陳曉光，李超鋒，焦勝海，董 為

（1.北京航天長征飛行器研究所，北京 100076；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機器人技術(shù)與系統(tǒng)國家重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150080）

1 引言

根據(jù)并聯(lián)機構(gòu)的位姿特點[1]，工作空間被分為位置工作空間、姿態(tài)工作空間、可達工作空間、靈活工作空間等。其中位置工作空間指在給定姿態(tài)情況下能夠到達點的集合。

并聯(lián)機構(gòu)的工作空間求解比串聯(lián)機構(gòu)復(fù)雜，其求解方式有解析法和數(shù)值法，解析法的求解依賴位置解的研究。數(shù)值法則利用運動學(xué)逆解和結(jié)構(gòu)約束進行搜索。在國內(nèi)，文獻[2]針對日本豐田公司的HexM 并聯(lián)機床，以奇異位形等為限制條件，提出了一種計算工作空間的解析方法。文獻[3]對3-TPT 并聯(lián)機床利用虛擬樣進行工作空間搜索。文獻[4]考慮了虎克鉸運動范圍以及其對6-HTRT 并聯(lián)機構(gòu)工作空間的影響。在國外，文獻[5]針對Stewart 平臺，以支鏈長度和運動副擺角為約束，進行了工作空間搜索。文獻[6]提出一種利用改進歐拉角表示并聯(lián)機構(gòu)姿態(tài)的離散搜索方法。文獻[7]針對Stewart 平臺，結(jié)合驅(qū)動元件長度、被動關(guān)節(jié)運動范圍、支鏈干涉對工作空間進行了搜索。文獻[8]利用關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角限制、奇異點限制等因素搜索工作空間。

工作空間的求解，常將虎克鉸近似為球鉸。實際上，虎克鉸運動范圍比其等效球鉸大，但安裝后，受安裝方式影響，部分工作空間未被計算。文獻[9]提出利用虎克鉸兩個運動副同時可達擺角最大值作為約束虎克鉸運動范圍的準則。

2 研究對象介紹

2.1 研究對象及其坐標定義

研究的Hexaglide 并聯(lián)機構(gòu)用于模擬?；愤\輸車輛在各種工況下的位姿和速度，如圖1 所示。由6 條長度固定的支鏈支承動平臺，電機驅(qū)動絲杠帶動滑塊沿導(dǎo)軌運動。

圖1 Hexaglide 并聯(lián)運動模擬器Fig.1 The Hexaglide Parallel Mechanism

每條支鏈由與動平臺連接的上虎克鉸、與滑塊連接的下虎克鉸以及連桿組成，在下虎克鉸一端有與連桿同軸的旋轉(zhuǎn)副，上、下虎克鉸尺寸相同。為進行逆運動學(xué)求解，建立的坐標系[10]，如圖2 所示。固定坐標系的XY 平面定義在與滑塊連接虎克鉸十字軸中心所構(gòu)成的平面，X 軸垂直于導(dǎo)軌，Y 軸沿導(dǎo)軌。零位時動平臺與定平臺平行，動平臺坐標系原點在與動平臺連接虎克鉸十字軸中心所構(gòu)成六邊形的中心。

圖2 Hexaglide 并聯(lián)機構(gòu)運動及固定坐標系定義Fig.2 Definition of Motion and Fixed Coordinate System

2.2 Hexaglide 并聯(lián)機構(gòu)逆運動學(xué)求解

選用繞固定坐標系的RPY 角描述動平臺的運動[10]，為簡化逆運動學(xué)求解，將支鏈的兩端等效為兩個中心分別位于支鏈虎克鉸十字軸中心的球鉸。與動平臺相連的球鉸Ai在全局坐標系下的位置可以用如下齊次變換矩陣表示：

與滑塊相連的球鉸Bi的位置可以表示為：

支鏈長度固定，滑塊的位移通過求解式（5）的六個方程：

求得各滑塊位移如下：

3 虎克鉸對工作空間影響分析

虎克鉸是否干涉是并聯(lián)機構(gòu)工作空間重要的約束，也是這里的創(chuàng)新點之一。因虎克鉸的干涉與安裝方式和位姿相關(guān)，以下首先對干涉形式進行分類，再對其自由狀態(tài)下的運動范圍進行分析，最后求解虎克鉸裝入并聯(lián)機構(gòu)后的擺角。

3.1 虎克鉸運動描述

為描述虎克鉸的運動，固定虎克鉸的一個分支，建立坐標系，如圖3 所示。在下方的虎克鉸建立固定坐標系O-xyz，在上方虎克鉸建立運動坐標系O-x′y′z′。兩個坐標系的x 軸重合，均沿著與固定分支連接旋轉(zhuǎn)副的軸線。運動分支坐標系的z′沿著支鏈的方向，固定坐標系的z軸從十字軸中心指向固定部分連接法蘭的中心。兩個坐標系原點相互重合，位于虎克鉸十字軸中心。

圖3 描述虎克鉸運動所建立的坐標系Fig.3 Coordinate System for Describing Hooke Joints’Motion

在圖3 所示的坐標系中，虎克鉸的運動可以描述如下：

首先繞固定坐標系x 軸轉(zhuǎn)動α，再繞新位置坐標系的y′軸轉(zhuǎn)動β。利用坐標變換在同一個坐標中描述兩個分支曲線方程。坐標轉(zhuǎn)換矩陣如下：

3.2 虎克鉸干涉情況分析

利用3.1 節(jié)描述的虎克鉸運動，在不同的α、β 轉(zhuǎn)角情況下，所研究虎克鉸的干涉情況，如圖4～圖6 所示。假設(shè)上部帶有法蘭的分支是固定的，與之相配合的另一部分是運動的。發(fā)生干涉的情況分別是：運動虎克鉸分支的側(cè)棱面與固定分支連接法蘭干涉、運動虎克鉸分支的外棱線與固定分支的圓弧過渡段干涉以及虎克鉸兩分支的內(nèi)棱發(fā)生干涉。

圖4 運動分支外棱線與固定分支連接法蘭干涉Fig.4 Interference Between the Outer Ridge of the Moving Branch and the Fixed Branch Connecting Flange

圖5 運動分支外棱線與固定分支圓弧過渡處干涉Fig.5 Interference Between the Outer Line of a Moving Branch and the Circular Transition of a Fixed Branch

圖6 虎克鉸兩分支內(nèi)棱線干涉Fig.6 The Inner Edge Interference of the Two Branch

在三維軟件中拖動虎克鉸運動可以發(fā)現(xiàn)，隨α 角的增大，β角的極限值逐漸減小。據(jù)此以α 為自變量，以發(fā)生干涉時的β 的極限值為因變量，得到虎克鉸的運動范圍。

通過對圖4～圖6 進行分析，發(fā)生干涉的臨界條件是相互配合的虎克鉸兩個分支的某兩條空間曲線（通常是空間直線或者圓弧）相交。因此通過干涉時兩相交空間曲線方程聯(lián)立就可以計算干涉時兩分支擺角，最終能夠得到虎克鉸的運動范圍。涉及的各支鏈的上、下虎克鉸尺寸是相同的，且每個虎克鉸的兩部分尺寸也是相同的，因此虎克鉸的運動范圍具有高度的對稱的，只需考慮當(dāng)α 和β 均為正的情形，由對稱性即可得虎克鉸的運動范圍α-β 圖。

3.3 虎克鉸運動范圍求解

虎克鉸兩分支干涉的臨界狀態(tài)是兩條空間曲線相交。臨界干涉且當(dāng)虎克鉸兩擺角α、β 均為正時，虎克鉸兩分支的干涉部分，如圖7 所示。圖7 左側(cè)為虎克鉸的固定分支，臨界干涉狀態(tài)時相交的空間曲線是圓弧段AB 與直線段BC，右側(cè)為虎克鉸的運動分支，臨界干涉狀態(tài)時相交的空間曲線是內(nèi)棱側(cè)線段DE 和外棱側(cè)線段FG。當(dāng)虎克鉸的兩個分支繞十字軸旋轉(zhuǎn)不同角度α 與β 時，上述空間曲線的不同部分相交。計算過程中涉及到的虎克鉸分支的尺寸，如圖8 所示。

圖7 擺角均為正時固定虎克鉸分支干涉棱線Fig.7 Interference Lines of Fixed & Moving Hooke Joint when the Revolution Angle is Positive

圖8 虎克鉸運動范圍計算所需尺寸Fig.8 The Required Size for Calculating the Motion Range of Hooke Joints

固定分支的過渡圓弧與內(nèi)棱直線方程可以表示如下：

式中：x、y、z—圖4 建立的固定坐標系的坐標值；w—虎克鉸某一分支兩內(nèi)棱間距，即為虎克鉸寬度；θ—圓弧參數(shù)方程的極角，范圍為［0，π/2］。

為求得空間兩曲線交點，需要在同一坐標系下聯(lián)立兩個分支相交曲線的方程。運動虎克鉸分支的干涉段為兩直線，以運動分支內(nèi)棱在固定坐標系下的方程為例，在運動分支內(nèi)棱取兩點X1、X2。經(jīng)坐標變換成為固定分支坐標系中的點（α，β）=RX2。利用空間解析幾何知識，運動分支內(nèi)棱在固定分支坐標系的方程為：

虎克鉸運動分支外棱在固定坐標系的方程求法類似。

聯(lián)立干涉臨界狀態(tài)時相交的空間曲線方程，即可得到如圖3所示坐標系中轉(zhuǎn)角α 和轉(zhuǎn)角β，即虎克鉸擺角狀態(tài)。需計算的分界點及極限點有：（1） 圖 4 的情況為分界點 1 對應(yīng)擺角 α1；（2）圖4 與圖 5 的分界點為分界點 2，對應(yīng)擺角 α2；（3）圖 5 與圖 6 的分界點為分界點3，對應(yīng)擺角α3；（4）α4為結(jié)構(gòu)對稱導(dǎo)致的對稱分界點。在固定虎克鉸某一分支時兩旋轉(zhuǎn)副的約束關(guān)系，如圖9 所示。該圖有高度對稱性，是由于虎克鉸分支尺寸相同導(dǎo)致的。

圖9 虎克鉸運動范圍圖Fig.9 Motion Range Map of Hooke Joints

3.4 任意位姿下虎克鉸轉(zhuǎn)角計算

在3.3 節(jié)建立了虎克鉸分支轉(zhuǎn)角的約束關(guān)系。Hexaglide 并聯(lián)機構(gòu)每條支鏈的兩個虎克鉸分別與動平臺和滑塊連接，只有求解出某一位姿下12 個虎克鉸的擺角，才能利用圖9 判別該位姿是否發(fā)生干涉。典型虎克鉸擺角狀態(tài)，如圖1 所示。

動平臺處于某一位姿時，12 個虎克鉸擺角的計算，是通過兩種不同的途徑計算同一支鏈與滑塊（或動平臺）固連的另一端虎克鉸中心點坐標，并聯(lián)立這兩種計算途徑方程實現(xiàn)。以與動平臺連接的虎克鉸擺角為例，兩種途徑是：

在圖3 中的坐標系Σo-xyz，經(jīng)坐標變換：

判別虎克鉸擺角是否在運動范圍的判斷子程序流程，如圖10 所示。Jointflag=1 表示虎克鉸不干涉，Jointflag=0 時干涉。

圖10 虎克鉸干涉情況判斷子程序框圖Fig.10 Block Diagram of the Subprogram of Hooke Joints Interference

4 限制并聯(lián)機構(gòu)工作空間的其他因素

對所研究的Hexaglide 并聯(lián)機構(gòu)，選用了零姿態(tài)下的位置工作空間進行可視化的搜索：指定并聯(lián)機構(gòu)的3 個姿態(tài)，在一定的位置空間內(nèi)利用逆解以及結(jié)構(gòu)約束進行搜索。若某一點在工作空間內(nèi)，那么它一定滿足逆解、結(jié)構(gòu)參數(shù)等約束。

除虎克鉸的運動范圍約束外，搜索Hexaglide 的工作空間還需要以下限制條件：

4.1 導(dǎo)軌長度的限制

Hexaglide 并聯(lián)機構(gòu)的滑塊沿著導(dǎo)軌運動，搜索空間不能超出導(dǎo)軌的長度范圍。在滿足功能需求的前提下，為縮小搜索范圍，僅對導(dǎo)軌中間區(qū)域搜索，導(dǎo)軌兩端的區(qū)域不搜索。

4.2 相鄰桿件的干涉限制

相鄰兩支鏈連桿不干涉，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)描述上為兩條異面直線間距大于連桿直徑。對Hexaglide 并聯(lián)機構(gòu)而言，發(fā)生干涉的只能是相鄰支鏈的連桿。異面直線距離的公式為：

式中：d（l1，l2）—兩連桿異面軸線間距—連桿 1 的方向向量—連桿 2 的方向向量—兩支鏈連桿上兩點連線的方向向量。

4.3 同支鏈上下虎克鉸中心相對位置限制

文獻[11]中，提出了動平臺虎克鉸十字軸中心在同一支鏈滑塊虎克鉸十字軸中心內(nèi)側(cè)的限制，以避免奇異位姿。

5 零姿態(tài)工作空間計算及驗證

5.1 零姿態(tài)工作空間計算

綜合前文中建立的約束，結(jié)合運動學(xué)逆解，在零姿態(tài)情況下對位置工作空間進行了極坐標形式的搜索。得到的零姿態(tài)位置工作空間，如圖11 所示。

圖11 雙端虎克鉸Hexaglide 并聯(lián)機構(gòu)零姿態(tài)工作空間Fig.11 Zero Orientation Workspace of the Hexaglide Parallel Mechanism with Hooke Joints

與基于虎克鉸的工作空間對比，搜索了基于球鉸的工作空間：將每條支鏈的虎克鉸換為球鉸，球鉸的運動范圍視虎克鉸運動范圍圖的最大內(nèi)切圓，如圖9 所示。得到的基于球鉸的零姿態(tài)工作空間，如圖12 所示。二者的截面對比，如圖13 所示。

圖12 雙球鉸Hexaglide 并聯(lián)機構(gòu)零姿態(tài)工作空間Fig.12 Zero Orientation Workspace of the Hexaglide Parallel Mechanism with Spherical Joints

圖13 不同運動副對應(yīng)的工作空間截面對比Fig.13 Workspace Comparison Between Different Joints

5.2 基于虎克鉸與基于球鉸零姿態(tài)工作空間驗證

通過圖13 的對比，基于球鉸的工作空間比基于虎克鉸的工作空間大，似乎與單個虎克鉸的運動范圍比球鉸的大相矛盾。這是因為，安裝在并聯(lián)機構(gòu)上的虎克鉸的運動范圍除與自身尺寸相關(guān)外，還與安裝角度有關(guān)。點［-200，0，+200］在差集中，在三維軟件中施加約束，觀察干涉情況，證明該點的確在工作空間外。發(fā)生了虎克鉸干涉，如圖14 所示。

圖14 基于虎克鉸運動范圍的工作空間三維模型驗證Fig.14 Three Dimensional Model Validation of Workspace Based on Hooke Joints’Motion Range

第4 支鏈動虎克鉸擺角干涉，如圖15 所示。在運動范圍外。

圖15 圖14 所示位姿下第4 支鏈虎克鉸擺角位置Fig.15 Hooke Joints Position of the Fourth Chain Under the Pose Shown in Figure 14

6 結(jié)論

建立虎克鉸運動范圍模型，利用虎克鉸兩個旋轉(zhuǎn)副的轉(zhuǎn)角描述虎克鉸運動范圍，同時提出了任意位姿下虎克鉸兩旋轉(zhuǎn)副的轉(zhuǎn)角求解方法。為虎克鉸是否干涉提供判據(jù)。

利用運動學(xué)逆解，結(jié)合虎克鉸運動范圍、導(dǎo)軌長度限制、相鄰支鏈干涉約束和同支鏈虎克鉸中心相對位置限制，對Hexaglide 并聯(lián)機構(gòu)的零姿態(tài)工作空間進行搜索，得到了精確的零姿態(tài)工作空間。通過與基于球鉸計算得到的結(jié)果對比，驗證了虎克鉸安裝方式影響工作空間的結(jié)論。

受限于計算資源，僅對零姿態(tài)下的位置工作空間進行了搜索。實際上，固定任意3 個自由度，都能得到其他3 個自由度的工作空間。相關(guān)研究成果對雙端虎克鉸并聯(lián)機構(gòu)工作空間的精確搜索有著較好的指導(dǎo)意義。

出于滿足功能需求考慮，僅對導(dǎo)軌中間的工作空間進行了搜索，導(dǎo)軌邊界附近的工作空間有待進一步研究。