張?jiān)ツ?，?遠(yuǎn)，楊懷彬，崔 智，史浩楠

（陸軍裝甲兵學(xué)院，北京 100072）

0 引言

全方位移動(dòng)平臺(tái)能夠?qū)崿F(xiàn)前后平移、左右平移和繞自身旋轉(zhuǎn)3個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)學(xué)上的優(yōu)勢(shì)使其在狹窄空間作業(yè)的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)得到廣泛應(yīng)用，并成為機(jī)器人移動(dòng)機(jī)構(gòu)的一個(gè)主要發(fā)展趨勢(shì)［1］。全方位移動(dòng)平臺(tái)種類多樣，其中以Mecanum輪式移動(dòng)平臺(tái)的研究和應(yīng)用最為成熟［2］。Mecanum輪式移動(dòng)平臺(tái)采用與普通轎車相似的布局形式，可擴(kuò)展性強(qiáng)，與其他全方位移動(dòng)平臺(tái)相比具有較強(qiáng)的承載能力，而且平臺(tái)的相關(guān)控制技術(shù)成熟，故得到了較為廣泛的應(yīng)用，例如物流倉(cāng)儲(chǔ)中使用的Mecanum輪式叉車。由于Mecanum輪自身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，使得輥?zhàn)虞S向受力大、易磨損，且在輪子正常運(yùn)動(dòng)時(shí)輥?zhàn)右话惆殡S有滑動(dòng)［3］，無(wú)法準(zhǔn)確完成直線運(yùn)動(dòng)。Mecanum輪式移動(dòng)平臺(tái)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中振動(dòng)大，越野、越障能力差，在地面濕滑的情況下，運(yùn)動(dòng)能力差。

為了改善Mecanum輪式移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)能力，一種思路是直接對(duì)Mecanum輪進(jìn)行改進(jìn)，包括設(shè)計(jì)橢圓形的 Mecanum 輪［4］，增加輥?zhàn)渔i緊機(jī)構(gòu)［5］，對(duì)輥?zhàn)雍穸妊a(bǔ)償［6］等，增加了輪的復(fù)雜程度，其加工成本和難度也較高，實(shí)際效果不好。另一種思路是受Mecanum輪式移動(dòng)平臺(tái)的啟發(fā)，設(shè)計(jì)出履帶式全方位移動(dòng)平臺(tái)，矩形布局的履帶式全方位移動(dòng)平臺(tái)如圖1所示，其行走機(jī)構(gòu)的細(xì)節(jié)部分如圖2所示。履帶式全方位移動(dòng)平臺(tái)的實(shí)用性強(qiáng)，應(yīng)用領(lǐng)域廣泛，既能實(shí)現(xiàn)全方位運(yùn)動(dòng)，又具有傳統(tǒng)履帶式移動(dòng)平臺(tái)的優(yōu)點(diǎn)，如：運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)；接地面加大，載重能力強(qiáng)；越野能力強(qiáng)；具有一定的柔性，對(duì)不平路面具有一定的“濾波”作用等［7］。

圖1 矩形布局的履帶式全方位移動(dòng)平臺(tái)

圖2 履帶式全方位移動(dòng)平臺(tái)行走機(jī)構(gòu)

目前針對(duì)履帶式全方位移動(dòng)平臺(tái)的研究很少，現(xiàn)有文獻(xiàn)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)過(guò)程復(fù)雜，推導(dǎo)結(jié)果的通用性不強(qiáng)，并且只對(duì)矩形布局的履帶式全方位移動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行了驗(yàn)證，限制了對(duì)履帶式移動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)特性的進(jìn)一步研究。本文針對(duì)履帶式移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，提出一種較為簡(jiǎn)便的推導(dǎo)方法，并以三角形布局的履帶式移動(dòng)平臺(tái)為例，對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

本文在運(yùn)動(dòng)學(xué)方程推導(dǎo)的過(guò)程中進(jìn)行了簡(jiǎn)化，并不直接針對(duì)履帶式全方位移動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行推導(dǎo)，而是針對(duì)在運(yùn)動(dòng)學(xué)方程上等效的圓柱輥?zhàn)覯ecanum輪全方位移動(dòng)平臺(tái)（以下簡(jiǎn)稱“圓柱輥?zhàn)尤轿灰苿?dòng)平臺(tái)”）進(jìn)行推導(dǎo)，圓柱輥?zhàn)尤轿惠喓蛨A柱輥?zhàn)尤轿灰苿?dòng)平臺(tái)如圖3、圖4和圖6所示。對(duì)比可知，履帶式全方位移動(dòng)平臺(tái)和圓柱輥?zhàn)尤轿灰苿?dòng)平臺(tái)的區(qū)別在于是否有履帶和圓柱輥?zhàn)樱膸鲜菆A柱小輪）數(shù)量的多少，如果假設(shè)履帶式全方位移動(dòng)平臺(tái)的履帶接地段的滑轉(zhuǎn)、滑移為零，圓柱輥?zhàn)尤轿灰苿?dòng)平臺(tái)的輥?zhàn)硬话l(fā)生滑移，那么二者的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程將是完全相同的。

1.1 圓柱輥?zhàn)尤轿灰苿?dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

在本文中對(duì)全方位移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程作出如下假設(shè)：

1）平臺(tái)車體、全方位輪和地面均為剛體，平臺(tái)在理想的平面上運(yùn)動(dòng)；

2）輥?zhàn)优c地面之間具有足夠大的摩擦力，輥?zhàn)硬话l(fā)生滑移；

3）平臺(tái)的重心在其平面幾何中心上；

4）假定輥?zhàn)优c地面的接觸點(diǎn)在全方位輪正下方，忽略圓柱輥?zhàn)尤轿惠嗈D(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中輥?zhàn)优c地面接觸點(diǎn)的變化。

采用矢量分析法，圓柱輥?zhàn)尤轿灰苿?dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程推導(dǎo)過(guò)程如圖3所示：

圖3 觸地圓柱輥?zhàn)邮疽鈭D

圖4 輪相對(duì)平臺(tái)質(zhì)心示意圖

對(duì)于由n個(gè)圓柱輥?zhàn)尤轿惠啒?gòu)成的移動(dòng)平臺(tái)，首先討論第i個(gè)圓柱輥?zhàn)尤轿惠喌乃俣缺磉_(dá)式，圖3所示為基于圓柱輥?zhàn)尤轿惠喿鴺?biāo)系內(nèi)各量的定義，圖4所示為基于圓柱輥?zhàn)尤轿灰苿?dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系內(nèi)各量的定義。定義輪轂轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θi，輪轂轉(zhuǎn)速為θ觶i，圓柱輥?zhàn)愚D(zhuǎn)過(guò)的角度為，圓柱輥?zhàn)拥霓D(zhuǎn)速為，點(diǎn)Qi為圓柱輥?zhàn)拥闹行狞c(diǎn)，點(diǎn)Oi為輪轂的中心點(diǎn)，點(diǎn)Oi的速度向量為o觶i，全方位輪和地面的接觸線為圓柱輥?zhàn)由系木€li，過(guò)點(diǎn)Oi和Qi的直線和 li相交于點(diǎn) Ai，點(diǎn) Ai的速度向量為a觶i。定義 ω 為平臺(tái)車體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，定義點(diǎn)B為平臺(tái)幾何中心，b觶為平臺(tái)的速度向量，定義di為從B點(diǎn)指向Oi點(diǎn)的向量，ei為沿輪轂軸線方向的單位向量，ki為沿OiQi方向的單位向量，fi為過(guò)點(diǎn)Oi且垂直于ei和ki的單位向量，mi為沿圓柱輥?zhàn)虞S線方向的單位向量，ni為過(guò)點(diǎn)Oi且垂直于mi和ki的單位向量，R為全方位輪半徑，r為圓柱棍子半徑。

將Oi點(diǎn)的速度與Ai點(diǎn)的速度聯(lián)系起來(lái)，有

其中，vi為Oi相對(duì)于Qi的速度。

記ωR為輪轂角速度，ωr為輥?zhàn)咏撬俣?，則有

從線速度的角度有

也即有

將式（4）代入式（1）得

下面討論Oi相對(duì)于B點(diǎn)的速度表達(dá)式，如圖4所示，有

據(jù)圖4中矢量之間的關(guān)系有

將式（5）兩邊同時(shí)點(diǎn)乘 mi，并將式（7）代入可得，

將式（6）兩邊同時(shí)點(diǎn)乘 gi，可得

聯(lián)立式（8）和式（9），可得θ觶i和 ω 與b觶的關(guān)系為

考慮n個(gè)圓柱輥?zhàn)尤轿惠喌倪\(yùn)動(dòng)方程，則平臺(tái)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

相應(yīng)的，平臺(tái)的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

平臺(tái)能實(shí)現(xiàn)全方位運(yùn)動(dòng)的必要條件是系統(tǒng)的速度逆雅可比矩陣滿秩，即rank（K）=3，此時(shí)系統(tǒng)不存在奇異位形。

1.2 矩形布局的履帶式全方位移動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

應(yīng)用式（11）和式（12），對(duì)如下頁(yè)圖 5所示的矩形布局的履帶式全方位移動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，圖中履帶上的小輥?zhàn)佑弥本€段代替。根據(jù)1.1的內(nèi)容，首先將矩形布局的履帶式全方位移動(dòng)平臺(tái)等效成矩形布局的圓柱輥?zhàn)尤轿灰苿?dòng)平臺(tái)，對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，如圖6所示。圖5和圖6均為俯視圖。圖6中表示平臺(tái)的廣義速度，表示4個(gè)輪子的轉(zhuǎn)速，方向符合右手定則，L和l分別表示前后輪之間距離的一半和左右輪之間距離的一半，圓柱輥?zhàn)优c輪軸的夾角分別取45°和-45°。根據(jù)式（11）和式（12）可以得到圓柱輥?zhàn)尤轿灰苿?dòng)平臺(tái)的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

圖5 矩形布局的履帶式全方位移動(dòng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)圖

圖6 矩形布局的圓柱輥?zhàn)尤轿灰苿?dòng)平臺(tái)

逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

由前文1.1的分析可知，經(jīng)過(guò)等效分析得到的式（13）即為履帶式全方位移動(dòng)平臺(tái)的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，式（14）即為履帶式全方位移動(dòng)平臺(tái)的逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。此結(jié)論與文獻(xiàn)［7-8］的分析結(jié)果一致，并且已經(jīng)過(guò)圖1和圖5所示的履帶式全方位移動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行過(guò)實(shí)車驗(yàn)證，故可知本文運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法的正確性。

2 分析與仿真

在1.1節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的推導(dǎo)過(guò)程中，將全方位履帶等效成圓柱輥?zhàn)尤轿惠喬幚?，本質(zhì)上是作出假設(shè)，認(rèn)為履帶式全方位移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性和履帶長(zhǎng)度無(wú)關(guān)。為了證明該等效處理的正確性，同時(shí)驗(yàn)證本文公式結(jié)論的正確性，在Adams中建立車體相同，履帶長(zhǎng)度不同的履帶式三角形全方位移動(dòng)平臺(tái)模型，進(jìn)行中心轉(zhuǎn)向仿真驗(yàn)證。三角形車體為等邊三角形，三條履帶呈中心對(duì)稱分布。

2.1 履帶式三角形車體全方位移動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

對(duì)履帶式三角形車體全方位移動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，如圖7所示。

圖7 履帶式三角形車體全方位移動(dòng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)示意圖

圖7 為俯視圖，圖中按逆時(shí)針?lè)较驅(qū)?條履帶進(jìn)行了從 1到 3的編號(hào)，ω1，ω2，ω3分別表示 3條履帶的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，方向符合右手定則，VyOVx為車體坐標(biāo)系，ωz為車體中心轉(zhuǎn)向角速度，圓柱輥?zhàn)优c輪軸的夾角均為45°。設(shè)三角形車體中心點(diǎn)O到履帶對(duì)稱中心線的垂直距離為l，履帶的主動(dòng)輪半徑為R，那么根據(jù)1.1的分析過(guò)程和式（11）可以得到履帶式三角形全方位移動(dòng)平臺(tái)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

由式（15）可知，雅可比矩陣的秩有 rank（K）=3，滿足全方位運(yùn)動(dòng)的條件，故履帶式三角形全方位移動(dòng)平臺(tái)能夠進(jìn)行全方位運(yùn)動(dòng)。

根據(jù)式（12）和式（15）可知平臺(tái)的中心轉(zhuǎn)向角速度表達(dá)式為

2.2 履帶式三角形車體全方位移動(dòng)平臺(tái)仿真與分析

3種平臺(tái)的Adams模型如下頁(yè)圖8所示，測(cè)量可得l=0.685 m，R=0.112 m。為了方便將仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，設(shè)定ωz=1 rad/s，假設(shè)每個(gè)平臺(tái)3條履帶的角速度都相等，則根據(jù)式（16）有 ω1=ω2=ω3=6.116 1 rad/s。

圖8 3種平臺(tái)的Adams模型

圖9 3種平臺(tái)的中心轉(zhuǎn)向角速度值平均值

3種平臺(tái)經(jīng)仿真驗(yàn)證均能實(shí)現(xiàn)平面上的全方位運(yùn)動(dòng)，主動(dòng)輪的速度輸入均為 STEP（TIME，0，0，0.5，6.116 1），參數(shù)和仿真結(jié)果對(duì)比見(jiàn)表 1，其中的中心轉(zhuǎn)向角速度平均值是取0.5 s之后的中心轉(zhuǎn)向角速度值求均值得出，仿真結(jié)果如圖9所示。由表1和圖9可知，3種平臺(tái)的中心轉(zhuǎn)向角速度誤差都在10%以內(nèi)，證明了相關(guān)公式結(jié)論和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的正確性。

表1 3種平臺(tái)的參數(shù)和仿真結(jié)果

由表1和圖9還可以看出，履帶式三角形全方位移動(dòng)平臺(tái)的中心轉(zhuǎn)向角速度平均絕對(duì)誤差，隨著履帶接地長(zhǎng)度的增加而增加，這是因?yàn)槁膸Ы拥亻L(zhǎng)度越長(zhǎng)，與地面接觸的小輥?zhàn)拥拇蚧e累越嚴(yán)重的緣故［9］。

3 結(jié)論

本文提出一種簡(jiǎn)便的履帶式全方位移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)推導(dǎo)方法，在滿足1.1中4條假設(shè)的前提下，推導(dǎo)過(guò)程中將履帶式全方位移動(dòng)平臺(tái)用圓柱輥?zhàn)尤轿灰苿?dòng)平臺(tái)代替。將此方法應(yīng)用于矩形布局的履帶式全方位移動(dòng)平臺(tái)，得出的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程與現(xiàn)有文獻(xiàn)的結(jié)論完全一致，并且已經(jīng)過(guò)實(shí)車驗(yàn)證。將此方法應(yīng)用于履帶式三角形車體全方位移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，在Adams中建立3種履帶長(zhǎng)度不同的履帶式三角形車體全方位移動(dòng)平臺(tái)，進(jìn)行中心轉(zhuǎn)向角速度對(duì)比仿真，得到3種平臺(tái)的中心轉(zhuǎn)向角速度平均絕對(duì)誤差均在10%以內(nèi)，證明該方法的正確性。