xié)調(diào)思想，將系統(tǒng)分為速度、高度/航跡角、攻角/俯仰角速率回路，即速度、高度與姿態(tài)子系統(tǒng)；(3)對(duì)于速度及高度子系統(tǒng)，采用耦合補(bǔ)償?shù)姆椒ㄔO(shè)計(jì)了協(xié)調(diào)控制器；(4)在姿態(tài)子系統(tǒng)中，通過耦合轉(zhuǎn)換技術(shù)設(shè)計(jì)了協(xié)調(diào)因子，將“直接導(dǎo)數(shù)耦合”弱化為“間接導(dǎo)數(shù)耦合”，并設(shè)計(jì)了協(xié)調(diào)控制器。

1 高超聲速飛行器縱向模型

飛行器的縱向模型可以描述為[7-10]

(1)

其中，系統(tǒng)狀態(tài)變量x=[V,H,γ,α,q]，V為飛行器速度，H為飛行器飛行高度，γ為航跡角，α為攻角，q為俯仰角速率；輸入變量為u=[φ,δe,δc]T，φ為燃料當(dāng)量比，δe為升降舵，δc為鴨翼；輸出變量為y=[V,H]T；T、D、L、m分別為推力、阻力、升力與俯仰力矩，M為飛行器質(zhì)量?？v向氣動(dòng)力與力矩的表達(dá)式為

(2)

2 耦合度分析

為了表示縱向系統(tǒng)變量間的耦合關(guān)系，基于數(shù)學(xué)采樣方法計(jì)算縱向系統(tǒng)間的耦合度[9-13]。下面給出了變量[H,V,γ,α,q]與[δe，δc，φ]的耦合度η、[H,V]與[γ,α,q]的耦合度χ，以及α與[γ,q]的耦合度σ，分別為

(3)

(4)

(5)

在耦合度矩陣(3)中，狀態(tài)變量H與δc的耦合關(guān)系最強(qiáng)，與φ的耦合關(guān)系最弱；V與φ的耦合關(guān)系最強(qiáng)，與δe、δc的耦合關(guān)系基本一致；γ與δc的耦合關(guān)系最強(qiáng)；α與δe、δc的耦合關(guān)系基本一致；q與δe的耦合關(guān)系最強(qiáng)，與φ的耦合關(guān)系最弱。在耦合度矩陣(4)中，H與γ的耦合度最強(qiáng)，與α的耦合度次之，與q的耦合度最??；V與γ的耦合度較強(qiáng)，與其他兩個(gè)變量的耦合度較弱。在耦合度矩陣(5)中，α與q的耦合度最強(qiáng)，與γ的耦合度較弱。

3 縱向魯棒協(xié)調(diào)控制

縱向協(xié)調(diào)機(jī)制設(shè)計(jì)的基本思想是分層協(xié)調(diào)，首先，將整個(gè)系統(tǒng)分為速度子系統(tǒng)、高度/航跡角子系統(tǒng)，以及姿態(tài)子系統(tǒng)。每一層的協(xié)調(diào)基于本層的輸入量、虛擬控制質(zhì)量來完成，如圖1所示。在速度子系統(tǒng)中，φ與V是最強(qiáng)的耦合，協(xié)調(diào)的目的是設(shè)計(jì)協(xié)調(diào)控制器φ以補(bǔ)償此耦合。高度/航跡角子系統(tǒng)協(xié)調(diào)設(shè)計(jì)的第一步是設(shè)計(jì)γcmd，以協(xié)調(diào)H與V；第二步是設(shè)計(jì)αcmd，以協(xié)調(diào)γ與V；最后設(shè)計(jì)qcmd，以協(xié)調(diào)α與γ。在姿態(tài)子系統(tǒng)中，α與q的耦合關(guān)系可被描述為“直接導(dǎo)數(shù)”關(guān)系，協(xié)調(diào)的基本思想是引入?yún)f(xié)調(diào)因子，將“直接導(dǎo)數(shù)耦合”轉(zhuǎn)換為“間接導(dǎo)數(shù)耦合”，以降低耦合效應(yīng)。

圖1 縱向系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制原理圖Fig.1 Block diagram of the coordinated control architecture

將式(1)所給出的縱向模型表示為如下形式[5,15]

(6)

控制器的目的是對(duì)于給定的信號(hào)yref(t)=[Vref(t),Href(t)]T，其速度與高度能穩(wěn)定跟蹤參考信號(hào)，將協(xié)調(diào)指令設(shè)計(jì)為φ、γcmd(t)、αcmd(t)、qcmd(t)，將跟蹤誤差定義為

Href,γ-γcmd,α-αcmd,q-qcmd]T

(7)

3.1 速度回路魯棒協(xié)調(diào)控制器設(shè)計(jì)

將推力T的表達(dá)式代入式(1)中的速度模型，可得速度回路誤差的動(dòng)態(tài)模型為

(8)

定義不確定參數(shù)θ1∈R16為

(9)

將式(9)代入到式(8)中，則式(8)可重寫為

(10)

其中，B1(x)與ψ1(x,u,yref)的表達(dá)式為

(11)

其中，Γ1∈R16×16是一個(gè)正對(duì)角矩陣。由投影算法可知[14-15]，速度子系統(tǒng)的控制律選擇為

(12)

對(duì)式(11)的Lyapunov函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)可得

(13)

注1：所有的氣動(dòng)參數(shù)均具有不確定性，為了控制器設(shè)計(jì)的方便，將CT,φ(α)、CT(α)、CD(α,δ)中的不確定參數(shù)分解為不確定參數(shù)矩陣θ1，因此式(8)可重寫為式(10)。

3.2 高度/航跡角回路魯棒協(xié)調(diào)控制器設(shè)計(jì)

(14)

(15)

對(duì)γcmd求導(dǎo)有

圖2 高度/航跡角子系統(tǒng)控制系統(tǒng)的原理Fig.2 Schematic diagram of altitude and velocity subsystem control

(16)

由式(1)、式(2)有

(17)

(18)

則式(17)可以重寫為

(19)

(20)

其中，Γ2∈R4×4是正對(duì)角矩陣。由式(19)可知，高度/航跡角子系統(tǒng)控制律的選擇為

(21)

(22)

由于|γ-γcmd|≤9.17°，則有

(23)

此外，存在

(24)

其中，Ks是一個(gè)隨時(shí)間變化的氣動(dòng)參數(shù)。由式(22)、式(23)、式(24)可得

(25)

其中，Kc是一個(gè)隨時(shí)間變化的氣動(dòng)參數(shù)，kc是一個(gè)大于0的常數(shù)。因此，將式(23)、式(24)、式(25)代入到式(22)，有

(26)

其中，

(27)

(28)

3.3 攻角/俯仰角速率回路魯棒協(xié)調(diào)控制器設(shè)計(jì)

為了獲取協(xié)調(diào)指令αcmd，由公式(1)，速度動(dòng)態(tài)模型與航跡角的動(dòng)態(tài)模型可以寫成如下形式

(29)

其中，uV=Tcosα，uγ=Tsinα，則式(29)可轉(zhuǎn)化為

(30)

因此，虛擬控制指令選擇為

(31)

由此，期望的攻角指令信號(hào)設(shè)計(jì)為

(32)

(33)

(34)

(35)

則(ξ,χ1,χ2)系統(tǒng)可表示為

(36)

至此，“直接導(dǎo)數(shù)耦合”轉(zhuǎn)換為“間接導(dǎo)數(shù)耦合”，弱化了姿態(tài)系統(tǒng)的強(qiáng)耦合。

注3：這里采用的耦合弱化思想，在本質(zhì)上并沒有改變系統(tǒng)的狀態(tài)方程，只是通過引入虛擬參數(shù)將原系統(tǒng)的“直接導(dǎo)數(shù)”抽離出來轉(zhuǎn)換成了“間接導(dǎo)數(shù)”。通過分析可知，攻角/俯仰角速率耦合無法采用耦合消除策略[8-9,12-13，15]，因此對(duì)其引入了耦合弱化思想。

俯仰力矩控制指令選擇為

mcmd=Iyy0[[-μ-κ5a1]χ2+

(37)

(38)

定義不確定參數(shù)矩陣θ3、矩陣ψ3及矩陣B3如下

ψ3=[-α3φ,-α2φ,-αφ,-φ,-α3,-α2,

(39)

則(ξ,χ1,χ2)子系統(tǒng)可重寫為

(40)

令ζ1=χ1、ζ2=χ2/κ5，則式(40)可轉(zhuǎn)換為

(41)

其中，

(42)

(43)

控制器設(shè)計(jì)為

(44)

對(duì)Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)得

(45)

4 穩(wěn)定性證明

定理1：考慮系統(tǒng)(1)、(2)，控制律選擇為(12)、(21)、(44)，則系統(tǒng)輸出信號(hào)y=[V,h]T可以漸進(jìn)跟蹤期望信號(hào)yref(t)=[Vref(t),Href(t)]T，即跟蹤誤差最終漸近穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)所有變量最終有界[16]。

證明：閉環(huán)系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)選取為

(46)

對(duì)Z求導(dǎo)有

(47)

將式(13)、式(26)、式(45)代入到式(47)中，有

(48)

其中，

R(t)=

(49)

選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)κ1>0,μ>0,κ5>0，則R(t)正定。因此有

(50)

由式(50)可知，協(xié)調(diào)控制指令φ、γcmd(t)、αcmd(t)、qcmd(t)與協(xié)調(diào)控制器(12)、(21)、(44)可以保證被控系統(tǒng)(1)與(2)所有變量有界，因此縱向閉環(huán)系統(tǒng)最終一致有界。

5 仿真分析

將仿真初始條件設(shè)定為：H=30000m、V=3000m/s、φ=0、α=1°、γ=0°、q=0°。期望的指令為Href=30500m、Vref=3050m/s。在初始條件下，所有的氣動(dòng)參數(shù)具有30%的不確定性?？刂破鲄?shù)選擇為：κ1=2,κ2=1,κ3=4,κ4=6,κ5=2,Γ1=0.1×I16×16,Γ2=0.1×I5×5,Γ3=0.1×I13×13,μ=0.75,a0=0.5,a1=1.5,Iyy0=85000。仿真圖如圖3所示。

(a) 速度跟蹤曲線

(b) 高度跟蹤曲線

(c) 航跡角跟蹤曲線

(d)攻角跟蹤曲線

(e)俯仰角速率跟蹤曲線

(f)鴨翼舵偏轉(zhuǎn)曲線

(g)升降舵偏轉(zhuǎn)曲線

(h)油門開度當(dāng)量比變化曲線圖3 縱向系統(tǒng)仿真對(duì)比曲線Fig.3 The comparison results of longitu-dinal trajectory variables

由圖3(a)可以看出，魯棒協(xié)調(diào)控制器的性能明顯優(yōu)于一般控制器。在0s到10s過程中，速度通道在一般控制器作用下，有較大的振蕩。在18s后進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)，速度通道仍然有振蕩。經(jīng)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，在魯棒協(xié)調(diào)控制器的作用下，速度跟蹤曲線的性能有所提升，跟蹤過程沒有出現(xiàn)明顯的振蕩，處理速度通道的不確定明顯加強(qiáng)。由圖3(b)可知，高度通道在一般控制器作用下，在0s到20s過程中，出現(xiàn)了2次振蕩，在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后有較大超調(diào)。在對(duì)比魯棒協(xié)調(diào)控制器后發(fā)現(xiàn)，高度通道指令跟蹤速度變快，無振蕩，動(dòng)態(tài)性能提升。由圖3(c)、圖3(d)、圖3(e)可知，在魯棒協(xié)調(diào)控制器的作用下，跟蹤曲線動(dòng)態(tài)性能較好，調(diào)節(jié)次數(shù)減少，曲線更為平滑。由圖3(f)、圖3(g)可知，在魯棒協(xié)調(diào)控制器作用下，舵面偏轉(zhuǎn)效率較高，舵面振蕩次數(shù)減少，振蕩幅度減小，舵面調(diào)節(jié)次數(shù)減少。由圖3(h)可知，在魯棒協(xié)調(diào)控制器作用下，油門開度當(dāng)量比變化曲線更為平滑，整個(gè)調(diào)節(jié)過程無振蕩，無抖動(dòng)，燃料燃燒后產(chǎn)生的推力比較平穩(wěn)，利于飛行器的調(diào)節(jié)。在一般控制器作用下，油門開度當(dāng)量比會(huì)出現(xiàn)振蕩，燃料燃燒后產(chǎn)生的推力是頻繁振蕩的。這將不利于飛行器的調(diào)節(jié)，會(huì)對(duì)飛行器造成損傷。

6 結(jié) 論

本文針對(duì)高超聲速飛行器縱向系統(tǒng)進(jìn)行了耦合分析，并基于耦合補(bǔ)償與轉(zhuǎn)換技術(shù)設(shè)計(jì)了縱向系統(tǒng)魯棒協(xié)調(diào)控制器。同時(shí)，針對(duì)縱向系統(tǒng)的不確定性，通過引入投影映射算法，將系統(tǒng)模型中的參數(shù)不確定項(xiàng)分解成了參數(shù)不確定矢量矩陣，利用自適應(yīng)估計(jì)器在線實(shí)時(shí)估計(jì)了系統(tǒng)的不確定性。仿真比對(duì)分析結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的魯棒協(xié)調(diào)控制器對(duì)系統(tǒng)的不確定性與耦合具有較強(qiáng)的魯棒性與協(xié)調(diào)性，提高了系統(tǒng)的協(xié)調(diào)能力。