張 恒，潘仲明

(1. 國防科技大學 前沿交叉學科學院， 湖南 長沙 410073; 2. 國防科技大學 智能科學學院， 湖南 長沙 410073)

傳感器采集到的目標信號混有噪聲，不能直接進行后續(xù)應用處理，在用采集到的目標信號做后續(xù)分析之前，應先對信號進行去噪處理。小波變換具有自動調整時域和頻域分辨力的特點，在信號的奇異點監(jiān)測、數(shù)據(jù)壓縮以及信號去噪等領域有廣泛的應用。小波去噪算法在對信號進行去噪處理時，首先對信號進行分解得到各層小波系數(shù)，然后對小波系數(shù)進行處理得到新的小波系數(shù)，最后進行小波重構得到去噪后的信號。在使用小波方法對信號去噪時，小波基、小波分解層數(shù)、閾值處理方法及其閾值的選取決定了去噪效果。

實際應用中，小波去噪算法對信號進行處理時，在不同領域均是針對本領域信號的特點來選擇適合的小波基[1]。文獻[1]從小波基的正交性、雙正交性、緊支撐性和消失矩階數(shù)出發(fā)，分析了常用小波的特性，其分析結果見表1。

表1 常用小波基特性比較

文獻[2]從小波基的聯(lián)合時-頻分辨率特性出發(fā)，分析了常用小波基的時間、頻率分辨率和時-頻分辨率，用作選取小波基的參考。

這兩種小波基的分析方法對于小波分析中小波基的選取有一定參考價值。但存在問題：從正交性、平滑性和緊支撐性等特征出發(fā)選擇小波基，能有效平衡小波去噪算法的計算復雜度和高頻細節(jié)分辨能力，但無法指導去噪算法選擇去噪效果最好的小波基；從小波基函數(shù)的時-頻分辨率出發(fā)，能選擇出在時域和頻域中更好辨別兩個相鄰信號成分的小波基函數(shù)，但無法增強噪聲和信號在小波各層系數(shù)上的差異。

小波去噪算法中關于系數(shù)處理方法及對應閾值選取的研究已經(jīng)較為成熟，常用的小波系數(shù)處理方法有模極大值法[3]、(軟、硬)閾值法[4]以及空域相關法[5]，表2列出了文獻[6-7]所總結的三種去噪方法的優(yōu)缺點、運算量及適用情況。在使用閾值法處理小波系數(shù)時，閾值的選取直接決定了去噪的效果。

表2 常用小波系數(shù)處理方法比較

本文對比了平穩(wěn)小波變換(Stationary Wavelet Transform，SWT)去噪算法使用不同參數(shù)時的去噪效果，對算法實現(xiàn)過程中如何選取濾波器組、小波系數(shù)處理方法以及對應閾值計算方法以獲得最佳的去噪效果進行了研究，從而解決SWT去噪算法在實際應用中該如何選取參數(shù)的問題。

1 平穩(wěn)小波變換

通常使用Mallat算法實現(xiàn)離散小波變換(Discrete Wavelet Transform,DWT)。Mallat算法[8]在輸入信號與正交濾波器組卷積后，進行下采樣得到小波系數(shù)。但因下采樣運算使得DWT缺乏平移不變性，即將源信號平移后做離散小波變換，和先將源信號做離散小波變換再平移小波系數(shù)所得到的結果不同，導致使用DWT去噪算法對信號進行去噪時，信號截取的起始位置不同得到的結果也不同。SWT在計算每層小波系數(shù)時，信號與正交濾波器系數(shù)組卷積后不進行下采樣，保證了小波變換的平移不變性。

Shen等利用z變換的等效易位性質，提出了在正交濾波器各點間插入一定數(shù)目的零點再做卷積運算的多孔算法[9]，通常使用它來實現(xiàn)SWT。圖1所示為多孔算法的計算流程。對濾波器進行插零后用當前層輸入信號與正交濾波器組做卷積，信號與分解高通濾波器系數(shù)卷積后得到小波細節(jié)系數(shù)，與低通濾波器系數(shù)卷積后得到小波近似系數(shù)，當前層的近似系數(shù)作為下一層的輸入信號繼續(xù)進行分解。重構過程則相反，當前層近似系數(shù)與重構低通濾波器卷積，細節(jié)系數(shù)與高通濾波器卷積，然后將卷積結果相加得到上一層近似系數(shù)。

圖1 多孔算法分解和重構信號的流程Fig.1 Process of decomposing and reconstructing the signal using à trous algorithm

在多孔算法的分解和重構過程中，每一層濾波器系數(shù)都是在上一級的濾波器的相鄰系數(shù)之間插入零值得到的新序列，即第j層的濾波器系數(shù)是在第1層濾波器的相鄰系數(shù)之間插入2j-1個零后所得到的新濾波器系數(shù)。式(1)和式(2)為多孔算法的分解公式。

(1)

(2)

其中，cA0(k)等于初始信號序列x(k)，*表示卷積運算，K為信號序列長度，J為小波分解層數(shù)，S表示濾波器系數(shù)長度的一半。

式(3)為多孔算法的重構公式。

(3)

重構后的cA0(k)即為重構后的信號序列x′(k)。

2 平穩(wěn)小波去噪算法中的參數(shù)

SWT去噪算法首先對信號進行小波分解得到一組小波系數(shù)，然后對這組系數(shù)進行處理得到新的小波系數(shù)，最后對新的小波系數(shù)進行小波重構得到去噪后的信號。在實際應用SWT去噪算法時，需要對算法中的正交濾波器組系數(shù)、小波系數(shù)處理方法(包括閾值處理方法及所用閾值)進行選擇。

2.1 正交濾波器組系數(shù)選擇

SWT去噪過程中，正交濾波器組的選擇至關重要，一組合適的正交濾波器組系數(shù)，能在提高去噪效果的同時減小算法的運算量。對于小波去噪時濾波器組系數(shù)的選擇，目前尚未有明確有效的結論，論文在第3節(jié)中對比了不同正交濾波器組的去噪效果并做出總結。

正交濾波器組系數(shù)一般由正交小波基推導得到，以實現(xiàn)信號序列的快速正交小波變換。常用的正交小波基，如Haar小波、Daubechies緊支集小波、Symlets小波的特點在表1中做了總結。除了小波基對應的正交濾波器，也可用一定的規(guī)則設計新的雙正交濾波器，由新的雙正交濾波器可以推導出新的小波正交基。文獻[10]給出了設計接近于正交的雙正交濾波器組的兩種方法，一種是采用B樣條函數(shù)按正規(guī)性條件[11]設計的數(shù)字濾波器組G0(z)和H0(z)，另外一種是接近正交的雙正交濾波器。文獻[10]中所列的采用B樣條函數(shù)設計的雙正交濾波器組按階次的不同分別記為SP4和SP5。所列的接近正交的雙正交濾波器系數(shù)按階次記為BP2和BP3。

2.2 小波系數(shù)處理方法

小波系數(shù)處理是基于小波變換去噪方法的中間環(huán)節(jié)，決定算法的去噪性能。

常用的小波系數(shù)處理方法有以下幾種：模極大值法；軟、硬閾值處理法；空域相關法。文獻[4]詳細描述了小波系數(shù)的軟、硬閾值法。文獻[5]詳細介紹了空域相關法的流程和參數(shù)選擇。軟、硬閾值處理法中對于閾值的選取有以下幾種常用的方法：極大極小值法(minimaxi)[12]，啟發(fā)式閾值法(heursure)[13]、無偏風險估計法(rigrsure)[14]、固定門限準則(sqtwolog)[15]。

3 仿真實驗

3.1 評價指標

評價指標是分析小波去噪效果的基礎，使用信噪比SNR以及平滑度R[16]作為去噪結果評價指標。

式(4)給出去噪信號的信噪比計算方法，去噪信號信噪比越大，說明去噪效果越好。

(4)

式中，y(k)為去噪后的新序列，s(k)為不含噪的信號序列。

平滑度能反映去噪后信號與原信號相比的平滑程度變化，其計算公式如式(5)所示。

(5)

R值越小，表明去噪后的信號越平滑；R值越接近于1，表明去噪后信號的起伏程度越接近于原不含噪信號的起伏程度。

3.2 不同正交濾波器組系數(shù)對去噪結果的影響

為對比不同小波基對應的正交濾波器組系數(shù)對信號去噪效果的影響，表3中給出使用不同濾波器組對信噪比為-7 dB的含噪重余弦波信號進行去噪處理后的信號信噪比及平滑度。

表3 不同正交濾波器組對含噪重余弦信號的去噪結果

選用不同的濾波器組對信噪比為-10～5 dB的重余弦波信號進行分解，使用軟閾值法(閾值計算方法使用minimaxi)對小波系數(shù)進行處理。為排除隨機干擾，使用不同濾波器組系數(shù)對每種信噪比條件下的信號進行去噪時，重復500次后求均值得到最后結果，含噪重余弦信號的去噪結果如圖2所示。

(a) 含噪重余弦信號去噪后的信噪比(a) SNR of the signal after denoising

(b) 含噪重余弦信號去噪后的平滑度(b) Smoothness of the signal after denoising圖2 不同正交濾波器組系數(shù)去噪效果對比Fig.2 Comparison of denoising performance of using different orthogonal filters

仿真結果表明：①使用Daubechies、Discrete Meyer、Coiflets、Symlets等小波基對應的正交濾波器組對信號去噪后得到的信號的信噪比差異較小，在圖中表現(xiàn)為多個線條重疊在一起。②濾波器長度與去噪效果無關，如db4對應的濾波器長度是db8對應濾波器長度的一半，在大部分信噪比條件下，前者去噪效果十分相近。③在信號信噪比小于-6 dB時，兩種根據(jù)一定規(guī)則設計的正交濾波器組BP2和SP5去噪效果優(yōu)于Daubechies等小波基對應的正交濾波器組系數(shù)；在信噪比大于-5 dB時，Daubechies等小波基對應的正交濾波器組的去噪效果要優(yōu)于所構造的BP2和SP5。

從表中所列數(shù)據(jù)可以看出，使用Daubechies 小波基對應的濾波器組對信號進行去噪后其信噪比更高。綜合來講，信號信噪比未知時，去噪時選用db4或者相近的小波函數(shù)對應的正交濾波器組能得到較好的去噪結果。

3.3 不同小波系數(shù)處理方法對去噪結果的影響

在對比不同小波系數(shù)處理方法對去噪結果的影響時，使用多孔算法對信噪比為-10～5 dB的含噪重余弦波信號進行分解后，選用所總結的四種不同小波處理方法(軟閾值法、硬閾值法、空域相關法、模極大值法)對得到的小波系數(shù)進行處理，其中軟閾值法和硬閾值法在選取閾值時都采用minimaxi。為排除隨機干擾，重復仿真500次后求均值得到最后結果。含噪重余弦波信號去噪結果如圖3所示。

仿真結果表明：①信號信噪比較小時，使用空域相關法得到的去噪信號信噪比接近使用軟閾值方法得到的去噪信號信噪比；②在大部分信噪比條件下(-10～1 dB時)，軟閾值去噪方法在四種系數(shù)處理方法中去噪效果最好；③在信噪比較高時，硬閾值法的去噪效果要優(yōu)于其他三種方法；④軟閾值法去噪后信號的平滑度最佳。

(a) 含噪重余弦信號去噪后的信噪比(a) SNR of the signal after denoising

(b) 含噪重余弦信號去噪后的平滑度(b) Smoothness of the signal after denoising圖3 不同系數(shù)處理方法去噪效果對比Fig.3 Comparison of denoising performance of using different coefficients processing methods

表4給出了使用不同小波系數(shù)處理方法對信噪比為4 dB的含噪方波進行去噪處理后的信號信噪比及平滑度。從圖3結果和表中數(shù)據(jù)可以看出，信噪比較高時使用軟閾值方法對信號進行去噪，去噪后的信號會出現(xiàn)過平滑現(xiàn)象。

表4 不同系數(shù)處理方法對含噪重余弦信號的去噪結果Tab.4 Denoising performance of using different coefficients processing methods

3.4 不同閾值選取方法對信號去噪結果的影響

閾值選取是影響閾值法去噪效果的最重要因素。使用多孔算法對信噪比為-10～5 dB的含噪重余弦波信號進行分解重構后，選用軟閾值法(軟閾值法中的閾值選取方法分別使用rigrsure、heursure、sqtwolog及minimaxi)對得到的小波系數(shù)進行去噪處理。重復仿真500次后求均值得到最后結果，去噪結果如圖4所示。

(a) 含噪重余弦信號去噪后的信噪比(a) SNR of the signal after denoising

(b) 含噪重余弦信號去噪后的平滑度(b) Smoothness of the signal after denoising圖4 軟閾值法使用不同閾值選取方法去噪效果對比Fig.4 Comparison of denoising performance of using different threshold value calculation methods

仿真結果表明：①含噪信號信噪比不高的情況下，軟閾值系數(shù)處理法使用sqtwolog來確定閾值時的去噪效果要優(yōu)于其他幾種閾值確定方法；②在信噪比較大的情況下，軟閾值系數(shù)處理法使用rigrsure來確定閾值時的去噪效果最好；③軟閾值法使用sqtwolog來計算閾值時，去噪后信號的平滑度最佳。

4 結論

本文通過仿真實驗對比了SWT去噪方法中正交濾波器組、小波系數(shù)處理方法以及閾值計算方法對去噪效果的影響。結果表明在常用的小波正交濾波器組中，大部分情況下Daubechies 小波基對應的正交濾波器組去噪效果較好；小波系數(shù)處理方法應根據(jù)信號的信噪比選取，信號信噪比較低時選用軟閾值法，信噪比較高時選擇硬閾值法；使用閾值法處理小波系數(shù)，信號信噪比不高的情況下應采取固定閾值法來確定閾值，信號信噪比較高時應采取rigrsure。SWT去噪算法能顯著提高含噪信號的信噪比，可以用于無人地面?zhèn)鞲衅飨到y(tǒng)中目標分類前的信號去噪。