魏宇方舟

摘要：文章將股票會支付紅利和證券收益率不確定這兩種情況考慮進(jìn)入Sethi & Thompson構(gòu)建的公司現(xiàn)金管理模型，試圖求解一個最優(yōu)的現(xiàn)金管理策略，即隨著時間的變化，公司財務(wù)管理人員應(yīng)該如何分配寄存于銀行的資金和投資于證券的資金，從而使該公司以最小的成本滿足必要的現(xiàn)金需求。文章通過使用Pontryagin最大化準(zhǔn)則，并嘗試使用一個新構(gòu)建的隨機(jī)情況下的最大化準(zhǔn)則來獲得了兩種情況下的最優(yōu)的現(xiàn)金管理策略。最后，文章對未來更進(jìn)一步的研究提出了展望。

關(guān)鍵詞：現(xiàn)金管理；股利；隨機(jī)收益率；最大化準(zhǔn)則

1 引言

隨著現(xiàn)代市場經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，企業(yè)內(nèi)部管理已慢慢成為一家企業(yè)成功與否的關(guān)鍵因素之一。作為企業(yè)內(nèi)部管理的重要組成部分，現(xiàn)金管理，愈發(fā)受到企業(yè)經(jīng)理們的重視。增加現(xiàn)金流和改善現(xiàn)金的使用效率，是企業(yè)現(xiàn)金管理的主要目標(biāo)（W.J. Baumol， 1952[1]）。

現(xiàn)金，是所有企業(yè)資產(chǎn)中流動性最強(qiáng)的資產(chǎn)，任何一家企業(yè)都必須始終保持有一定數(shù)額的庫存現(xiàn)金，以保證企業(yè)日常運營所需的最低現(xiàn)金需求（J. Tobin， 1956[2]）。但是，現(xiàn)金是一個非營利性的資產(chǎn)，若一份貨幣資金在企業(yè)中滯留過久，勢必會降低企業(yè)的效益，與其任其不管，不如將這部分基本不用的資金投入市場，賺取更多財富。因此，日?，F(xiàn)金管理的主要任務(wù)就是在保證公司基本現(xiàn)金流的前提下，力爭控制其持有的現(xiàn)金在一個盡可能低的水平上（G.D. Eppen & E.F. Fama， 1968[3]）。圍繞這一目標(biāo)，西方企業(yè)財務(wù)管理專家們付出了很多努力，也已經(jīng)形成了一系列傳統(tǒng)的現(xiàn)金管理理論成果。

Seth & Thompson[4]于1970年在論文Application of mathematical control theory to finance： Modeling Simple Dynamic Cash Balance Problems中對企業(yè)現(xiàn)金管理建立了一個確定性模型。Sethi和Thompson的模型不僅為現(xiàn)金管理問題提供了一個具有可行性的方法，而且還對后續(xù)的相關(guān)研究有實質(zhì)性的指導(dǎo)意義（R.C. Merton， 1971[5] & G.M. Constantinides， 1976[6]）。接下來，我們就先簡要介紹Sethi & Thompson的這個確定性模型。

在Sethi & Thompson的確定性模型中，只考慮了兩種金融資產(chǎn)，即銀行存款和證券。記在 時刻的銀行存款為 ，投資于證券的資金為 ，銀行利率為 ，證券收益率為 ，企業(yè)現(xiàn)金需求為 ， 。控制變量是在 時刻的證券出售額 ，當(dāng)公司賣出證券時， 是正數(shù)，當(dāng)公司購入證券時， 是負(fù)數(shù)。同時， 是有界的，即 ， 且 ，因為公司在每一時刻的證券交易不可能無限制地進(jìn)行，為了管控風(fēng)險，公司在每一時刻都需要設(shè)定一個合理的證券交易上下限范圍。此外，股票交易收費率是 ， 。于是可以得到如下常微分方程組：

其中初值條件為 ， 。目標(biāo)函數(shù)為 ，即每一時刻的公司財富（僅包括銀行存款和證券資產(chǎn)）最大。Sethi & Thompson利用Pontryagin最大化準(zhǔn)則，求得了控制函數(shù) ，從而得到了一個最優(yōu)的現(xiàn)金管理策略。

我們則在該模型的基礎(chǔ)上，考慮了股票會支付紅利的情況，和證券收益率不確定的情況，并求解得到了新情況下的企業(yè)現(xiàn)金管理最優(yōu)路徑。

對于股票會支付紅利的情況，與Sethi & Thompson一樣，我們依據(jù)Pontryagin最大化準(zhǔn)則來解決我們提出的模型。

對于證券收益率不確定的情況，這種更能夠反映真實市場的情況，Sethi & Thompson也對其進(jìn)行了模型的構(gòu)建和探索，他們表明，在這種情況下無法得到一個精確的最優(yōu)控制路徑，這也受到了其他研究公司現(xiàn)金管理問題的學(xué)者的認(rèn)同（例如M.H. Miller， 1966[7]）。事實上，當(dāng)證券收益率不確定時，現(xiàn)金管理模型的最大化問題是一個隨機(jī)問題（R.G. Vickson， 1971[8]）。當(dāng)然，以往已有學(xué)者對這一問題的求解方法進(jìn)行了探索。例如，可以采用蒙特卡洛仿真策略來模擬，但是這種方法較為粗糙（S.P. Sethi & G.L. Thompson， 1970[4]）；隨機(jī)模擬、遺傳算法和模擬退火算法的混合智能算法，為模型求解提供了一個不錯的新思路，但是這種算法較為冗雜（H.G. Daellenbach， 1985[9]）。因此，我們在參考了前人的研究之后，首先構(gòu)建了一個隨機(jī)的證券收益率的描述形式，并新定義了一個帶有期望形式的伴隨函數(shù)，接著根據(jù)新定義的伴隨函數(shù)和Pontryagin最大化準(zhǔn)則，求解得到了一個在證券收益率不確定情況下的企業(yè)現(xiàn)金管理策略。

2 考慮股票會支付紅利的現(xiàn)金管理模型

與Sethi & Thompson的基礎(chǔ)模型相似，我們只考慮一個公司投資于證券的資產(chǎn)和現(xiàn)金資產(chǎn)，并同樣記在 ， 時刻的銀行存款為 ，投資于證券的資金為 ，銀行利率為 ，證券收益率為 ，現(xiàn)金需求為 。同時我們記 為證券的分紅率。控制變量是在 時刻的證券出售額 ， 是有界的，即 ， 且 。此外，同樣記股票交易收費率是 ， 。這樣我們就可以得到如下的常微分方程組：

其中初值條件為 ， 。目標(biāo)函數(shù)為 。這就是在股票會支付紅利情況下的一個公司現(xiàn)金管理模型。我們根據(jù)Pontryagin最大化準(zhǔn)則，對該模型進(jìn)行求解。首先引入 和 這兩個伴隨函數(shù)，令其滿足如下的兩個微分方程和兩個橫截條件：

接著，我們根據(jù)引入的伴隨函數(shù)，構(gòu)造Hamilton函數(shù)：

通過選擇控制變量使得Hamilton函數(shù)最大化，我們就可以得到最優(yōu)的現(xiàn)金管理策略?？梢悦黠@看到，我們構(gòu)建的Hamilton函數(shù)是 的線性函數(shù)，從而對于問題的解，一定是bang-bang的形式。因此我們考慮在Hamilton函數(shù)中包含 的項：

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng) 時， ，這時如果 ，即伴隨函數(shù) 與股票交易收費率與 的差的乘積大于或等于伴隨函數(shù) 時（以下類推），為了使得 盡量大，我們就要讓 盡量大。相反，如果 ，則需要讓 盡量小，才能使 盡量大。當(dāng) 時， 的形式為 ，這時如果 ，則 需要盡量小，才能使得 盡量大，相反如果 ，則 需要盡量大才能使得 盡量大。綜合以上，我們就得到了如下的控制變量最優(yōu)路徑：

即在我們的假設(shè)前提下， 時刻企業(yè)的最優(yōu)現(xiàn)金管理策略，只有將購買的證券的錢花到最大；將能賣出的證券資產(chǎn)全部賣出以及既不買入證券也不賣出證券這三種情況。

這里的伴隨函數(shù) 和 ，可以通過它們滿足的微分方程和橫截條件求得：

至此，我們就求得了在考慮股票會支付紅利情形下的公司最優(yōu)現(xiàn)金管理策略。

3 考慮證券收益率不確定下的現(xiàn)金管理模型

3.1 模型和一個描述不確定證券收益率的形式

現(xiàn)在我們考慮當(dāng)證券收益率不確定時的情形。我們記 為證券收益率， 是一個隨機(jī)過程。這樣，我們的模型就是如下這個形式：

初始條件依舊是 ， 。目標(biāo)函數(shù)同樣為 。

接下來，我們考慮構(gòu)建一個可以描述 的模型。參考以往的關(guān)于證券價格的理論與實證研究，我們選擇使用Simmons提出的一個描述證券收益率的模型：

這里 是證券價格在 時刻的凈收益率， 和 是常數(shù)， 是一個具有零均值的隨機(jī)干擾項。在我們的模型中，我們對Simmons的模型適度簡化，令：

且 為服從零均值的正態(tài)分布。同時我們允許 和 隨時間變化。

根據(jù) 的定義，可以給出 ，其中 為證券價格。我們將 視為 在離散時間下的近似，故我們有以下近似的隨機(jī)微分方程：

其中 。 和 是已知的函數(shù)， 是一個零均值，方差為 的隨機(jī)變量。并假設(shè) 是一個白噪聲過程，一個高斯不相關(guān)過程。

至此我們就構(gòu)建完成了考慮證券收益率不確定下的企業(yè)現(xiàn)金管理模型，并給出了一個較為合理的描述不確定證券收益率的形式。并且，值得注意的是，對于這個描述不確定證券收益率的形式中的參數(shù)，可以考慮通過以往的實際數(shù)據(jù)訓(xùn)練得到。

3.2 一個最優(yōu)現(xiàn)金管理策略

我們不妨先假設(shè)證券收益率是確定的，這樣引入的伴隨函數(shù) 和 就和確定性下的情況一樣，滿足：

3.3 的計算

根據(jù)上文已給出的描述不確定證券收益率的模型，我們首先引入 作為以下方程的解：

4 總結(jié)與展望

本文基于Sethi & Thompson的企業(yè)現(xiàn)金管理模型，考慮股票會支付紅利和證券收益率不確定的兩種情況，對模型進(jìn)行了拓展研究，對于股票會支付紅利的情況，我們直接基于Pontryagin最大化準(zhǔn)則求解到了企業(yè)最優(yōu)的現(xiàn)金管理策略。而對于證券收益率不確定的情況，我們首先將引入的伴隨函數(shù)賦予了期望的形式，再根據(jù)最大化準(zhǔn)則求解得到了最優(yōu)的現(xiàn)金管理策略。其中對于附有期望形式的伴隨函數(shù)，我們根據(jù)一個描述證券不確定收益率的模型，得到了伴隨函數(shù)的顯示表達(dá)。

本文研究的不足之處，首先在于對證券收益率不確定下的模型的最優(yōu)現(xiàn)金管理策略，其伴隨函數(shù)的表達(dá)依舊較為復(fù)雜，增加了在實際應(yīng)用時需要考慮的因素的數(shù)量和實際操作時的復(fù)雜程度，表達(dá)形式更簡潔的不確定性下的最優(yōu)現(xiàn)金管理策略值得進(jìn)一步尋找；其次，由于現(xiàn)如今企業(yè)內(nèi)部數(shù)據(jù)的獲取難度較大，我們期望在未來，能夠?qū)⑽覀兊玫降淖顑?yōu)現(xiàn)金管理策略進(jìn)行進(jìn)一步的實證應(yīng)用與分析，探索其在社會中的價值。

參考文獻(xiàn)

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