徐成濤，劉 哲，謝郁辰

(1. 國防科技大學(xué) 系統(tǒng)工程學(xué)院， 湖南 長沙 410073； 2. 國防科技大學(xué) 電子科學(xué)學(xué)院， 湖南 長沙 410073)

二進(jìn)制偏移副載波(Binary Offset Carrier, BOC)信號是下一代衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中廣泛采用的新型調(diào)制信號，有助于實(shí)現(xiàn)軍民用頻譜分離和測距精度提升[1]。在L1頻點(diǎn)，北斗、GPS、Galileo等全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)已將BOC(1,1)信號作為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)間互操作的基線信號。高階BOC信號，如BOC(10,5)、BOC(15,2.5)和BOC(14,2)信號，被用于Galileo的公共安全管理服務(wù)、北斗和GPS的軍用服務(wù)[2]。

BOC信號可視為二進(jìn)制相移鍵控(Binary Phase Shift Keying，BPSK)信號和一個(gè)方波副載波的乘積，一般用BOC(m,n)表示，即信號擴(kuò)頻碼碼率fc=mf0，副載波頻率fsc=nf0，基準(zhǔn)頻率f0=1.023 MHz。衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的現(xiàn)代化BOC信號在提升系統(tǒng)定位導(dǎo)航授時(shí)(Positioning Navigation Timing，PNT)服務(wù)性能的同時(shí)，也給新體制信號的接收帶來了挑戰(zhàn)。

BOC信號的自相關(guān)函數(shù)不再是傳統(tǒng)BPSK或四進(jìn)制相移鍵控(Quadrature Phase Shift Keying,QPSK)信號的三角峰，而是在主峰旁邊增加了多個(gè)逐漸下降的副峰。采用傳統(tǒng)方法接收BOC信號，在偽碼鑒別函數(shù)曲線上出現(xiàn)多個(gè)過零點(diǎn)，導(dǎo)致本地信號可能穩(wěn)定跟蹤在錯(cuò)誤的位置而無法正確同步，產(chǎn)生的測距偏差可達(dá)幾十米甚至上百米，稱之為錯(cuò)鎖或誤鎖問題[3]。

由于時(shí)、空域上的弱相關(guān)性，多徑誤差是目前衛(wèi)星導(dǎo)航高精度定位、測距接收機(jī)誤差的主要來源[4]。BOC類信號的多徑抑制處理，在傳統(tǒng)問題基礎(chǔ)上，增加了去除跟蹤模糊度的要求。此外，其他更復(fù)雜的復(fù)合BOC(Composite BOC，CBOC)、時(shí)分復(fù)用BOC(Time Multiplexed BOC，TMBOC)、交替BOC(Alternate BOC，AltBOC)等信號特性相差較大，其抗多徑技術(shù)要求更高，且各具特色，對接收機(jī)內(nèi)部的統(tǒng)一設(shè)計(jì)提出了挑戰(zhàn)[5]。

偽碼延遲鎖定環(huán)(Delay Lock Loop，DLL)抗多徑技術(shù)依托于傳統(tǒng)DLL跟蹤結(jié)構(gòu)，硬件資源占用少，易于被接收機(jī)采用。主要包括窄相關(guān)技術(shù)、四相關(guān)器(Double-Delta)技術(shù)和碼相關(guān)參考波形(Code Correlation Reference Waveform，CCRW)技術(shù)[6-7]。其中，窄相關(guān)和Double-Delta技術(shù)利用一組或兩組不同間隔的超前滯后碼線性組合構(gòu)造碼鑒別器。CCRW技術(shù)采用專門設(shè)計(jì)的閘波信號代替本地碼，通過改變鑒相函數(shù)獲得更優(yōu)的多徑抑制性能。窄相關(guān)與Double-Delta技術(shù)也可歸于CCRW技術(shù)范疇。

衛(wèi)星導(dǎo)航接收機(jī)廣泛采用DLL結(jié)構(gòu)接收信號，通過本地生成的信號和接收到的衛(wèi)星信號進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)偽碼同步跟蹤，因此相關(guān)運(yùn)算生成的鑒別曲線形狀決定了跟蹤算法的性能[8]。文獻(xiàn)[9]提出了一種對鑒別曲線人為賦形并求解本地多相關(guān)器組合的方法，并給出了BOC(1,1)信號的仿真結(jié)果，但未考慮帶限情況。文獻(xiàn)[10]提出用類似最小二乘方法，采用兩組相關(guān)器組實(shí)現(xiàn)BOC信號的非相干鑒別器曲線，但該方法將增大1倍的硬件資源并降低測距精度[11]。

本文對DLL中BOC信號鑒別曲線無模糊和抗多徑特性精確賦形的方法進(jìn)行研究，提出基于DLL最優(yōu)鑒別曲線的GNSS信號碼參考波形設(shè)計(jì)技術(shù)，給出最優(yōu)鑒別曲線定義，采用最小二乘方法逆向求解本地參考波形，并解決帶限情況下的病態(tài)矩陣問題。

1 最優(yōu)鑒別曲線

衛(wèi)星導(dǎo)航接收機(jī)的本地碼相干鑒別器可以表示為擴(kuò)頻碼的線性組合：

(1)

DLL多徑抑制算法的基本原理是減小多徑延遲信號在鑒別器內(nèi)產(chǎn)生的誤差，抑制多徑信號對穩(wěn)定點(diǎn)的影響。傳統(tǒng)理論上最優(yōu)鑒別曲線的定義如圖1所示。

圖1 傳統(tǒng)最佳鑒別曲線Fig.1 Traditional best S-curve

傳統(tǒng)意義上的最佳鑒別曲線的線性相應(yīng)區(qū)域?yàn)閇-d/2，d/2]，跟蹤誤差在此區(qū)域內(nèi)可實(shí)現(xiàn)引導(dǎo)和同步跟蹤，跟蹤誤差在其他范圍的鑒別輸出為0。由于多徑信號總是延遲于真實(shí)信號到達(dá)接收機(jī)，多徑誤差主要由鑒別曲線ε<0的部分決定，因此只有ε<0部分會影響多徑誤差，通過約束這部分鑒別曲線形狀，即可保證鑒別曲線的抗多徑性能最佳，如圖2所示。

圖2 抗多徑最佳鑒別曲線Fig.2 Best S-curve for multipath mitigation

上述鑒別曲線對跟蹤模糊度未做要求，為保證BOC信號跟蹤只有一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，要求鑒別曲線在ε>0時(shí)不存在過零點(diǎn)。故最佳抗多徑鑒別曲線應(yīng)至少具有以下幾個(gè)特征：

1)無系統(tǒng)性跟蹤偏差，當(dāng)準(zhǔn)確跟蹤時(shí)鑒別器應(yīng)只受噪聲影響，即D(0)=0；

2)具有跟蹤引導(dǎo)能力，在零點(diǎn)處具有一定的線性牽引范圍，使信號可以收斂到零點(diǎn)，即ε∈[-pTc,pTc]，0

3)具有一定多徑抑制能力，即ε<-pTc時(shí)，D(ε)=0；

4)無其他穩(wěn)定跟蹤點(diǎn)，即ε>pTc時(shí)，D(ε)=b>0，b為常數(shù)。

根據(jù)上述準(zhǔn)則設(shè)計(jì)的鑒別曲線如圖3所示。將該形狀的鑒別曲線作為BOC信號跟蹤環(huán)路鑒別器的設(shè)計(jì)目標(biāo)。

圖3 設(shè)計(jì)目標(biāo)鑒別曲線Fig.3 Target S-curve for design

2 最小二乘模型

CCRW技術(shù)改變本地碼波形為特殊的閘波信號，被稱為參考波形。參考波形分為第一類和第二類參考波形。第一類參考波形可以表示為相關(guān)器的線性組合，等效于本地相關(guān)器設(shè)計(jì)；而第二類參考波形，則不能用相關(guān)器的線性組合表示。本文主要研究第二類參考波形的設(shè)計(jì)方法，其表達(dá)為：

(2)

其中，g0(t)為基礎(chǔ)方波，cj(t)指第j個(gè)擴(kuò)頻碼片，Tc為碼片寬度。

碼相關(guān)參考波形設(shè)計(jì)如圖4所示。碼相關(guān)參考波形W(t)由N個(gè)經(jīng)過di延時(shí)和γi加權(quán)的g0(t)組成，且出現(xiàn)在每個(gè)擴(kuò)頻碼的翻轉(zhuǎn)沿處。W(t)波形寬度不超過1個(gè)碼片，μ為g0(t)的寬度。

圖4 碼相關(guān)參考波形設(shè)計(jì)Fig.4 Sample CCRW design

CCRW技術(shù)通常在DLL中采用點(diǎn)積鑒別器，可表示為：

(3)

(4)

其中，T為相干積分時(shí)間。

=H(jω)X(jω)WΣ(jω)

(5)

(6)

其中，

(7)

這時(shí)，CCRW的點(diǎn)積鑒別器可分別表示為:

(8)

因此，CCRW鑒別器有兩個(gè)主要設(shè)計(jì)參數(shù)：基本閘波偏移di和基本閘波幅度γi。通過固定并縮小偏移di間距，可將二維優(yōu)化問題降為一維優(yōu)化問題，即求解γ=[γ1,γ2,γ3，…，γN]T，且

(9)

其中，ε=[-STc, -STc+Δτ, -STc+2Δτ，…，STc]T。S為常數(shù)，M為ε的長度，Dideal(·)為目標(biāo)鑒別曲線形狀。

設(shè)di=-LTc+(i-1)μ，L≤1，Nμ≤Tc。則有：

(10)

其中，

(11)

式(10)的求解等價(jià)于線性方程組的求解。

PAx=b

(12)

的極小范數(shù)最小二乘解為：

(13)

式中：x為待優(yōu)化的閘波幅度，根據(jù)最小二乘問題的研究，在最小范數(shù)意義下，x具有唯一解xLS=A?b；A?為A的廣義逆。

3 病態(tài)矩陣問題

求解最小二乘問題的經(jīng)典方法為法方程法，即

A?=(AHA)-1AH

(14)

通過求解AHA的逆矩陣即可得到最小二乘問題的解，AH為A的Hermite變換。矩陣A的條件數(shù)為：

(15)

式中，σ1和σr為A的最大、最小奇異值，A的秩為r。法方程的條件數(shù)為κ(A)2，而系數(shù)矩陣A由于相關(guān)曲線的變化范圍較小，往往是一個(gè)病態(tài)矩陣，使得系數(shù)矩陣或觀測量出現(xiàn)微小變化δA和δb時(shí)，(A+δA)x=b+δb的解與Ax=b的解有明顯的不同。

提出采用截?cái)嗥娈愔捣纸夥椒ń鉀Q病態(tài)性問題，具體流程如下：

步驟1：對A進(jìn)行奇異值分解，得到A=UΣVH，期中Σ=diag(σ1,…,σr,0,…,0),σ1≥…≥σr>0。

步驟2：設(shè)置不確定性度量閾值t。

步驟3：求解Ak=U1Σ1V1H，其中Σ1=diag(σ1,…,σk)，U1、V1分別是U、V的前k列，使得σ1≥…≥σk>t>σk+1≥…≥σr。

預(yù)先設(shè)置的不確定性度量閾值t剔除了偏小的奇異值，抑制了病態(tài)矩陣的表達(dá)，使得該問題的求解具有較好的穩(wěn)定性。

4 設(shè)計(jì)結(jié)果與性能仿真

根據(jù)提出的最小二乘求解鑒別曲線算法，研究各階BOC信號無模糊抗多徑碼相關(guān)參考波形，分析在不同帶寬情況下的碼相關(guān)參考波形性能，包括抗多徑性能和熱噪聲性能。BOC(1,1)信號是BOC調(diào)制的代表信號；BOC(10,5)信號被用于現(xiàn)代化的GPS系統(tǒng)；MBOC(6,1,1/11)信號作為全球三大衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的兼容互操作信號被廣泛應(yīng)用，而AltBOC(15,2.5)則用于Galileo系統(tǒng)的E5頻段。因此，以BOC(1,1)、BOC(2,1)和BOC(6,1)信號為代表對本算法性能進(jìn)行仿真。

4.1 BOC(1,1)信號

圖5顯示了在無限帶寬條件下的BOC(1,1)信號算法設(shè)計(jì)結(jié)果，目標(biāo)鑒別曲線的牽引范圍為±0.1 chip，在線性牽引范圍之外，鑒別曲線在±1 chip內(nèi)迅速下降至0。

如圖5(a)所示，最小二乘相干鑒別器的波形設(shè)計(jì)結(jié)果與W2波形非常相似，在零點(diǎn)附近由相同的4個(gè)閘波組成，閘波面積和為0。閘波寬度分別為[0.01 chip,0.1 chip,0.1 chip,0.01 chip]，閘波相對于本地碼幅度歸一化后，取值分別為[-10,1,1,-10]。在-0.5 chip附近有一個(gè)形狀相同但幅值擴(kuò)大1倍的閘波，閘波寬度分別為[0.01 chip,0.1 chip,0.1 chip,0.01 chip]，閘波取值分別為[-20,2,2,-20]。這個(gè)新出現(xiàn)的波形，是為了抑制BOC(1,1)信號的自相關(guān)旁瓣而產(chǎn)生的。

最小二乘點(diǎn)積鑒別器的波形與相干鑒別器略有不同，閘波中間幅度不再固定，這是由信號的自相關(guān)函數(shù)導(dǎo)致的。

(a) CCRW波形(a) CCRW waveform

(b) CCRW波形鑒別曲線(b) S-curve of CCRW圖5 BOC(1,1)信號設(shè)計(jì)結(jié)果(非帶限情況)Fig.5 Design results for BOC(1, 1) signal (band limited)

圖5(b)為設(shè)計(jì)的鑒別器曲線，優(yōu)化得到的最小二乘鑒別器曲線和W2鑒別器的線性區(qū)域區(qū)別較小，Double-Delta鑒別器具有2倍于其他鑒別器的過零點(diǎn)斜率，但是其在0.5 chip處有錯(cuò)鎖點(diǎn)，W2鑒別器同樣有一個(gè)錯(cuò)鎖點(diǎn)。綜合來看，優(yōu)化得到最小二乘點(diǎn)積鑒別器曲線的線性區(qū)域較窄，且不具有錯(cuò)鎖點(diǎn)。

BOC(1,1)信號的參考波形設(shè)計(jì)結(jié)果如圖6(a)所示，在帶寬6.138 MHz條件下最小二乘相干鑒別器和點(diǎn)積鑒別器的CCRW波形分布在-0.4～0.4 chip，兩者波形形狀與W2波形相近。該設(shè)計(jì)波形位置與BOC-Gated-PRN方式一致[12]。

BOC(1,1)信號的鑒別器曲線如圖6(b)所示，各鑒別器的斜率大小相近。W2鑒別器由帶限引起了鑒別器曲線的形變，降低了線性區(qū)域的范圍。

(a) CCRW波形(a) CCRW waveform

(b) CCRW波形鑒別曲線(b) S-curve of CCRW

(c) 多徑誤差包絡(luò)(c) Multipath error envelope

(d) 跟蹤精度(d) Tracking precision圖6 BOC(1,1)信號CCRW波形(6.138 MHz)Fig.6 Design results for BOC (1, 1) signal (6.138 MHz)

多徑誤差包絡(luò)曲線如圖6(c)所示，此時(shí)最小二乘點(diǎn)積鑒別器的多徑誤差包絡(luò)面積最大，而Double-Delta鑒別器多徑誤差包絡(luò)面積最小。BOC(1，1)信號多徑誤差包絡(luò)面積見表1，由表1可知，Double-Delta 鑒別器的多徑誤差包絡(luò)面積是最小二乘相干鑒別器的17.0%，最小二乘點(diǎn)積鑒別器的46.8%，W2鑒別器的75.7%，BGP鑒別器的41.1%。

鑒別器的跟蹤精度如圖6(d)所示，最小二乘鑒別器的精度優(yōu)于W2點(diǎn)積鑒別器，且最小二乘相干鑒別器與BGP鑒別器的差距小于0.01 m，說明窄帶寬下，W2閘波的性能下降，而最小二乘方法可以取得更優(yōu)的結(jié)果。

表1 BOC(1,1)信號多徑誤差包絡(luò)面積

4.2 BOC(2,1)信號

在8.184 MHz 帶寬下，BOC(2,1)信號的設(shè)計(jì)波形如圖7(a)所示，此時(shí)閘波的最小寬度為0.1 chip。最小二乘相干鑒別器和點(diǎn)積鑒別器的波形范圍分別為[-0.8 chip，0.2 chip]和 [-0.4 chip，0.3 chip]。

如圖7(b)所示，最小二乘鑒別器曲線除零點(diǎn)外無穩(wěn)定跟蹤點(diǎn)，但是線性區(qū)域左側(cè)曲線面積大于W2閘波，因此多徑誤差包絡(luò)面積更大。

由于帶限效應(yīng)，除W2鑒別器外，鑒別器的多徑包絡(luò)面積顯著增大，如圖7(c)所示，說明W2

(a) CCRW波形(a) CCRW waveform

(b) CCRW波形鑒別曲線(b) S-curve of CCRW

(c) 多徑誤差包絡(luò)(c) Multipath error envelope

(d) 跟蹤精度(d) Tracking precision圖7 BOC(2,1)信號設(shè)計(jì)結(jié)果(8.184 MHz)Fig.7 Design results for BOC(2, 1) signal(8.184 MHz)

鑒別器保持了較好的多徑抑制性能。BOC(2，1)信號多徑誤差包絡(luò)面積見表2，由表 2可知，W2鑒別器多徑誤差包絡(luò)面積是最小二乘相干鑒別器包絡(luò)面積的32.4%，最小二乘點(diǎn)積鑒別器包絡(luò)面積的57.6%，Double-Delta鑒別器包絡(luò)面積的34.6%。

W2點(diǎn)積鑒別器的跟蹤精度明顯優(yōu)于最小二乘鑒別器，如圖7(d)所示。

表2 BOC(2,1)信號多徑誤差包絡(luò)面積

4.3 BOC(6,1)信號

W2閘波和Double-Delta方法不再可用于高階BOC信號。

在24.552 MHz帶寬條件下，設(shè)計(jì)的碼相關(guān)參考波形如圖8(a)所示，閘波寬度為0.05 chip。

BOC(6,1)信號的鑒別器曲線如圖8(b)所示，優(yōu)化得到鑒別曲線存在一定的起伏，但是依然能夠保證不存在錯(cuò)鎖點(diǎn)。

在24.552 MHz帶寬條件下，BOC(6,1)信號CCRW鑒別器的多徑誤差包絡(luò)曲線如圖8(c)所示，由于鑒別器精度和帶寬限制，最小二乘鑒別器的誤差包絡(luò)比理想鑒別器更大。

圖8(d)顯示了鑒別器跟蹤精度結(jié)果，帶寬越窄，最小二乘相干鑒別器的跟蹤精度越好，說明窄帶寬下參考波形幅度較小，最小二乘方法在帶寬受限條件下更加適用。

(a) CCRW波形(a) CCRW waveform

(b) CCRW波形鑒別曲線(b) S-curve of CCRW

(c) 多徑誤差包絡(luò)(c) Multipath error envelope

(d) 跟蹤精度(d) Tracking precision圖8 BOC(6,1)信號設(shè)計(jì)結(jié)果(24.552 MHz)Fig.8 Design results for BOC(6, 1) signal (24.552 MHz)

5 結(jié)論

本文通過引入抗多徑最優(yōu)鑒別曲線的概念，建立滿足多徑抑制、去模糊、高精度和大動(dòng)態(tài)范圍的鑒別曲線設(shè)計(jì)規(guī)則，利用本地多相關(guān)器組合和參考波形，采用最小二乘逼近方法對鑒別曲線人為賦形，同時(shí)考慮通道的非理想特性對相關(guān)曲線形狀的改變，從而實(shí)現(xiàn)了本算法在無模糊跟蹤、跟蹤精度和抗多徑三項(xiàng)性能需求之間的平衡。

根據(jù)跟蹤算法的兩個(gè)重要評價(jià)準(zhǔn)則，對本算法的性能進(jìn)行了評估，一方面是考慮其多徑抑制能力，另一方面則是考慮其熱噪聲性能。通過仿真分析可知，提出的最小二乘鑒別器性能與設(shè)計(jì)參數(shù)有關(guān)(如帶寬、目標(biāo)鑒別曲線等)，為滿足無模糊跟蹤要求，可能導(dǎo)致降低抗多徑性能和熱噪聲精度降低。以BOC(1,1)信號為例，6.138 MHz帶寬下，設(shè)計(jì)的點(diǎn)積鑒別器包絡(luò)面積相比W2鑒別器增加了61.8%，在不同載噪比下跟蹤精度優(yōu)于W2鑒別器4～5 dB。

該方法對于BOC信號的不同調(diào)制方式具有一定的通用性，可以作為衛(wèi)星導(dǎo)航接收機(jī)DLL環(huán)路的BOC信號抗多徑跟蹤技術(shù)，并提供了BOC類信號滿足去模糊、抗多徑和高精度的接收機(jī)跟蹤結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法。