李 義 ，蔣 剛 ，楊劍鋒

1 引言

Mecanum輪作為全方位移動機器人的關(guān)鍵承載技術(shù)，在機器人、重裝搬運設(shè)備上已有廣泛應(yīng)用[1-3]?；贛ecanum輪的全方位移動機器人具有機械結(jié)構(gòu)簡潔、運動控制靈活、通過性好等優(yōu)點[1-7]。由3個或3個以上的該輪按特殊方式排列可以組成具有平面內(nèi)的任意方向平移以及任意半徑和角度旋轉(zhuǎn)的全方位移動平臺。該特殊結(jié)構(gòu)的輪子由文獻[2]設(shè)計；Mecanum輪在轉(zhuǎn)動過程中輥子與地面接觸的軌跡為空間軌跡，其結(jié)構(gòu)為復(fù)合結(jié)構(gòu)，目前采用的輥子母線普遍為近似母線建模方法[3]。文獻[4]采用切面與投影相結(jié)合的方法計算輥子輪廓方程，運用Solidworks API和VC++進行仿真論述，使得全方位輪的結(jié)構(gòu)設(shè)計快捷、簡單。文獻[5]提出了圓弧逼近理論母線的方法，并進行了仿真分析其近似效果優(yōu)于等速螺旋線法和橢圓弧法，該方法設(shè)計的理論圓周最大誤差為0.17%。張學(xué)玲等人對Mecanum輪萬向輪滾子外輪廓曲面變形補償設(shè)計，針對輥子在承壓工況下的一個變形近似補償，提升了Mecanum輪運行的平穩(wěn)性。上述文獻通過近似方法處理輥子母線軌跡[7]，采用輪子軌跡反推輥子母線以及軸線的設(shè)計思路，對輥子的近似處理有一定的效果，但是在不同承載能力以及結(jié)構(gòu)方式的Mecanum輪建模中近似精確度有限，輪子中的核心輥子部件參數(shù)難以一次性確定。針對這一問題，通過解析輪子的結(jié)構(gòu)原理以及運動方式，重構(gòu)輥子與地面接觸的空間軌跡，并由此提出一種基于輪子半徑和輥子個數(shù)即R-N結(jié)構(gòu)特征參數(shù)的Mecanum輪設(shè)計方法。通過明確設(shè)計輪子直徑尺寸大小、輥子數(shù)量進行輪子軸線方程以及輥子母線軌跡方程推導(dǎo)的主動設(shè)計的思維進行輪子結(jié)構(gòu)設(shè)計，一次性完成輪子參數(shù)確定并在給定輪子直徑參數(shù)的條件下仿真分析傳統(tǒng)橢圓弧方法和自研方法誤差分析。

2 Mecanum輪原理分析

2.1 Mecanum輪結(jié)構(gòu)解析

輪子由輪軸和環(huán)繞輪軸并以一定角度傾斜包圍的輥子組成，其軸向視圖包絡(luò)線為連續(xù)圓周[2]。Mecanum輪由于棍子的特殊結(jié)構(gòu)在接觸地面運行過程中區(qū)別于普通輪子呈點接觸。因此輥子母線的設(shè)計方法對Mecanum輪中輥子包絡(luò)成圓的精度會產(chǎn)生影響，因此直接決定輪子運行的穩(wěn)定性。在輪子設(shè)計過程中輥子的設(shè)計參數(shù)主要影響因素為：偏置角、輪子直徑、輥子個數(shù)、輥子重合度四個要素。由于輪子是由輥子包絡(luò)的復(fù)合結(jié)構(gòu)，因此輥子的相關(guān)參數(shù)是相互關(guān)聯(lián)的。其結(jié)構(gòu)特征，如圖1所示。輥子的設(shè)計和裝配關(guān)系必須滿足四項原則：（1）輥子均勻分布于輪轂四周，輥子間距清晰；（2）所有棍子母線軌跡沿輪緣的軸向視圖“包絡(luò)成完整圓周”在輪子滾動過程中輥子與地面接觸點反向作用力方向必定經(jīng)過輥子軸與輪軸；（3）輥子軸線與輪軸成一定的空間夾角即偏置角，一般經(jīng)驗設(shè)計選擇為45°偏置角。（4）輥子直徑小于輪子半徑值。

圖1 Mecanum三維結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The Three-Dimensional Structure Schematic Diagram of Mecanum

2.2 Mecanum輪棍子軌跡參數(shù)求解

根據(jù)輪子的復(fù)合結(jié)構(gòu)解析，對Mecanum輪的輥子軸線建立R-N模型的棍子空間軌跡坐標(biāo)系O-xyz，如圖2所示。圖中O點為輪子的幾何中心，輪子軸線為z軸；R為輪子半徑，b為輥子軸線與輪緣相交的最大平面距離即理論輪寬；l1和l2相鄰兩個輥子軸線，并且輥子軸線與z軸的空間夾角α為45°，l1垂直于x軸；M和N分別輥子軸線為l1和l2的方向向量；P為M和N的法向量。平面O-xy分別交輥子軸線為l1和l2于A、B點。其中θ為輥子軸線為l1和l2繞z軸的空間夾角。

圖2 Mecanum輪輥子空間軌跡示意圖Fig.2 The Space Trajectory Diagram SchematicDiagram ofMecanum

在圖2坐標(biāo)系O-xyz中M和N向量的值分別為M=（0，1，1），N=（-sinθ，cosθ，1） 因此可以求得法向量 P＝（1-cosθ，-sinθ，sinθ）。在Mecanum輪輥子軸線坐標(biāo)系O-xyz中，兩相鄰輥子軸線的距離d為：

由于輥子均勻分布在輪緣周圍輥子個數(shù)N必須滿足以下關(guān)系：N=2π/θ且（N∈N*）。

在給定Mecanum輪半徑R的輥子設(shè)計過程中，輥子的輪廓半徑δR的大小取決于輥子的個數(shù)N與相鄰輥子的間距d。為了保證輥子在輪子上能夠獨立自轉(zhuǎn)，輥子最大半徑δRmax須滿足：

即兩個輥子之間無干涉。

可求得單個棍子在輪子中分布的圓心角β值：

在輪子滾動過程中輥子的接地點的反向作用力方向必經(jīng)過輥子軸和輪軸，所以輥子軸線l1參數(shù)方程為：

輥子上的點M的軌跡曲線參數(shù)方程：

Mecanum輪結(jié)構(gòu)建模通過對輥子與地面接觸的空間軌跡建立的參數(shù)方程（7）在Z方向呈正弦軌跡接觸，因此也驗證了通過橢圓弧法、等速螺旋線法[1]建立的輥子軌跡存在一定的誤差。

2.3 棍子模型建立

通過對Mecanum輪結(jié)構(gòu)解析，以及對輥子接地軌跡的求解可以為輥子的建模提供相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。在參照Mecanum輪的運動學(xué)模型，為保證輪子在運行過程中穩(wěn)定性，該輪的軸向視圖必須包絡(luò)成一個完整圓周。輥子設(shè)計除了滿足空間軌跡包絡(luò)成完整圓周，單個輥子設(shè)計必須滿足一定的軸徑比（即輥子軸和輥子最小半徑的比值關(guān)系）。并且需要對輥子包覆層、輥子軸、輥子內(nèi)嵌入的輥子保持架、滾針軸承、端面軸承等因素考慮。

通過討論輥子軸向重合度、以及輥子軸徑比等影響因素可以確定在給定半徑參數(shù)的Mecanum輪的輥子個數(shù)N。由式（1）、式（2）、式（3）可以求得δRmax與相鄰棍子圓心角θ的關(guān)系式：

根據(jù)輥子與接地點的空間軌跡建立輥子空間模型示意圖，如圖3所示。

圖3 輥子空間模型示意圖Fig.3 The Space Model Schematic Diagram of Mecanum

在輪子滾動過程中，相鄰兩個輥子切換時必須有共同的接地點；模型中可以得出相鄰兩個輥子之間輥子輪緣的臨界重合點M是在輪子與地面接觸時，如圖3（a）所示。輪子與地面的反向作用力剛好經(jīng)過兩個輥子的軸心。因為相鄰兩個輥子呈軸對稱關(guān)系，可以求得相鄰輥子重合點的角度臨界點角度γcmin=θ/2。

根據(jù)軌跡點M在輪子上的空間幾何關(guān)系可以建立與γ相關(guān)關(guān)系式：

所以M點的與輥子軸l1實時角度參數(shù)的取值范圍γ∈

過M點做輥子軸線的垂線，結(jié)合式（5）、式（7）求得輥子的半徑δ表達式為：

式中：Ai—由初始輥子到第i個輥子的坐標(biāo)變換矩陣。

根據(jù)以式（6）中的約束關(guān)系，模型可以求得不同輥子個數(shù)條件下Mecanum相關(guān)參數(shù)，如表1所示。在給定半徑R的輪子設(shè)計中輥子個數(shù)N≥5才能符合設(shè)計要求。

表1 不同輥子個數(shù)對應(yīng)的相關(guān)參數(shù)列表（半徑單位：mm）Tab1.Different Roll Number Corresponding to the Related Parameter List

圖4 獨立輥子模型Fig.4 The Independent Model of Mecanum

圖5 輥子分布模型Fig.5 The Distributed Model of Mecanum

圖6 輥子包絡(luò)軸視圖Fig.6 The Enveloping Axial View of Mecanum

通過該方法求解出的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)輥子個數(shù)對輥子最大半徑和臨界半徑有很大的影響。給定半徑的輪子設(shè)計中輥子數(shù)為8個時，臨界半徑取得最大值。以設(shè)計輪子直徑為500mm，輥子數(shù)為8個為例進行整輪實例設(shè)計，可以確定θ=45°。

運用Matlab對輥子模型進行參數(shù)化建模，根據(jù)式（8）、式（9）可以求得輥子臨界軸線長度下的輥子剖面邊界線如圖4中輥子輪廓線所示。通過繞輥子軸線旋轉(zhuǎn)生產(chǎn)的獨立輥子模型，如圖4所示。通過式（10）中坐標(biāo)矩陣轉(zhuǎn)換最終得到的mecanum輪輥子分布模型，如圖5所示。以及包絡(luò)成完整圓周的圖像，如圖6所示。

3 誤差分析

在mecanum輪輥子設(shè)計中，由于輥子的空間復(fù)合結(jié)構(gòu)，采用不同的方法設(shè)計的輥子曲線存在一定的誤差。

傳統(tǒng)的橢圓弧通過對圓柱進行45°刨切，并以圓柱面與斜切面的交線作為輥子的輪廓線進行輥子模型建立。

對比這里的設(shè)計方法，運用傳統(tǒng)橢圓弧方法建立的模型的輥子軸線和最大半徑采用與這里相同的數(shù)值。橢圓弧法建模的輥子半徑δ2可以表示為：

采用Matlab運用式（11）的半徑參數(shù)建立三維輥子模型，為了對比模型的質(zhì)量，建立輥子的同時，在輥子邊沿建立一個和模型高度一致，半徑與目標(biāo)半徑一致的圓柱進行對比分析。傳統(tǒng)的橢圓弧方法模型在模型的邊沿存在對稱的凸起，如圖7所示。誤差值為3.595mm，相對于半徑誤差為1.438%。

圖7 橢圓弧法輪子模型Fig.7 The Way of Ellipse Arc about Mecanum

采用結(jié)構(gòu)特征參數(shù)建模方法建立的輥子模型，如圖8所示。途中輥子包絡(luò)成完整圓周，誤差范圍為［-0.138，0.067］mm，相對于半徑誤差最大為0.055%。

圖8 R-N結(jié)構(gòu)特征參數(shù)法輪子模型Fig.8 The Way of R-N Architectural Feature Parameters about Roll Model

通過Matlab提取兩種方法建立的輪子包絡(luò)線邊緣特征值與理論圓周的的誤差對比分析，如圖9所示。輪子邊沿的誤差呈周期性變化，采用的R-N結(jié)構(gòu)特征參數(shù)建模方法相對于傳統(tǒng)橢圓弧方法有顯著提高。

4 應(yīng)用案例

在國家重大科學(xué)儀器設(shè)備開發(fā)專項“基于小型加速器中子源的可移動式中子成像檢測儀”（項目編號2012YQ130226）子項“多功能承載系統(tǒng)”研制中，為了進一步驗證Mecanum輪結(jié)構(gòu)特征參數(shù)建模方法的可靠性。設(shè)計研制的直徑為500mm單輪承載為2噸的Mecanum輪，應(yīng)用于多功能承載系統(tǒng)的驅(qū)動系統(tǒng)中。承載平臺通過8輪組合設(shè)計，以及Mecanum的左旋和右旋方式軸對稱布置，實現(xiàn)了平臺在平面內(nèi)的全方位移動。通過VANTAGE激光跟蹤測量系統(tǒng)對系統(tǒng)檢測，該系統(tǒng)實現(xiàn)運動行程為1000mm，10次單向運動重復(fù)定位精度：X向 1.16 mm，Y向0.34mm。該系統(tǒng)實現(xiàn)了重載檢測設(shè)備的精確定位控制，Mcanum輪作為承載平臺的關(guān)鍵承載機構(gòu)能夠有效的保證系統(tǒng)運行的穩(wěn)定性和可靠性。

圖10 mecanum應(yīng)用于多功能承載平臺Fig.10 Being Applied to Multifunctional Bearing Platform about Mecanum

5 結(jié)論

提出的R-N結(jié)構(gòu)特征參數(shù)建模方法，邏輯清晰，有效的指導(dǎo)Mecanum輪參數(shù)化建模，實現(xiàn)工程化應(yīng)用。并通過對比分析驗證得出輥子個數(shù)對輥子參數(shù)的影響。通過對輪子中輥子個數(shù)設(shè)置對輪子相關(guān)參數(shù)的分析，得出Mecanum輪中輥子數(shù)設(shè)置為8個時輥子臨界半徑最大。

R-N結(jié)構(gòu)特征參數(shù)建模方法解決了輥子設(shè)計參數(shù)一次性確定的關(guān)鍵問題，相對于傳統(tǒng)方法建模精度有一定優(yōu)勢，存在一定的系統(tǒng)誤差。為進一步研究mecanum輪的相關(guān)特性提供了相應(yīng)的建模方法基礎(chǔ)。