林碧姬

（福建省霞浦一中，福建霞浦 355100）

引 言

如今，在日常教學(xué)過(guò)程中，教師會(huì)提供很多不同類型的數(shù)學(xué)題讓學(xué)生解答，學(xué)生花費(fèi)了相當(dāng)多的時(shí)間和精力答題，做的題目雖多，效果卻不理想，解題能力沒(méi)有得到顯著提高[1]。究其原因，主要是學(xué)生就題解題，沒(méi)有反思，缺少體會(huì)，無(wú)法內(nèi)化。因此，筆者從以下三個(gè)方面的反思淺談學(xué)生解題能力的培養(yǎng)。

一、反思解讀題目條件，提高學(xué)生的審題能力

解答數(shù)學(xué)題，特別是解一道比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，分析已有條件，挖掘隱含條件，聯(lián)想相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，聯(lián)想數(shù)學(xué)思想非常重要。如例1 所示。

例1：已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,2)。

（2）拋物線上任意不同兩點(diǎn)M(x1,y1)，N(x2,y2)且當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，（x1-x2）(y1-y2）＞0；當(dāng) 0 ＜x1＜x2時(shí)，（x1-x2）(y1-y2）＜0，以原點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B，C，△ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°。求拋物線的解析式。

這是2018年福建省中考數(shù)學(xué)試卷的最后一題（部分），許多平時(shí)比較優(yōu)秀的學(xué)生都止步于第（2）題的解答。通過(guò)和他們的交流，筆者發(fā)現(xiàn)他們對(duì)條件“拋物線上任意不同兩點(diǎn) ),(11yxM， ),(22yxN，且當(dāng)x1＜x2＜0 時(shí)，（x1-x2）(y1-y2）＞0；當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，（x1-x2）(y1-y2）＜0”不理解。確實(shí)，在初中階段很少出現(xiàn)這樣的表述方式，學(xué)生沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)，條件就變得抽象了。那么就應(yīng)逐條分析條件：由x1＜x2＜0，可得（x1-x2）(y1-y2）＞0 中 的x1-x2＜0， 那 么（x1-x2）(y1-y2）＞0要成立，就有y1-y2＜0，此時(shí)條件就轉(zhuǎn)化為“若x1-x2＜0，則有y1-y2＜0”，條件明晰：若x1＜x2＜0，則有y1＜y2。分析到此，由另一個(gè)條件“當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，(x1-x2）(y1-y2）＜0”，同理可得：若0＜x1＜x2，則有y1＞y2。組合推導(dǎo)出來(lái)的兩個(gè)小結(jié)論說(shuō)明了——在y軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在y軸右側(cè)，y隨x的增大而減小。至此，條件就以學(xué)生熟悉的方式呈現(xiàn)了。結(jié)合條件聯(lián)想二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，或畫(huà)出草圖，可得：此拋物線開(kāi)口向下，y軸為對(duì)稱軸。其解析式為：y=ax2+2[已有直接條件A(0，2）]。

此時(shí)，還有系數(shù)a未確定，顯然還需要一個(gè)條件。目標(biāo)條件：“以原點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B，C，△ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°”。解讀條件，獲取信息：由“對(duì)稱性與60°內(nèi)角”得△ABC是等邊三角形；由“OA為半徑”得圓O的半徑為2。顯然，所給的條件是圖形信息，要求解的是系數(shù)a，聯(lián)想平時(shí)的解題經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)該應(yīng)用“圖形與坐標(biāo)”這部分知識(shí)來(lái)解決。因此，先畫(huà)出草圖如圖1所示，分析圖形，找出與拋物線上點(diǎn)C的坐標(biāo)有關(guān)系的線段，利用半徑為2 這個(gè)已知線段，60°已知角這些條件構(gòu)建Rt △OCD，通過(guò)解直角三角形得線段、得點(diǎn)坐標(biāo)，從而確定函數(shù)解析式。

圖1

反思分析題目條件解決問(wèn)題的過(guò)程如下。（1）對(duì)題目條件的使用，要不斷提問(wèn)，這個(gè)條件告訴我們什么信息？若干條件組合又告訴我們什么結(jié)論？雖然我們的結(jié)論未必能立刻解決問(wèn)題，但這樣的分析和思維猶如抽絲剝繭，不斷地按照“條件—結(jié)論”開(kāi)展，直至解決問(wèn)題。（2）對(duì)題目條件的使用，就是不斷進(jìn)行“文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言”三種語(yǔ)言互換的過(guò)程。（3）對(duì)題目條件的使用，要善于聯(lián)想相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，善于結(jié)合一些思想方法突破條件，如有些學(xué)生對(duì)條件“當(dāng)x1＜x2＜0 時(shí)，（x1-x2）(y1-y2)＞0；當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，(x1-x2)(y1-y2)＜0”的探究就是通過(guò)取足夠多的特殊點(diǎn)畫(huà)圖來(lái)獲得結(jié)論的。（4）根據(jù)題目條件，要勤于畫(huà)出草圖，利用圖形直觀地解題，解題效果將事半功倍。

二、反思解題過(guò)程，提升學(xué)生的思維水平

（一）總結(jié)解題方法和要點(diǎn)

隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生解題也達(dá)到了相應(yīng)的“量”，如果進(jìn)行反思，就會(huì)發(fā)現(xiàn)某些問(wèn)題具有共同特征。如例2 所示。

例2：（1）若 關(guān) 于x的 方 程(k-2018)x- 2016=6 -2018(x+1)的解是整數(shù)，則整數(shù)k= _________。

（2）關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則k=________。

（3）當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的不等式x-k＞0 恰有兩個(gè)負(fù)整數(shù)解？

這類問(wèn)題的特征是給出方程（或不等式）的解（或解集）的條件，反過(guò)來(lái)求字母系數(shù)k 的值（或取值范圍）。而這類問(wèn)題的解答模式往往是先把字母系數(shù)k 當(dāng)成已知數(shù)求出方程（或不等式）的解（或解集），再利用解（或解集）滿足的條件構(gòu)建字母系數(shù)k的方程（或不等式）來(lái)解決問(wèn)題。

有些幾何解答題思想方法的呈現(xiàn)方式和解題策略亦有共同特征。如例3 所示。

例3：如圖2所示，以△ABC的兩邊AB，AC為邊向外作等邊△ABE和等邊△ACD，連接BD，CE。

求證：BD=CE

回顧解題的思維過(guò)程：根據(jù)問(wèn)題的條件和結(jié)論，分析圖形時(shí)發(fā)現(xiàn)了組合得到新圖形△ABD和△AEC的元素（邊和角）之間有關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形全等，再利用全等的性質(zhì)使命題得證。這樣要獲得兩條線段或兩個(gè)角相等的結(jié)論，可以嘗試探究線段（或角）所在的兩個(gè)三角形是否全等，如果能證得全等，問(wèn)題迎刃而解。所以，這類平面幾何題通常歸結(jié)為求證兩個(gè)三角形全等的問(wèn)題。

可見(jiàn)，解數(shù)學(xué)題時(shí)，如果對(duì)問(wèn)題進(jìn)行識(shí)別，分析其特征，并能準(zhǔn)確地加以歸類，那么便能快速找到思路，使用相應(yīng)的方法解決問(wèn)題，使學(xué)生的解題能力發(fā)生“質(zhì)”的變化。當(dāng)然，要形成這種正確且迅速的辨認(rèn)能力，除了需要“見(jiàn)識(shí)”相應(yīng)量的題目外，還需要養(yǎng)成回顧、反思的習(xí)慣，通過(guò)“有心”地觀察、類比，再輔以推導(dǎo)，最終概括形成某種數(shù)學(xué)模式和圖形。

圖2

（二）克服思維定式

例4：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)2≤x≤4 時(shí)，二次函數(shù)y＝x2-8x+c和一次函數(shù)y＝-x+6 圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求c的取值范圍。

∵函數(shù)y=x2-8x+c與y=-x+6 的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)

∴Δ=73-4c=0

顯然，學(xué)生只解答出了一種情況，產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的原因是受到了求解“拋物線與直線的交點(diǎn)”的思維的影響，是思維定式的消極反映。學(xué)生沒(méi)有發(fā)現(xiàn)題目變化，對(duì)問(wèn)題分析不夠透徹，只是機(jī)械套用原有的解題方法和經(jīng)驗(yàn)，阻礙了問(wèn)題的正確解決。

事實(shí)上，此題還有另一種情況：拋物線y=x2-8x+c 與直線y=-x+6 有兩個(gè)交點(diǎn)，只是其中一個(gè)交點(diǎn)在2≤x≤4 范圍之外而已，所以還有后續(xù)解答：

若函數(shù)y=x2-8x+c與y=-x+6 有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)在2≤x≤4 范圍內(nèi)，另一個(gè)交點(diǎn)在2≤x≤4 范圍外，則△=73-4c＞0，解得

對(duì)于y=-x+6，當(dāng)x=2 時(shí)，y=4；當(dāng)x=4 時(shí)，y=2，

又∵當(dāng)2≤x≤4 時(shí)，y隨x的增大而減小，

若y=x2-8x+c與y=-x+6 有兩個(gè)交點(diǎn)在2≤x≤4 內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，

則當(dāng)x=2 時(shí)，y≥4；當(dāng)x=4 時(shí)y≤2，

因此，在解題中，一方面要注意利用原有的知識(shí)、方法與經(jīng)驗(yàn)，類比相似問(wèn)題，快速尋找解題思路；另一方面又要細(xì)心發(fā)現(xiàn)題目間的差異，辨認(rèn)清晰，進(jìn)行更深入的分析，克服思維定式的消極影響，從而提高解題能力。

三、反思解題規(guī)律，訓(xùn)練思維靈活性

圖3

例5：如圖3所示中的圖（甲），∠AOC和∠BOD都是直角。

（1）如果∠DOC=28°，那么∠AOB的度數(shù)是多少？

（2）找出圖（甲）中相等的角，如果∠DOC≠28°，它們還會(huì)相等嗎？

（3）若∠DOC變小，則∠AOB如何變化？

（4）在圖（乙）中利用能夠畫(huà)直角的工具再畫(huà)一個(gè)與∠COB相等的角。

這是北師大版七年級(jí)（上）第四章課后的一道數(shù)學(xué)題。解題后，對(duì)此題進(jìn)行反思，筆者認(rèn)為十分有意義。首先，它是以連續(xù)小題形式出現(xiàn)的比較早的幾何題；其次，各小題的呈現(xiàn)方式由淺入深、前后連貫，易于發(fā)展學(xué)生的思維能力；最后，題目達(dá)到了一定的思維量，若學(xué)生能夠體會(huì)題目的設(shè)計(jì)意圖，可為解決連續(xù)小題類型的綜合題積累經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成思維靈活性。

分析題目可知：(1)題有多種解法，既增強(qiáng)了學(xué)生的識(shí)圖能力，又培養(yǎng)他們的發(fā)散思維；(2)題的探究是從特殊到一般，推廣題目，又為(4)題的解答做出鋪墊；(3)題的解答，既可以建立∠AOB與∠COD之間的關(guān)系式，初步感知函數(shù)思想，又可以將∠AOC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，通過(guò)動(dòng)手操作直觀感受圖形；(4)題考查學(xué)生能否利用已探究出的結(jié)論將(乙)圖轉(zhuǎn)化成(甲)圖，轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用非常廣泛。

除了要圍繞具體題目進(jìn)行反思外，也要反思解題的大方向，以便于找到解題規(guī)律。

結(jié) 語(yǔ)

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)如果能養(yǎng)成解題后反思的習(xí)慣，無(wú)疑對(duì)提高數(shù)學(xué)解題能力具有重要意義。當(dāng)然，學(xué)生解題能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，而是在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步建立起來(lái)的，教師應(yīng)隨時(shí)關(guān)注學(xué)生解題后的反思。