李為民，李嘉賓，張建軍，馮少輝

1 引言

拼接鏡面技術(shù)的發(fā)展，使天文望遠鏡的口徑突破了鏡坯材料的限制。該技術(shù)通過將多個小鏡面拼接成一個大口徑鏡面，解決了大型光學鏡面的澆鑄加工難度大，鏡面易變形的問題[1]。在高海拔宇宙線觀測站LHAASO項目的廣角大氣熒光切倫科夫光探測器陣列（WFCTA），由十二臺廣角切倫科夫望遠鏡[2-3]組成。該望遠鏡的鏡面面積約為6m2，為節(jié)省成本，每臺望遠鏡都采用了拼接鏡面技術(shù)。與傳統(tǒng)的望遠鏡相比，采用拼接技術(shù)的望遠鏡的子鏡支撐調(diào)節(jié)有了新的技術(shù)要求和難度[4]，實現(xiàn)穩(wěn)定支撐和精密調(diào)節(jié)的需要使其必須同時滿足大剛度和高精度的要求。

研究以滿足廣角切倫科夫望遠鏡子鏡支撐調(diào)節(jié)要求為目標，選擇合適的機構(gòu)，對機構(gòu)進行數(shù)學建模與位置反解；通過仿真機構(gòu)的輸入輸出關(guān)系，設計出該機構(gòu)調(diào)節(jié)過程近似解耦的安裝布置方式和調(diào)節(jié)方法；然后進行鏡片共焦實驗，驗證該支撐調(diào)節(jié)系統(tǒng)是否滿足要求。

2 子鏡支撐調(diào)節(jié)系統(tǒng)的要求

廣角切倫科夫望遠鏡擬采用單球面反射系統(tǒng)的設計方案，反射主鏡由20塊對角長為600mm的正六邊形球面子鏡及5塊相應的半子鏡拼接而成，鏡面布置，如圖1所示。

望遠鏡的子鏡通過支撐調(diào)節(jié)機構(gòu)連接在一定曲率的支撐架上，鏡面曲率半徑為5800mm，各鏡片之間邊緣間距為（5～12）mm，反射鏡及三角鏡架質(zhì)量約25kg。支撐機構(gòu)在支撐架上要穩(wěn)定支撐，角度調(diào)整需精確，以保證每塊子鏡片的焦點能夠方便調(diào)節(jié)到指定的光電倍增管（PMT）上；可將子鏡片單獨安全調(diào)整至任意位置，調(diào)節(jié)過程中各鏡片不能發(fā)生碰撞干涉[5]。電氣控制調(diào)節(jié)過程系統(tǒng)復雜，成本較高，而拼接鏡安裝調(diào)好后各鏡片位置相對固定，不需要實時調(diào)節(jié)，所以采用手動調(diào)節(jié)的方式。支撐架是有一定曲率的10mm厚的鋼板，為方便手動調(diào)節(jié)，要求調(diào)節(jié)時人的位置和子鏡支撐機構(gòu)位置在鋼板的兩側(cè)。

結(jié)合實際需求進行簡要計算，得出廣角切倫科夫望遠鏡對子鏡支撐調(diào)節(jié)機構(gòu)的技術(shù)要求如下：

調(diào)整自由度：2自由度轉(zhuǎn)動

角度調(diào)整精度：±0.2°

調(diào)節(jié)方式：手動調(diào)節(jié)

3 機構(gòu)選擇與運動分析

3.1 支撐調(diào)節(jié)機構(gòu)選擇

并聯(lián)機構(gòu)憑借結(jié)構(gòu)剛度大、承載能力高、穩(wěn)定性強、動力響應快、結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點，已成為機構(gòu)學的一個重要研究分支[6]。針對要求進行分析后采用2-PSS/U二自由度并聯(lián)機構(gòu)作為子鏡的支撐調(diào)節(jié)機構(gòu)，如圖2（a）所示。該機構(gòu)具有精度高，剛度好，穩(wěn)定性強的特點，將鏡片固連在機構(gòu)動平臺上，支撐架作為機構(gòu)靜平臺，驅(qū)動二個移動副可以實現(xiàn)動平臺的二個轉(zhuǎn)動自由度，并且在調(diào)節(jié)過程中控制端和子鏡支撐結(jié)構(gòu)分別位于支撐架的兩側(cè)，手動調(diào)節(jié)方便。為增強機構(gòu)剛度，設計一條輔助支鏈，機構(gòu)改進為3-PSS/U二自由度轉(zhuǎn)動機構(gòu)，其機構(gòu)簡圖，如圖2（b）所示。

圖2 2-PSS/U三維實體圖與3-PSS/U機構(gòu)簡圖Fig.2 3D Model of the 2-PSS/U and Schematic Diagram of 3-PSS/U Parallel Mechanism

3-PSS/U機構(gòu)由動平臺，靜平臺以及連接動，靜平臺的3條PSS支鏈和1條U支鏈組成。PSS支鏈一端通過球鉸鏈S與動平臺相連，另一端通過移動副P與靜平臺相連，且移動副的導路方向正交于靜平臺所在平面。此外，動、靜平臺通過虎克鉸U直接相連接。調(diào)節(jié)過程中，輔助支鏈松開，角度調(diào)好后，拉緊支鏈，從而提高機構(gòu)剛度。移動副采用螺旋傳動的方式，要求子鏡模塊的調(diào)整精度為±0.2°，計算得2點螺旋傳動機構(gòu)的直線位移精度大約需要0.3mm，而這種精度的螺旋傳動不難實現(xiàn)。

3.2 機構(gòu)坐標系建立

按照圖2（b）所示在動平臺幾何中心點o和虎克鉸中心點O分別建立固接于動、靜平臺的動坐標系o-xyz和靜坐標系OXYZ。設動、靜平臺分別為以點o和點P為幾何中心的正三角形，Oo、OP分別與動、靜平臺所在平面正交固接。動坐標系中x軸平行于ca，z軸垂直于動平臺所在平面，且垂直向上，y軸滿足右手定則。類似地，靜坐標系中的X軸平行于CA，Z軸垂直于靜平臺所在平面，且垂直向上，Y軸滿足右手定則?；⒖算q其中一個轉(zhuǎn)軸安裝后朝向固定，設此轉(zhuǎn)軸為定軸，另一個轉(zhuǎn)軸設為動軸，安裝時將虎克鉸的定軸朝向定坐標系的X軸，動軸平行于動坐標系的y軸。h為動靜坐標系原點的距離，l0為正三角形中點到各頂點的距離，L0是各支鏈上兩球副之間的距離。cFC是輔助的PSS支鏈，只起增大機構(gòu)剛度的作用，不參與調(diào)節(jié)，以下只分析2-PSS/U機構(gòu)。

3.3 機構(gòu)自由度計算

2-PSS/U機構(gòu)中移動副，連桿，球副構(gòu)成PSS鏈，約束軸為中間的U鏈，支鏈中兩球副之間的連桿可繞其自身的軸線旋轉(zhuǎn)，故該機構(gòu)的局部自由度為2，根據(jù)Kutzbach-Grübler公式[7]，得到機構(gòu)的自由度數(shù)：

式中：n—構(gòu)件數(shù)；g—運動副數(shù)；f—第i個運動副具有的自由度數(shù)；k—局部自由度數(shù)。

該機構(gòu)中的虎克鉸限制了機構(gòu)的移動和一個方向轉(zhuǎn)動的自由度，所以機構(gòu)具有繞二個坐標軸轉(zhuǎn)動的自由度。

3.4 機構(gòu)建模與位置反解

位置反解是指已知動平臺繞靜平臺坐標軸的轉(zhuǎn)動角度，反求機構(gòu)中各驅(qū)動副的驅(qū)動量，在本機構(gòu)中即為求解移動副將各支鏈中間球鉸中心驅(qū)動到的坐標位置。

當負荷功率分別為2 MVA、4 MVA、6 MVA，功率因數(shù)為0.85，XC=0時，串補裝置處節(jié)點電壓分別為9.57 kV、8.89 kV、8.19 kV，若加入補償度k=2.25的補償電容時，補償點電壓分別提升1.272 kV、1.591 kV、1.668 kV。結(jié)果如圖4所示：容量與電流的平方成正比，而串聯(lián)電容器補償?shù)碾妷号c線路電流成正比。因此，當線路容量增大時，電流增大，補償?shù)碾妷阂搽S之增大。這就是串補的負荷自適應特性，也是其他無功補償均不具備的特性。

采用繞固定軸X-Y-Z（α，β，γ）旋轉(zhuǎn)的方式表示動平臺的姿態(tài)[8]。按照圖2建立的坐標系，機構(gòu)動平臺相對于靜平臺的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

式中：cα=cosα；sα=sinα；A—靜坐標系；B—動坐標系。

根據(jù)齊次變換公式A可以將點 a，b，D，E 在靜坐標系中的坐標表示出來，由2條支鏈PSS中兩個球副S之間的距離相等且長度固定為L0，根據(jù)兩點間距離公式得到方程組。

方程組中有二個未知數(shù)分別是點D，E在靜坐標系中沿Z方向的坐標，也是螺旋驅(qū)動需要將球鉸中心驅(qū)動到的位置。此方程組為二元二次線性方程，求得方程組中二個未知數(shù)解的表達式為：

由上式求得機構(gòu)的位置反解，共4組。根據(jù)機構(gòu)的特點和球面副轉(zhuǎn)動角度的限制，可以得到確定的解。

4 機構(gòu)輸入輸出關(guān)系的運動仿真

為考察機構(gòu)運動特征，本節(jié)對機構(gòu)的輸入輸出關(guān)系進行MATLAB仿真。該機構(gòu)中的約束鏈是虎克鉸，限制了機構(gòu)繞Z軸的轉(zhuǎn)動，所以在仿真過程中動平臺繞Z軸的轉(zhuǎn)動角度為0。按照圖2建立的坐標系，設α是動平臺繞X軸的轉(zhuǎn)動角度，β是動平臺繞Y軸的轉(zhuǎn)動角度。y1，y2分別為球面副D，E幾何中心的Z坐標。轉(zhuǎn)動角度α，β為機構(gòu)輸出，y1，y2為機構(gòu)輸入，各輸入輸出關(guān)系仿真結(jié)果，如圖3所示。其中l(wèi)0=215mm；L0=40mm；h=20mm。

圖3 機構(gòu)輸入輸出關(guān)系仿真Fig.3 Simulation Analysis of Relation Between the Structure Input and Output

通過以上仿真獲得機構(gòu)輸入與輸出的關(guān)系，為機構(gòu)的安裝調(diào)節(jié)提供依據(jù)。由圖看出機構(gòu)在調(diào)節(jié)時，移動副的驅(qū)動量與動平臺的轉(zhuǎn)動角度是近似線性的，而且當α角度固定時，β角度的調(diào)整幾乎只與其中一條支鏈有關(guān)，說明該機構(gòu)在小角度調(diào)節(jié)時是近似解耦并且調(diào)節(jié)過程是穩(wěn)定漸變的。根據(jù)仿真出的機構(gòu)特征，對機構(gòu)近似解耦調(diào)節(jié)的布置方式進行設計，按照鏡筒水平放置下進行分析，如圖4所示。此時支撐調(diào)節(jié)系統(tǒng)側(cè)向安裝，讓靜平臺上移動副B和定平臺中心點P呈水平布置，則定坐標系的Y軸在水平面上，Z軸指向支撐架的曲率中心。鏡片固連在機構(gòu)動平臺上，推動移動副B，動平臺繞虎克鉸定軸X和虎克鉸動軸旋轉(zhuǎn)，鏡片焦點在水平和豎直方向移動。推動移動副A，動平臺繞虎克鉸的動軸旋轉(zhuǎn)，另外支鏈bEB中桿bE會繞球副E擺動，導致動平臺繞虎克鉸定軸轉(zhuǎn)動。虎克鉸的動軸平行于動坐標系的y軸，其在動平臺的角度調(diào)節(jié)范圍以內(nèi)基本水平，動平臺繞虎克鉸動軸轉(zhuǎn)動，焦點水平方向的移動距離最多為：

圖4 支撐調(diào)節(jié)機構(gòu)安裝Fig.4 Installation of the Support Adjustment Segment

而在動平臺的角度變化范圍±2°內(nèi)，因桿bE的擺動使鏡片焦點水平移動的距離最多為：

兩者之和為0.78mm，小于鏡片焦點的位置調(diào)節(jié)精度，可以認為推動移動副A，焦點只有豎直位置發(fā)生改變。這種機構(gòu)布置方式使得鏡片焦點豎直位置的調(diào)節(jié)只對應機構(gòu)的一個驅(qū)動，能夠使鏡片焦點的調(diào)節(jié)過程近似解耦。

5 鏡片安裝與共焦實驗

5.1 鏡片安裝調(diào)節(jié)

鏡筒水平放置情況下對鏡片及支撐機構(gòu)進行安裝調(diào)節(jié)，鏡片固連在機構(gòu)動平臺上，支撐架作為支撐調(diào)節(jié)機構(gòu)靜平臺，接收光的裝置是由多個光電倍增管（PMT）組成的矩形陣列，各鏡片的焦點需要到達對應的光電倍增管（PMT）上。根據(jù)鏡片焦點需要到達的目標位置計算出各鏡片調(diào)節(jié)后需要的位姿，由以上仿真出的位姿與驅(qū)動之間的關(guān)系，求得所需位姿對應的鏡片安裝后驅(qū)動副的驅(qū)動量。按照計算出的驅(qū)動量和上節(jié)介紹的解耦調(diào)節(jié)布置方式安裝機構(gòu)后，由于建模和運動副間隙以及機械元件誤差等原因，鏡片焦點一般并沒有在指定的位置，此時需要支撐機構(gòu)對其進行調(diào)節(jié)。鏡筒水平放置，調(diào)節(jié)過程中，首先推動移動副B，使得焦點位置與焦點目標位置豎直對齊，然后推動移動副A，調(diào)節(jié)焦點豎直位置，使得焦點位置與焦點目標位置重合。依次將所有鏡片進行安裝調(diào)節(jié)，直至所有鏡片安裝完畢。

5.2 共焦裝調(diào)實驗

為了驗證該支撐調(diào)節(jié)機構(gòu)的可行性，進行鏡片共焦實驗。實驗沒必要將所有鏡片進行安裝，如果能夠成功安裝三面鏡片，并且通過調(diào)節(jié)機構(gòu)使各鏡面焦點聚焦到一點，就足夠說明該支撐調(diào)節(jié)機構(gòu)是可行的[9]。實驗通過鏡片聚焦作用形成光斑，調(diào)節(jié)支撐機構(gòu)使光斑移動，觀察光斑重合程度驗證各鏡片焦點是否聚焦到一點，要求光斑重合后的直徑不大于20mm。實驗步驟如下：（1）將光源射出的光束射到紙板上，紙板將光進行漫反射，漫反射的一部分平行光照在鏡片上，通過鏡片的聚焦作用形成光斑。（2）把接收板放到鏡片焦點附近，使光斑映射到接收板上。（3）按照上節(jié)敘述的調(diào)節(jié)方式進行調(diào)節(jié)，將光斑調(diào)到目標位置。

實驗中三面鏡片的支撐機構(gòu)都按照動平臺繞X軸和Y軸各轉(zhuǎn)動2°計算出的結(jié)果進行安裝。第一、二面鏡子安裝后光斑聚焦到刻度板上，如圖5（a）所示。將第一面鏡子光斑設為目標位置。調(diào)節(jié)第二面鏡子的支撐機構(gòu)，推動移動副B，使得光斑位置與目標位置豎直對齊，如圖5（b）所示。再推動移動副A，使兩光斑重合，如圖5（c）所示。同樣方法調(diào)節(jié)支撐機構(gòu)使得第三面鏡子的光斑與第一、二面鏡子的光斑重合，調(diào)節(jié)過程，如圖6所示。

圖5 第一、二面鏡子光斑位置Fig.5 The Light Spot Position of the First and the Second Mirror

圖6 第三面鏡子光斑位置Fig.6 The Light Spot Position of the Third Mirror

5.3 共焦裝調(diào)實驗結(jié)果分析

根據(jù)建模計算出來的輸入數(shù)據(jù)進行安裝，各鏡片之間沒有發(fā)生干涉，并且安裝后光斑位置在目標位置附近。手動調(diào)節(jié)后光斑位置能夠到達目標位置，調(diào)節(jié)過程近似解耦，調(diào)節(jié)一面鏡片所需要的時間大約為兩分鐘。使用該支撐調(diào)節(jié)機構(gòu)進行調(diào)節(jié)，光斑重合直徑大約是5mm，小于20mm。實驗說明此機構(gòu)調(diào)節(jié)簡單方便，精度較高，滿足實驗要求。

6 結(jié)論

針對廣角切倫科夫望遠鏡的鏡片支撐調(diào)節(jié)要求，分析設計了一種大剛度帶有冗余支鏈的拼接子鏡支撐調(diào)節(jié)系統(tǒng)和調(diào)節(jié)方法。對支撐機構(gòu)進行了位置反解和輸入輸出關(guān)系仿真，設計了一種通過合理布置機構(gòu)使調(diào)節(jié)過程近似解耦的方式。通過共焦實驗證明設計的支撐調(diào)節(jié)系統(tǒng)具有可行性，調(diào)節(jié)過程簡單方便，精度較高，滿足實驗對拼接主鏡的技術(shù)要求。該支撐調(diào)節(jié)系統(tǒng)造價較低，節(jié)省了項目成本，推動了LHAASO項目的進展，對以后的拼接鏡支撐調(diào)節(jié)系統(tǒng)具有重要的參考價值。