張 昭，宋躍進(jìn)，武富春，王 明*，董棋寧

（1.北方自動(dòng)控制技術(shù)研究所，太原 030006；2.中國兵器科學(xué)研究院，北京 100081）

0 引言

坦克分隊(duì)作戰(zhàn)方案優(yōu)選是作戰(zhàn)分隊(duì)根據(jù)收到的上級(jí)任務(wù)，對(duì)多組作戰(zhàn)行動(dòng)方案進(jìn)行評(píng)估、排序和選擇的過程［1］。由于作戰(zhàn)方案的提出和評(píng)估優(yōu)選都是在作戰(zhàn)分隊(duì)層面，方案總數(shù)較少，而且較為具體。評(píng)估過程中需要考慮作戰(zhàn)效果、作戰(zhàn)時(shí)間、損失情況等因素。這一問題最終可以抽象為少量方案條件下的多屬性對(duì)象排序問題［2］。

在作戰(zhàn)方案評(píng)估優(yōu)選問題的方法選擇上，張道延等采用了層次分析法和效用模型的方法［3］。田福平等采用了模糊綜合評(píng)判與作戰(zhàn)模擬的方法［4］。劉飛等采用了博弈理論方法［5］。徐大杰等采用了傳統(tǒng)的TOPSIS方法［1］。此外還有層次分析法、蘭徹斯特方程法等常用方法［6］。與其他方法相比，TOPSIS方法具有計(jì)算較為簡單，不過分依賴主觀經(jīng)驗(yàn)，充分利用數(shù)據(jù)，信息損失少等優(yōu)點(diǎn)。

本文采用了改進(jìn)的TOPSIS方法對(duì)作戰(zhàn)方案進(jìn)行評(píng)估優(yōu)選，對(duì)傳統(tǒng)TOPSIS方法在處理少量方案問題上的不足作出了改進(jìn)。

1 TOPSIS方法

TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）方法，也稱為逼近理想解排序方法，是Hwang等人在1981年提出的一種針對(duì)多屬性對(duì)象的評(píng)價(jià)排序方法［7］。其算法核心是設(shè)定正理想解和負(fù)理想解，計(jì)算各個(gè)對(duì)象到正、負(fù)理想解的歐式距離進(jìn)而得到各個(gè)對(duì)象的相對(duì)優(yōu)劣程度［8］。其中，“正理想解是設(shè)想的最好的解，它表示各個(gè)單一屬性值都達(dá)到了方案集中的最優(yōu)值；而負(fù)理想解則是設(shè)想的最差的解，它表示各個(gè)單一屬性值都達(dá)到了方案集中的最差值”。

TOPSIS方法給出了從各個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象中得到正、負(fù)理想解的方法，從而解決了設(shè)定正、負(fù)理想解的問題。但是采用這種方法得到的只是用各個(gè)評(píng)價(jià)方案的數(shù)據(jù)拼湊出的最優(yōu)和最差解，并不是真正意義上的“理想”解。若存在大量評(píng)價(jià)對(duì)象，以上兩者可以近似，但在評(píng)價(jià)少量對(duì)象時(shí)，這種選取正、負(fù)理想解的方式并不合理。此外傳統(tǒng)TOPSIS方法還存在逆序問題。所謂逆序問題是指在對(duì)m個(gè)方案作評(píng)估排序時(shí)，方案Ai優(yōu)于方案Aj（i≠j），但若增加或減少若干個(gè)方案后，相同方法得出的結(jié)論卻是方案Aj優(yōu)于方案Ai（如果這兩個(gè)方案沒有被刪減）［9］。

1.1 TOPSIS方法原理和具體步驟

TOPSIS方法的具體應(yīng)用步驟如下［10-13］：

Step 1：由待評(píng)價(jià)對(duì)象構(gòu)建如下評(píng)價(jià)矩陣X：

其中，xij是第i個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象的第j個(gè)屬性指標(biāo)的值。m、n分別為評(píng)價(jià)對(duì)象和評(píng)價(jià)指標(biāo)的數(shù)量。xj是m個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象的第j個(gè)屬性指標(biāo)構(gòu)成的向量。

Step2：為了消除量綱和數(shù)量級(jí)的影響，對(duì)原始評(píng)價(jià)矩陣X進(jìn)行歸一化處理，得到歸一化后的矩陣R：

其中，式（2）為歸一化處理公式。rij是歸一化之后的第i個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象的第j個(gè)屬性指標(biāo)的值。

Step 3：將權(quán)重矩陣W右乘歸一化后的矩陣R得到價(jià)值矩陣V：

其中，權(quán)重 ωi滿足 ωi>0，且。

Step 4：確定正理想解S+和負(fù)理想解S-。正、負(fù)理想解是TOPSIS方法給出的設(shè)想中的“最優(yōu)”和“最差”的解。具體方法是讓正、負(fù)理想解的各個(gè)指標(biāo)分別取評(píng)價(jià)矩陣中的對(duì)應(yīng)指標(biāo)中的最優(yōu)和最差指標(biāo)的值。指標(biāo)分為效益型指標(biāo)和成本型指標(biāo)，其中效益型指標(biāo)的指標(biāo)值越大效果越好，成本型指標(biāo)的指標(biāo)值越小效果越好［7］。

Step 5：分別計(jì)算每個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象到正、負(fù)理想解的距離 Di+、Di-。

Step 6：計(jì)算各評(píng)價(jià)方案相對(duì)貼近度Ci*：

Step 7：根據(jù)Ci*的大小進(jìn)行排序，值越大，評(píng)價(jià)方案越好。

1.2 TOPSIS方法在針對(duì)少量對(duì)象評(píng)價(jià)中的不足

TOPSIS方法的核心思想是利用待評(píng)價(jià)對(duì)象到正、負(fù)理想解的距離來衡量待評(píng)價(jià)對(duì)象的優(yōu)劣。距離正理想解越近且距離負(fù)理想解越遠(yuǎn)的待評(píng)價(jià)對(duì)象越好，反之則越差。TOPSIS方法給出的正、負(fù)理想解的求取方法，是取評(píng)價(jià)矩陣中每個(gè)指標(biāo)的最優(yōu)和最差值作為正、負(fù)理想解對(duì)應(yīng)指標(biāo)值。這種選定正、負(fù)理想解的方法可以從評(píng)價(jià)對(duì)象直接得到，不需要通過其他方法獲得。

在評(píng)價(jià)排序問題的對(duì)象數(shù)量較多時(shí)，可以近似認(rèn)為評(píng)價(jià)矩陣中的各個(gè)對(duì)象可以覆蓋評(píng)價(jià)方案的取值空間，TOPSIS方法給出的正、負(fù)理想解，近似于整個(gè)取值空間中各個(gè)單項(xiàng)指標(biāo)的最優(yōu)、最差指標(biāo)值組成的最優(yōu)、最差解。

但是在評(píng)價(jià)矩陣中對(duì)象較少的情況下，矩陣中的各個(gè)對(duì)象并不能近似遍布評(píng)價(jià)方案的取值空間。TOPSIS方法給出的正、負(fù)理想解并不能代表整個(gè)取值空間中每個(gè)單項(xiàng)指標(biāo)的最優(yōu)、最差指標(biāo)值組成的最優(yōu)、最差解，只是評(píng)價(jià)矩陣中的指標(biāo)組成的最優(yōu)和最差解，作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)可能存在一定誤差。

此外TOPSIS方法還存在逆序問題。在評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)不變的情況下，由于評(píng)價(jià)方案數(shù)目的增減導(dǎo)致原本的方案評(píng)價(jià)排序發(fā)生變化，顯然是不合理的。雖然在對(duì)作戰(zhàn)方案進(jìn)行評(píng)估的過程中，一般不會(huì)出現(xiàn)增減方案的情況，但這種逆序問題的存在說明傳統(tǒng)的選取正、負(fù)理想解并作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的方法有一定瑕疵［14-16］。

具體例子將在第3節(jié)實(shí)例分析中給出。由于存在以上問題，在評(píng)價(jià)矩陣中對(duì)象較少的情況下，不應(yīng)該采用傳統(tǒng)的選取正、負(fù)理想解的方法。

2 針對(duì)少量評(píng)價(jià)排序?qū)ο蟮母倪M(jìn)TOPSIS方法

在面對(duì)少量對(duì)象的評(píng)價(jià)排序時(shí)，針對(duì)TOPSIS方法的不足，本文提出將評(píng)價(jià)方案的取值空間中各指標(biāo)的邊界值作為正、負(fù)理想解的各指標(biāo)值。這些邊界值可以是數(shù)學(xué)上的邊界值，例如對(duì)敵毀傷概率的上邊界為1；可以由任務(wù)要求得到，例如任務(wù)要求在60 min內(nèi)完成任務(wù)；也可以由評(píng)價(jià)排序方自行根據(jù)實(shí)際情況制定，例如進(jìn)行TOPSIS方法評(píng)價(jià)排序時(shí)要求毀傷概率不得低于0.8。

原本的TOPSIS方法中，正、負(fù)理想解是在原始評(píng)價(jià)矩陣經(jīng)過變換之后，再取各個(gè)指標(biāo)的最大、最小值得到的。人工設(shè)定正、負(fù)理想解時(shí)，不宜直接給定與變換之后的評(píng)價(jià)矩陣相對(duì)應(yīng)的正、負(fù)理想解。因此，針對(duì)原始評(píng)價(jià)矩陣中各個(gè)指標(biāo)給定最好和最差的解，再跟隨原始矩陣一起變換得到最終的正、負(fù)理想解。給定過程中應(yīng)考慮效益型指標(biāo)和成本型指標(biāo)的不同來選擇最大或最小。對(duì)TOPSIS方法做出的具體修改如下。

構(gòu)建原始正、負(fù)理想解。通過評(píng)價(jià)方案的取值空間的邊界、任務(wù)要求和經(jīng)驗(yàn)補(bǔ)充等構(gòu)建對(duì)應(yīng)原始矩陣的最優(yōu)、最差解。并將這兩個(gè)解加入原始評(píng)價(jià)矩陣X，得到新的評(píng)價(jià)矩陣X'。

對(duì)評(píng)價(jià)矩陣X'的前m行進(jìn)行歸一化處理，對(duì)x1、x2做對(duì)應(yīng)處理，得到矩陣 R'：

其中，式（11）為原歸一化處理公式變化之后的公式，式中的 i=1，2，3，…，m+2，j=1，2，3，…，n。但求和公式中i最大取m。因此，該公式不會(huì)影響原始評(píng)價(jià)矩陣X中的各個(gè)元素的歸一化結(jié)果，同時(shí)對(duì)增加的原始正、負(fù)理想解做出對(duì)應(yīng)的變化。式（12）為變換之后的矩陣。

用R'代替原本TOPSIS方法中的R與權(quán)重矩陣進(jìn)行加權(quán)，得到改進(jìn)后的價(jià)值矩陣V'，其中最后兩行即為改進(jìn)后的正、負(fù)理想解。

3 算例分析

下面以文獻(xiàn)［1］中的實(shí)例數(shù)據(jù)作為例子進(jìn)行簡要計(jì)算分析：

某坦克分隊(duì)要對(duì)某陣地防御發(fā)起進(jìn)攻。要對(duì)現(xiàn)有的4個(gè)方案進(jìn)行評(píng)估排序，每個(gè)方案有對(duì)敵毀傷概率、完成作戰(zhàn)任務(wù)時(shí)間、遭敵毀傷概率、彈藥消耗量4個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)。原始數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 4種作戰(zhàn)方案的原始數(shù)據(jù)

原始數(shù)據(jù)中，對(duì)敵毀傷概率為增益型指標(biāo)，越大越好；完成作戰(zhàn)任務(wù)時(shí)間、遭敵毀傷概率、彈藥消耗量屬于成本型指標(biāo)，越小越好。

原始評(píng)價(jià)排序矩陣為：

3.1 TOPSIS方法在針對(duì)少量對(duì)象時(shí)的算例分析

表2 4種作戰(zhàn)方案按傳統(tǒng)方法的評(píng)價(jià)排序結(jié)果

首先按照傳統(tǒng)的TOPSIS方法對(duì)以上作戰(zhàn)方案進(jìn)行評(píng)價(jià)排序，其中權(quán)重選擇采取傳統(tǒng)的信息熵的方法，計(jì)算得到4種作戰(zhàn)方案在傳統(tǒng)TOPSIS方法下評(píng)價(jià)排序結(jié)果。

在上述計(jì)算過程中，正、負(fù)理想解由原始評(píng)價(jià)矩陣中每個(gè)指標(biāo)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)和最差指標(biāo)值通過變換得到?，F(xiàn)設(shè)定 x1=（0.99 32 0.5 200）、x2=（0.80 100 1.0 1 200）分別作為原始的最優(yōu)和最差方案，與原始評(píng)價(jià)矩陣中的4個(gè)方案經(jīng)過相同的變換之后作為修改后的正、負(fù)理想解。4種作戰(zhàn)方案在修改正、負(fù)理想解之后的評(píng)價(jià)排序結(jié)果如表3所示。

表3 4種作戰(zhàn)方案在修改理想解后的評(píng)價(jià)排序結(jié)果

對(duì)比修改正、負(fù)理想解前后的排序結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：在修改正、負(fù)理想解之后，方案排名出現(xiàn)了變化。修改前D方案最優(yōu)，C方案其次；修改后C方案最優(yōu)，D方案其次。

上述修改過程可以認(rèn)為是人工設(shè)置的正、負(fù)理想解。若令上述修改過程中，式（11）中的求和公式i最大取m+2，則可以認(rèn)為是在原本的4個(gè)方案基礎(chǔ)上增加了兩個(gè)特殊方案。在此種情況下，原來4個(gè)方案的排序?yàn)镃、D、A、B，驗(yàn)證了逆序問題的存在。具體計(jì)算過程不再贅述。

這樣的排序變化驗(yàn)證了在評(píng)價(jià)矩陣中對(duì)象較少的情況下：TOPSIS方法使用原本的正、負(fù)理想解和人工按照邊界設(shè)定的正、負(fù)理想解可能會(huì)得到不同的評(píng)價(jià)方案排序結(jié)果；傳統(tǒng)的TOPSIS方法存在逆序問題。

因此，在評(píng)價(jià)矩陣中對(duì)象較少的情況下，TOPSIS方法的正、負(fù)理想解的選定方法有著明顯的不足。

3.2 改進(jìn)TOPSIS方法算例分析

現(xiàn)將原始的最優(yōu)和最差方案x1、x2加入評(píng)價(jià)矩陣得到新的評(píng)價(jià)矩陣X'如下：

對(duì)原始數(shù)據(jù)歸一化，并對(duì)x1、x2作對(duì)應(yīng)處理之后得到R'如下：

按照各項(xiàng)指標(biāo)的重要性給定權(quán)重W=（0.4，0.3，0.2，0.1）。得到價(jià)值矩陣V'如下：

根據(jù)相對(duì)貼近度給出的4個(gè)方案的排序?yàn)镃、D、A、B。

4 結(jié)論

針對(duì)坦克分隊(duì)的方案優(yōu)選問題，本文分析了傳統(tǒng)的TOPSIS方法在面對(duì)少量對(duì)象的評(píng)價(jià)排序時(shí)的不足：排序方案較少時(shí)，以傳統(tǒng)方法選取的正、負(fù)理想解合理性不強(qiáng)；傳統(tǒng)TOPSIS方法存在逆序問題。針對(duì)此種情況下的正、負(fù)理想解的選取，本文提出將評(píng)價(jià)方案的取值空間中各指標(biāo)的邊界值作為正、負(fù)理想解的各指標(biāo)值的改進(jìn)方法，并對(duì)傳統(tǒng)的TOPSIS方法的計(jì)算步驟作出了相應(yīng)的改進(jìn)，使之更適于處理坦克分隊(duì)的方案優(yōu)選問題。

表4 4種作戰(zhàn)方案按照改進(jìn)TOPSIS方法的評(píng)價(jià)排序結(jié)果