黃 靜，孫祿君，孫 俊，劉 剛

(1. 上海航天控制技術(shù)研究所·上?！?01109； 2.上海市空間智能控制技術(shù)重點實驗室·上?！?01109)

0 引 言

航天器編隊飛行因其結(jié)構(gòu)靈活、功能強(qiáng)大、可靠性高、生命周期長及發(fā)射風(fēng)險低等優(yōu)點，已經(jīng)成為了航天控制領(lǐng)域近年來研究的熱點[1-2]。在航天器編隊飛行中，多個航天器之間可形成特定的編隊構(gòu)型，通過星間的信息交互、相互作用、協(xié)同工作，以類似一個虛擬單體航天器的方式來完成空間任務(wù)[3-4]。整個編隊系統(tǒng)(如深空干涉儀、合成孔徑雷達(dá)等)在執(zhí)行一些復(fù)雜的編隊任務(wù)時，不僅要求編隊中的各個航天器達(dá)到整個編隊對軌道、姿態(tài)的要求(如絕對期望姿態(tài)、軌道)，同時要求各航天器間的相對姿態(tài)、相對位置滿足一定的約束，以達(dá)到指定的一致性要求(如構(gòu)型不變、姿態(tài)一致、波束同步等)。由此，便涉及到了分布式系統(tǒng)的協(xié)同控制問題。

與單個航天器任務(wù)相比，航天器編隊飛行面臨的挑戰(zhàn)是在維持固定的航天器相對距離的同時，保持精確的姿態(tài)協(xié)同。以由主-從結(jié)構(gòu)編隊組成的分布式雷達(dá)天線為例。為了實現(xiàn)高分辨率的觀測[5]，天線陣面邊緣之間的距離必須保持在1m之內(nèi)。同時，航天器之間相對位置和姿態(tài)的精度應(yīng)分別控制在1mm和0.1°之內(nèi)。對于這種超近距離、高精度的航天器編隊飛行任務(wù)，在航天器編隊的構(gòu)型建立和保持時，更需要采取控制策略以避免航天器之間的碰撞。另一方面，在保持編隊重構(gòu)的同時，需要獲得較高的相對位置和相對姿態(tài)精度信息。

本文主要研究的是在具有外界干擾和防避撞約束條件下的近地軌道超緊密航天器編隊的構(gòu)型控制問題，需要考慮航天器編隊的六自由度的協(xié)調(diào)控制。目前，考慮具有外界干擾和防避撞約束條件下的航天器編隊的構(gòu)型控制問題，大多數(shù)只考慮了對相對位置的控制。Hyo-Sung等[6]針對多智能體編隊的位置協(xié)同控制提出了一種歐幾里德距離矩陣方法，以解決距離測量過程中存在的不確定性和擾動的問題。Zhao等[7]將模型預(yù)測控制方法應(yīng)用于主從方式編隊飛行問題，設(shè)計了避撞飛行魯棒控制策略。但是，基于優(yōu)化的模型預(yù)測方法計算量較大[8]。Zou等[9]設(shè)計了一種終端滑?？刂破?，以解決航天器編隊協(xié)同過程中的外部擾動問題。Bechlioulis等[10]針對非線性多智能體系統(tǒng)，采用預(yù)設(shè)性能控制研究了一種間接通信協(xié)議下含未知非線性和干擾的編隊控制問題，但未考慮防避撞的實際工程需要。針對六自由度的協(xié)同控制問題，Xu等[11]針對姿軌耦合六自由度航天器，設(shè)計了滑模跟蹤控制算法。Stansbery等[12]采用狀態(tài)相關(guān)Riccati方程(SDRE)設(shè)計了全狀態(tài)反饋非線性控制器，以同時實現(xiàn)平動和轉(zhuǎn)動六自由度控制。呂躍勇等[13]考慮了控制約束條件，設(shè)計了一種L2干擾抑制控制方法，解決了含參數(shù)不確定和外部干擾的航天器編隊的六自由度協(xié)同控制問題。但是，以上研究均未在控制器設(shè)計過程中考慮系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。

預(yù)設(shè)性能控制(PPC)是當(dāng)前控制界的研究熱點之一，其優(yōu)勢在于在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的基本前提下，可同時兼顧系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。該方法能夠預(yù)先設(shè)計狀態(tài)量的收斂軌跡邊界，而該邊界約束又能夠通過非線性映射函數(shù)進(jìn)行無約束化處理。受文獻(xiàn)[14]啟發(fā)，本研究將預(yù)設(shè)性能控制與Backstepping方法進(jìn)行了結(jié)合，針對柔性航天器編隊這類具有外界擾動的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)，提出了一種為非線性系統(tǒng)預(yù)設(shè)性能控制器的設(shè)計方法。該方法可根據(jù)任務(wù)需求，設(shè)計各協(xié)同狀態(tài)量的收斂軌跡邊界，確保系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能可滿足預(yù)先設(shè)定的要求，同時保證系統(tǒng)具有一定的魯棒干擾抑制性能。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

航天器編隊飛行既包含軌道運(yùn)動又包含姿態(tài)運(yùn)動，為了準(zhǔn)確描述編隊飛行狀態(tài)，首先需要定義相關(guān)坐標(biāo)系。常用的基本坐標(biāo)系定義如下：

地心慣性坐標(biāo)系(ECI)oixiyizi：坐標(biāo)系原點為地心，oixi軸沿地球赤道平面與太陽黃道平面的交線指向春分點，oizi軸沿地球自轉(zhuǎn)軸指向北極，oiyi軸則與oixi軸、oizi軸構(gòu)成右手正交坐標(biāo)系。

主航天器參考坐標(biāo)系(LVLH)olxlylzl：坐標(biāo)系原點為主航天器質(zhì)心。olxl軸、olyl軸和olzl軸構(gòu)成右手正交坐標(biāo)系并固連在航天器上，定義Rl為主航天器在地心慣性坐標(biāo)系ECI中的位置矢量；olyl軸沿Rl方向指向外，olzl軸指向平行于主航天器軌道法向量方向。

1.1 編隊航天器相對位置數(shù)學(xué)模型

為了推導(dǎo)編隊飛行航天器相對位置的動力學(xué)方程，首先給出主航天器和從航天器的軌道動力學(xué)方程

(1)

(2)

式(2)中，Rr為從航天器相對于主航天器的相對位置矢量；ml和mf分別表示主航天器和從航天器的質(zhì)量；dl和dff分別表示作用在主航天器和從航天器上的外力干擾；Fl和Ff分別表示作用在主航天器和從航天器上的控制力；μ為重力常數(shù)。聯(lián)立式(1)和式(2)，可得編隊航天器相對位置的動力學(xué)方程

(3)

式(3)中，dt?dff-mf/mldl，F(xiàn)t=Ff-mf/mlFl。需要注意的是，式(3)中的相對矢量Rr是定義在地心慣性坐標(biāo)系ECI下的。為了便于航天器編隊的隊形控制，需要將Rr在主航天器參考系 LVLH下進(jìn)行定義，并對相對位置動力學(xué)方程(3)進(jìn)行進(jìn)一步推導(dǎo)整理。

(4)

(5)

式(5)中，科里奧利矩陣Ct(ωo)的定義為

(6)

非線性項Nt(Rr,ω,Rl)的定義為

(7)

在主-從結(jié)構(gòu)編隊進(jìn)行相對位置控制時，一般均假設(shè)將主航天器進(jìn)行理想控制，即假設(shè)軌道控制力恰好可抵消外來干擾力的作用，即有Fl=dl成立。此時，式(5)可改寫為

(8)

至此，式(8)給出了完整的編隊航天器相對位置的非線性動力學(xué)方程。需要說明的是，在式(8)中，從航天器的軌道控制力充當(dāng)了相對位置控制力，這意味著在主-從結(jié)構(gòu)下航天器編隊控制將完全由從航天器完成，而主航天器主要為從航天器做參考基準(zhǔn)并提供參考軌跡。

1.2 編隊航天器相對姿態(tài)數(shù)學(xué)模型

首先，給出相對姿態(tài)四元數(shù)和相對姿態(tài)角速度的定義

(9)

ωr?ωf-Cωl

(10)

(11)

本文給出在如式(9)和式(10)所示的相對姿態(tài)定義的條件下，編隊航天器的相對姿態(tài)運(yùn)動學(xué)方程為

(12)

定義Jl和Jf分別為主航天器和從航天器的轉(zhuǎn)動慣量，在式(10)兩端同時乘以Jf，根據(jù)主航天器和從航天器的姿態(tài)動力學(xué)方程，經(jīng)過推導(dǎo)可以得到

(13)

式(13)中，dll和duf分別表示作用在主航天器和從航天器上的外部干擾力矩。在主-從結(jié)構(gòu)中，一般情況下均假設(shè)主航天器處于理想控制下的自由漂浮狀態(tài)，即主航天器的控制力矩ul能夠完美抵消外部干擾dll的影響，即有ul=-dll成立。因此，式(13)可進(jìn)一步改寫為

(14)

經(jīng)過化簡，可以得到

(15)

方程(15)便是編隊航天器相對姿態(tài)動力學(xué)方程。至此，編隊航天器的相對姿態(tài)運(yùn)動學(xué)方程(12)和相對姿態(tài)動力學(xué)方程(15)構(gòu)成了主-從編隊相對姿態(tài)運(yùn)動的完整數(shù)學(xué)模型，為下文的控制器設(shè)計奠定了基礎(chǔ)。

1.3 研究目標(biāo)

假設(shè)主航天器處于理想控制條件下，將針對主-從編隊航天器的相對位置動力學(xué)方程(8)及相對姿態(tài)動力學(xué)系統(tǒng)(12)、(15)，考慮防避撞的約束和通信距離的限制條件，即有

LL≤L(t)≤LU

(16)

2 預(yù)設(shè)性能魯棒控制器設(shè)計

2.1 編隊航天器相對運(yùn)動數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換

由于預(yù)設(shè)性能函數(shù)直接作用于狀態(tài)變量，通過設(shè)計收斂軌跡邊界可保證系統(tǒng)暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能滿足預(yù)先設(shè)定的要求。為了保證系統(tǒng)滿足防避撞的狀態(tài)約束要求，需要在設(shè)計控制器之前，將相對位置狀態(tài)變量轉(zhuǎn)換為與航天器之間距離相關(guān)的量。在此，選擇將原動力學(xué)方程(8)中關(guān)于z的動力學(xué)方程改寫為關(guān)于L的動力學(xué)方程，根據(jù)

(17)

對L相對于時間求二階導(dǎo)數(shù)，得到

(18)

根據(jù)式(8)，定義新的矢量RL?[xyL]T，可以得到新的相對位置動力學(xué)模型

(19)

式(19)中，

(20)

式(20)中，

2.2 誤差模型轉(zhuǎn)換

首先考慮指數(shù)收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差邊界。本文選取如下函數(shù)作為預(yù)設(shè)性能函數(shù)

ρi(t)=(ρi0-ρi∞)e-lit+ρi∞

(21)

式(21)中，ρi0、ρi∞、li為預(yù)先設(shè)定的正常數(shù)。ρi(t)函數(shù)的變化曲線如圖1所示。ρi0為預(yù)設(shè)性能函數(shù)的初值，在選取時要求其大于狀態(tài)量范數(shù)的初值；ρi∞為預(yù)設(shè)性能函數(shù)的終值，能夠保證狀態(tài)量最終收斂于穩(wěn)定域ρi∞中，在選取時要求根據(jù)實際工程的精度需求進(jìn)行選取(ρi∞并不是越小越好，過高的精度要求會造成控制輸入過大)；li為誤差收斂速度，能夠保證系統(tǒng)狀態(tài)至少以指數(shù)速度收斂，在選取時應(yīng)當(dāng)考慮實際系統(tǒng)的執(zhí)行能力。

圖1 預(yù)設(shè)性能函數(shù)變化曲線Fig.1 Schematic representation of prescribed performance function

定義

(22)

(23)

式(23)中，βi∈[0,1]為設(shè)計參數(shù)，是為防止?fàn)顟B(tài)量超調(diào)而定義的常量，最大超調(diào)量小于等于βiρi0。另外，在式(23)中，假設(shè)0<|e1i(0)|<ρi0成立，通過選擇合適的ρi0、ρi∞、li，可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差收斂到一個預(yù)先設(shè)定的區(qū)域內(nèi)，即保證其最大超調(diào)量和收斂速度滿足預(yù)先設(shè)定的要求。

為了易于實現(xiàn)本文的控制目標(biāo)，將式(23)所示的不等式約束轉(zhuǎn)換為等式約束的形式。引入如下形式的誤差變換

e1i(t)=ρi(t)Ni(zi),i=1,…,6

(24)

(25)

選取具有如下形式的Ni(zi)

(26)

可以求得

(27)

(28)

根據(jù)式(28)，建立原系統(tǒng)(20)的等效系統(tǒng)模型

(29)

2.3 控制器設(shè)計

在空間攝動等外界因素的干擾下，為保證相對位置、相對姿態(tài)精度達(dá)到要求，本研究將預(yù)設(shè)性能與魯棒控制相結(jié)合，利用Backstepping控制器設(shè)計方法，設(shè)計系統(tǒng)(29)的預(yù)設(shè)性能魯棒控制器。首先給出系統(tǒng)具有魯棒H∞干擾抑制性能的定義。

定義對于系統(tǒng)(29)，若存在控制律u和Lyapunov函數(shù)V，且從干擾d到控制輸出y的L2增益小于一個給定的正常數(shù)γ，即

(30)

式(30)中，T>0，則稱該系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定，且具有魯棒H∞干擾抑制性能。

基于Backstepping技術(shù)逐步對預(yù)設(shè)性能魯棒控制器進(jìn)行設(shè)計，過程如下。

定義虛擬狀態(tài)變量ξ1、ξ2

ξ1=z
ξ2=e2-α1

(31)

式(31)中，α1為中間虛擬控制量。

考慮第一個子系統(tǒng)，選擇如下形式的Lyapunov函數(shù)

(32)

對其求導(dǎo)可得

(33)

可暫時忽略ξ2，等待下一步對其進(jìn)行處理。此處僅需設(shè)計虛擬控制α1以鎮(zhèn)定ξ1，則可設(shè)計α1為

(34)

K1為正定矩陣，則有

(35)

進(jìn)一步，設(shè)計實際控制器u，選擇子Lyapunov函數(shù)為

(36)

定義

(37)

將式(36)求導(dǎo)并代入(37)，可得

(38)

為了鎮(zhèn)定z1和z2，則可設(shè)計實際控制器u為

(39)

將式(39)代入式(38)，此時有

(40)

V=2V2

(41)

計算得到

(42)

因為H<0，所以

(43)

式(43)表明，基于Backstepping方法構(gòu)造Lyapunov函數(shù)推導(dǎo)出的魯棒控制律(39)，使得誤差系統(tǒng)(29)對于所有有界干擾是內(nèi)部穩(wěn)定的，即從外部擾動到輸出具有小于γ的L2增益。

綜上，對于誤差模型(29)采用控制律(34)和(39)，可以保證閉環(huán)系統(tǒng)中的所有誤差信號z、e2有界，進(jìn)而保證轉(zhuǎn)化誤差z滿足預(yù)先設(shè)定的暫態(tài)、穩(wěn)態(tài)性能要求。根據(jù)Ni-1(zi)的存在性，不難證明原系統(tǒng)(29)中所有的信號有界，同時其跟蹤誤差滿足預(yù)先設(shè)定的要求。

最終，得到如下定理：

3 仿真分析

本節(jié)在MATLAB/SIMULINK環(huán)境下進(jìn)行數(shù)值仿真試驗，驗證本文所提出的預(yù)設(shè)性能魯棒控制算法的有效性。

超緊密航天器的初始姿態(tài)和軌道參數(shù)仿真條件如表1所示。為了實現(xiàn)分布式雷達(dá)天線的觀測任務(wù)，控制目標(biāo)是天線陣面邊緣之間的距離保持在1m以內(nèi)，并保證10-3m的相對位置精度。

表1 系統(tǒng)仿真參數(shù)

在實際情況中，此類超緊密航天器在近地軌道附近受到的光壓力、氣動阻力等的干擾力幅值不超過10-4N，受到的太陽光壓力矩、剩磁力矩、氣動力矩干擾的力矩幅值一般也不超過10-4Nm。因此，外部干擾的上限可設(shè)為10-4N和10-4Nm。

考慮控制精度和防避撞的狀態(tài)約束條件，根據(jù)預(yù)設(shè)性能參數(shù)的設(shè)計經(jīng)驗，經(jīng)多次試驗，控制參數(shù)的選取結(jié)果如表2所示。仿真時間為800s，仿真結(jié)果如圖2～圖7所示。

表2 控制器參數(shù)

圖2 相對姿態(tài)四元數(shù)變化曲線Fig.2 Trajectories of relative quaternions

圖3 相對角速度變化曲線Fig.3 Trajectories of relative angular velocity

圖4 相對位置變化曲線Fig.4 Trajectories of relative position

圖5 相對速度變化曲線Fig.5 Trajectories of relative velocity

圖6 控制力矩變化曲線Fig.6 Trajectories of applied torques

圖2表示兩星相對姿態(tài)四元數(shù)隨時間的變化曲線，虛線表示設(shè)計的相對姿態(tài)四元數(shù)預(yù)設(shè)性能函數(shù)曲線(PP)。可以看出，相對姿態(tài)都保持在預(yù)設(shè)性能函數(shù)范圍內(nèi)。圖3表示兩星相對角速度變化曲線。從圖2和圖3可以看出，兩星在400s左右建立了期望相對姿態(tài)，并在之后高精度保持了此相對姿態(tài)，相對姿態(tài)四元數(shù)精度達(dá)到了3×10-4，滿足了控制精度的要求。圖4表示兩星相對位置和兩星相對距離隨時間的變化曲線，虛線表示關(guān)于兩星相對位置x、y和相對距離L的預(yù)設(shè)性能函數(shù)曲線。圖5表示相對位置速度變化曲線。從圖4和圖5可以看出，兩星也在400s左右建立了期望相對位置，并在之后高精度保持了此相對位置，相對位置精度達(dá)到了5×10-4m，滿足了控制精度的要求。從相對位置變化曲線可以看出，所設(shè)計的控制器滿足了防避撞的狀態(tài)約束要求。

圖6和圖7分別為從星的控制力矩和控制力曲線?？梢钥闯觯跇?gòu)型建立過程中，由于初始時刻誤差較大，導(dǎo)致初始相對姿態(tài)控制力矩和相對位置控制力較大，分別達(dá)到了0.5Nm和10N左右，構(gòu)型建立后所需控制力矩和控制力非常小，這主要是為了消除外界干擾的影響。從仿真結(jié)果可以看出，在防避撞的狀態(tài)約束和外界干擾影響下，設(shè)計的預(yù)設(shè)性能魯棒控制器能保證整個超緊密航天器相對位置和相對位置控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)性能滿足預(yù)先設(shè)定的要求, 且具有一定的魯棒干擾抑制性能，充分驗證了本文所提出的非線性控制器的有效性。

4 結(jié) 論

本文針對考慮具有外界干擾和防避撞約束的近地軌道超緊密航天器構(gòu)型控制問題，結(jié)合反步控制技術(shù)、預(yù)設(shè)性能和魯棒控制方法，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論提出了一種預(yù)設(shè)性能魯棒控制器設(shè)計方法。

(1)提出的控制方法兼顧了系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，即在保證系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差收斂到一個預(yù)先設(shè)定的指定區(qū)域的同時，保證系統(tǒng)在外擾作用下，具有一定的魯棒干擾抑制性能。

(2)不僅滿足了六自由度編隊協(xié)同的高精度控制要求，還考慮了防避撞的實際工程需要，根據(jù)狀態(tài)約束變量將相對位置動力學(xué)模型轉(zhuǎn)換為與距離相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上設(shè)計了防避撞六自由度編隊協(xié)同控制器。仿真結(jié)果表明，設(shè)計的控制器保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，達(dá)到了控制要求，具有潛在的應(yīng)用前景。

(3)在今后的研究中，將在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮航天器柔性附件的影響，設(shè)計更加具有工程意義的控制律。