☉福建省福鼎市教師進修學校 許可雄

解決問題是數(shù)學學習的核心組成部分.但有些老師為了提高學生的解題能力，不考慮質(zhì)量和效率地讓學生進行機械解題，試圖通過題海戰(zhàn)術(shù)來訓練學生的能力，不僅耗費了大量的時間和精力，而且效果并不理想.所謂“以題解題”就是指在解題后主動進行強化題目特征、梳理知識結(jié)構(gòu)、歸納方法規(guī)律、探究變式引申、嘗試自主編題，實現(xiàn)知識與問題鏈接、問題與問題鏈接、問題與能力鏈接，實現(xiàn)舉一反三、多題一解、多題歸一，提高解決問題的有效性，實現(xiàn)能力轉(zhuǎn)移，并提供新的思維創(chuàng)造力.

建構(gòu)主義學習理論認為：學習是一個雙向過程，通過新知識與舊知識的相互作用，豐富和調(diào)整認知結(jié)構(gòu).以題解題旨在一方面運用舊知識解決新問題，在探究的過程中，將舊知識進行一定地調(diào)整或重組，以獲得新的知識和意義，從而不斷增加和構(gòu)建知識體系；另一方面，在解決新問題時通過類比結(jié)構(gòu)、鏈接知識、探究變式、自主編題，將新舊問題聯(lián)系在一起，實現(xiàn)更加快速地解決問題.

一、知識鏈接，尋找發(fā)力點

在解決數(shù)學問題的過程中，根據(jù)問題中給出的信息來源，鏈接到自己的儲備知識，由此展開相關聯(lián)想，將問題與知識有機地聯(lián)系在一起，使問題與知識彼此之間相互轉(zhuǎn)移和轉(zhuǎn)化，充分激活原有的知識鏈，從而形成新的思維鏈，并快速尋找解決問題的方法.教師應教給學生簡單、合理、適合其最近發(fā)展區(qū)的解題方法，并在原有的基礎上檢索知識、激活知識、提取知識、重組知識，尋求解決問題的發(fā)力點，使解題與思維發(fā)展同步.解題不斷深入的過程，其實就是知識點之間的聯(lián)系與生成對知識結(jié)構(gòu)不斷地調(diào)整與補充的過程，也是對數(shù)學知識繼續(xù)學習的過程.在解題中如何有效地鏈接知識，找到最佳的解決問題的發(fā)力點是需要我們?nèi)ヌ骄颗c歸納的.

例1（1）已知函數(shù)f（x）=lnx-ax在區(qū)間［1，3］上有兩個不同的零點，那么實數(shù)a的取值范圍是______.

（2）已知函數(shù)f（x）=ax（a＞1）的定義域與值域都是［m，n］，那么實數(shù)a的取值范圍是______.

（3）若不等式x對于任意實數(shù)x恒成立，那么實數(shù)a的取值范圍是______.

我們可以將這三個問題做如下轉(zhuǎn)化：

（2）由函數(shù)（fx）=a（xa＞1）單調(diào)遞增，可得，即方程ax=x有兩個不等的根，轉(zhuǎn)化為有兩個不等的根；

（1）定義域（0，+∞）；

（3）在（0，e）上單調(diào)遞增；在（e，+∞）上單調(diào)遞減.

這些知識的歸納與總結(jié)可以幫助學生解決一些問題，在解決問題的過程中，通過仔細審題，找到條件和問題之間的邏輯聯(lián)系，并不斷地改造和轉(zhuǎn)化問題，呈現(xiàn)出問題最清晰的形式，進而快速鏈接到相應的知識，最終尋找到最佳的解題發(fā)力點.而解題之后對知識的歸納整理、變式引申、重新組合，豐富了學生的知識體系.知識體系越豐富，知識鏈接就會越迅速，解題方法就會越直接，從而真正做到多題一解，多題歸一.

二、結(jié)構(gòu)類比，突破關鍵點

類比是一種非常重要的數(shù)學思想方法.類比的核心是尋找新舊知識之間的聯(lián)系點，并將現(xiàn)有的知識、方法和理論應用于解決新問題的過程中.數(shù)學中許多公式、定理和法則都可以用類比的方法進行推導，比如相似形與全等形、等差數(shù)列與等比數(shù)列、平面幾何與立體幾何等方面的知識.同樣，為了進一步加深學生對解決問題的理解，教師可以在解決問題的過程中引導學生對問題的結(jié)構(gòu)進行類比，使用已學的知識去解決未知的問題，使用簡單直接的經(jīng)驗來解決復雜的問題，從而提高學生解決問題的能力和邏輯思考的能力.請看下面三個題目：

圖2

例2在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于點D，則成立，類比此性質(zhì)，如圖2，在四面體P-ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，PD⊥平面ABC于點D，則可得到的結(jié)論是______.（答案是）

例3在△ABC中，如果三邊的長分別是a，b，c，內(nèi)切圓的半徑為r，則△ABC的面積為（a+b+c），類比上述命題，在四面體中，若四個面的面積是S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球的半徑為R，則四面體的體積是______（.答案是：V=

例4如圖3，在△ABC中，內(nèi)角平分線AD分線段BC所成的比BD：DC=AB：AC，類比此性質(zhì)，如圖4，在三棱錐A-BCD中，若平面DCE平分二面角A-CD-B，且與棱AB相交于點E，則有______.

這三個題目都是平面幾何類比空間幾何，在知識的結(jié)構(gòu)、邏輯的推理上都是相類似的，而且有很多的可比性，故可以用類比的方法來解決問題.用同樣的方法我們可以去解決以下這道數(shù)列問題：已知在等差數(shù)列{an}中，如果a9=0，那么a1+a2+a3+…+an=a1+a2+a3+…+a17-n（n＜17，n∈N*）成立.類比等比數(shù)列{bn}，如果b10=1，可以得到的結(jié)論b1b2b3…bn=b1b2b3…b19-n（n＜19，N∈N*）.

當我們面對一個數(shù)學新問題時，關鍵是要尋找解題最直接的思路.通過與現(xiàn)有的知識聯(lián)系起來，類比兩個問題結(jié)構(gòu)的相似點，想辦法聯(lián)想到曾經(jīng)做過的、熟悉的、類似的問題上來思考，將現(xiàn)有的知識遷移到新問題之中，把已有問題的解決方法移植過來，為所要解決的問題指引方向.

三、變式探究，拓展發(fā)散點

將變式探究納入數(shù)學教學有助于加深對知識的理解，從而提高學生的思維能力.在數(shù)學教學中，不斷地轉(zhuǎn)換表現(xiàn)形式，從不同角度暴露出知識與問題的本質(zhì)，揭示不同知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導學生繼續(xù)探索，從而發(fā)現(xiàn)學生的認知失衡，幫助學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題，讓學生在解決問題時掌握問題的本質(zhì)特征，找到解決類似或相似問題的思路和方法.同樣，數(shù)學問題的解決方案也不能僅僅滿足于問題，應該善于在解決問題后重新思考，將條件進行變式或?qū)l件結(jié)構(gòu)固化，以及探究原問題的逆問題等.通過這樣的探究，可以極大地提高解題的興趣與效率，進一步拓展學生思維的發(fā)散點.

例5若函數(shù)f（x）在R上可導，且滿足f（x）-xf′（x）＞0，則（ ）.

A.3f（1）＜f（3）B.3f（1）＞f（3）

C.3f（1）=f（3）D.f（1）=f（3）

解 ：由于（fx）滿足（fx）-xf ′（x）＞0，則0恒成立，因此在R上是單調(diào)遞減函數(shù).所以，即3（f1）＞（f3）.故選B.

這道題目在導數(shù)應用的教學中比較常見，而一般老師講過也就結(jié)束了，并沒有進行過多的變式探究，當學生碰到以下這道題目：

例6若函數(shù)f（x）在R上可導，滿足f（x）＞f′（x），且f（0）=1，則不等式f（x）＜ex的解集為______.

對于這道題目很多學生感到束手無策，從題目的條件看很簡單，但與問題聯(lián)系不明確；總感覺似曾相識，但找不到相似題型與之相匹配，聯(lián)系不到相應的知識點來切入.如果老師在講解完例5之后，作如下的歸納：

（1）對于不等式xf（′x）+（fx）＞0（＜0），構(gòu)造函數(shù)F（x）=x（fx）.

（2）對于不等式xf（′x）-（fx）＞0（＜0），構(gòu)造函數(shù)F（x）=

（3）對于不等式f（′x）＞k（＜k）（k≠0），構(gòu)造函數(shù)F（x）=（fx）-kx；

（4）對于不等式xf（′x）-n（fx）＞0（＜0），構(gòu)造函數(shù)F（x）（x0）（n∈N*）；

（5）對于不等式f（′x）+（fx）＞0（＜0），構(gòu)造函數(shù)F（x）=e·x（fx）；

（6）對于不等式f（′x）-（fx）＞0（＜0），構(gòu)造函數(shù)F（x）=

甚至還可以得到更多的結(jié)論：

（7）對于不等式f′（x）+kf（x）＞0（＜0），構(gòu)造函數(shù)F（x）=ekx·f（x）；

（8）對于不等式f′（x）-kf（x）＞0（＜0），構(gòu)造函數(shù)F（x）=

而例6的解題借助上述結(jié)論（6）可以快速地解決問題.首先將條件中（fx）＞f（′x）移項后得到f（′x）-（fx）＜0，而不等式（fx）＜ex可以轉(zhuǎn)化為1（其中ex＞0），問題就能迎刃而解.而這種解題后對結(jié)論進行整理歸納、提煉引申、變式探究，可以得到更多結(jié)論，進而去解決更多問題，從而大大提高了解題的有效性，也訓練了學生思維的發(fā)散點.

四、自主編題，提升創(chuàng)新點

通過解決問題，可以鞏固知識點，培養(yǎng)思維技能，增強解決問題的能力.但解題時如果只是就題論題，沒有弄清編題者的出發(fā)點與意圖，沒有挖掘題目本身的核心內(nèi)涵，而只是為了加強對知識的記憶，則無法實現(xiàn)對知識的深層學習，從而無法培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力.以單個題目為基礎，深度分析題目鏈接的知識點，系統(tǒng)地研究知識之間的結(jié)合點，通過建構(gòu)知識新體系，不斷改變題目的條件，重新整合條件與問題，從而編寫出更多的新題，賦予思維新能力.自主編題更加關注解題后對知識的引申、思維的重組以及能力的遷移，力求把要研究的題目做細、做透，盡可能提高學生的創(chuàng)新思維能力.

例7已知正數(shù)x，y滿足的最小值為______.

解：-5=1，當且僅當x=1時取等號.

很多學生說答案能看懂，但恐怕很難想到.其實大家對于不等式：當x＞0時≥2（當且僅當x=1時取等號），當y＞0時≥4（當且僅當時取等號）并不陌生，而這道題目是由和組合而成的，再將其進行拆分，便可得），將取等號條件x=1賦給前半部分就是條件，而后半部分就是所要求解的問題.當然也可以把取等號條件x=1賦給后半部分，就得到與之“對稱”的另外一道題目：已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為______.還可以將式子進行任意拆分，一部分作為已知，另一部分作為目標式，這就是所謂的所給代數(shù)式和所求代數(shù)式的線性組合，且能夠利用基本不等式求最值的問題.

笛卡爾曾說：每解一題都要成為以后解題的范例.以題解題，鏈接相關知識，賦予思維新能力.教師要引導、訓練學生在解決問題時，把原題鏈接到相關的、相近的或相似的知識中，再進行結(jié)構(gòu)類比、變式探究、自主編題，通過改變或增減某些條件，拓展它們在不同層面的應用，還要探索各個知識之間更多的聯(lián)系，以建構(gòu)出新的、更為龐大的知識體系，使學生對整個關聯(lián)知識的認知更加有條理、更加透徹.