范學(xué)

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?中職數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，讓他們會(huì)用數(shù)學(xué)思想，對(duì)他們的思維能力進(jìn)行有效的訓(xùn)練，這就要求中職數(shù)學(xué)教師在概念教學(xué)過(guò)程中將數(shù)學(xué)思想貫徹進(jìn)去。如何在中職數(shù)學(xué)課堂中深入淺出地進(jìn)行概念教學(xué)，以一節(jié)雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的概念課介紹了教學(xué)“四步曲”，即：概念引入—概念概括—概念分析—概念運(yùn)用。

[關(guān) ? ?鍵 ? 詞] ?中職數(shù)學(xué);雙曲線;概念引入;概念概括;概念分析;概念運(yùn)用

[中圖分類號(hào)] ?G712 ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] ?A ? ? ? ? ? ?[文章編號(hào)] ?2096-0603（2019）15-0060-02

作為一名在中職教學(xué)的數(shù)學(xué)教師，筆者一直在思考，我們中職數(shù)學(xué)應(yīng)該給學(xué)生留下些什么？筆者認(rèn)為我們留給學(xué)生的應(yīng)該不單只是公式演算和概念的記憶，更應(yīng)留下數(shù)學(xué)的思想及對(duì)思維能力的訓(xùn)練。因此中職數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)重視概念教學(xué)，對(duì)概念教學(xué)應(yīng)遵循四步走：1.引入概念，即這個(gè)數(shù)學(xué)概念是什么;2.概括概念，即這個(gè)數(shù)學(xué)概念怎么表述;3.分析概念，即這個(gè)數(shù)學(xué)概念是怎么來(lái)的;4.運(yùn)用概念，即這個(gè)數(shù)學(xué)概念有什么用。那么如何在教學(xué)過(guò)程中走好這四步，使概念教學(xué)行之有效呢？

筆者就以中等職業(yè)教育課程改革國(guó)家規(guī)劃新教材中的一節(jié)內(nèi)容雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程拋磚引玉，探討作為數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中是如何把握概念教學(xué)中的四步曲的。

一、概念的引入

在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)的過(guò)程中，既要考慮學(xué)生的實(shí)際數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，又要了解這一階段學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)教學(xué)的直觀性原則、形象性原則以及實(shí)用性原則。讓學(xué)生感受到之前概念所涵蓋的知識(shí)有限，需要學(xué)習(xí)新的概念得以進(jìn)一步掌握新的知識(shí)，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的積極性和主動(dòng)性。

在這之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，對(duì)曲線圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的求解已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí)，學(xué)生對(duì)“平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)（定長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)間距離）點(diǎn)的軌跡”已經(jīng)有了充分的認(rèn)識(shí)。在此基礎(chǔ)上，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生思考“平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之差等于定長(zhǎng)點(diǎn)的軌跡”又是什么呢？通過(guò)學(xué)生與學(xué)生一起協(xié)作實(shí)驗(yàn)。這一實(shí)驗(yàn)就是為了帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的活動(dòng)操作階段。教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“活動(dòng)”的形式來(lái)感受所要學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，引出數(shù)學(xué)的新概念，讓學(xué)生去比較前后所學(xué)概念間的關(guān)系，再通過(guò)實(shí)際的例子對(duì)概念進(jìn)行更加科學(xué)的組織整理、歸納總結(jié)、激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建新概念。

二、概念的概括

概念的概括就是我們通常所說(shuō)的概念的定義。通過(guò)一個(gè)或幾個(gè)已學(xué)的概念去確定另一個(gè)概念的邏輯方法。在教學(xué)中教師應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生主體的能動(dòng)性，構(gòu)建出一個(gè)可以讓學(xué)生“去發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造”的思維過(guò)程。而抽象過(guò)程由教師代替學(xué)生體驗(yàn)會(huì)使得只能有一少部分學(xué)生進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)，其學(xué)習(xí)活動(dòng)也往往是不連貫的，使得建構(gòu)的概念缺乏完整性。

因此在進(jìn)行雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的概念課過(guò)程中，通過(guò)讓學(xué)生動(dòng)手體驗(yàn)活動(dòng)，利用同桌之間的配合由一根拉鏈和兩個(gè)定點(diǎn)，描繪出了一個(gè)全新的圖形，即雙曲線。這個(gè)教學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，教師秉持了發(fā)現(xiàn)法的教學(xué)原則。學(xué)生通過(guò)對(duì)所經(jīng)歷的教學(xué)活動(dòng)進(jìn)行思考，將活動(dòng)轉(zhuǎn)化為思維，將活動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言的描述和反思，構(gòu)建出數(shù)學(xué)概念的性質(zhì)，即概括出數(shù)學(xué)的一般定義。

教師問(wèn)：比較之前關(guān)于橢圓的概念，你們是否可以運(yùn)用自己的數(shù)學(xué)語(yǔ)言清晰準(zhǔn)確地概括出雙曲線的定義呢？

學(xué)生答：雙曲線就是平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)（定長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)間距離）點(diǎn)的軌跡。

三、概念的分析

在數(shù)學(xué)的概念概括中已經(jīng)認(rèn)識(shí)到了定義的本質(zhì)，并用數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)其形象化，成為一個(gè)具體的對(duì)象，把這一具體的對(duì)象通過(guò)后面的學(xué)習(xí)進(jìn)行新的運(yùn)用。當(dāng)概念以定義的狀態(tài)呈現(xiàn)出來(lái)后，有利于學(xué)生進(jìn)行整體的把握，為后面的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。因此，在日常的教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，要引導(dǎo)學(xué)生分析和解剖所學(xué)的數(shù)學(xué)概念，特別是對(duì)其中有關(guān)表達(dá)形式中的語(yǔ)言和符號(hào)，特別需要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)的準(zhǔn)確性和內(nèi)涵，更要通過(guò)實(shí)例多角度、全方位向?qū)W生分析和展示數(shù)學(xué)新概念所適用的條件和范圍。

教師：求曲線方程的過(guò)程，可根據(jù)求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的步驟，求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。那么我們可以用什么方法呢？

學(xué)生：設(shè)點(diǎn)，列方程。

教師：對(duì)，橢圓的時(shí)候我們是怎么做的呢？

學(xué)生：建系-設(shè)點(diǎn)-列式-化簡(jiǎn)-檢驗(yàn)。

教師：很好?；仡櫱笄€方程“五步法”（建系-設(shè)點(diǎn)-列式-化簡(jiǎn)-檢驗(yàn)）。

用類比的方式，引導(dǎo)學(xué)生求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，盡量發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，活躍課堂氣氛。

教師：取過(guò)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，設(shè)P（x，y）為雙曲線上的任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是2c（c>0），

則F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），又設(shè)M與F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）距離之差的絕對(duì)值等于2a（常數(shù)），2a<2c.∴P={P||PF1|-|PF2|=±2a}，

又∵|PF1|=■，∴■-■=±2a

（化簡(jiǎn)過(guò)程由學(xué)生板演）

得：（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2），

由定義2a<2c ∴c2-a2>0

令∴c2-a2=b2代入，得：b2x2-a2y2=a2b2

邊同除a2b2

得：■-■=1（a>0，b>0），即為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

它所表示的雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)是F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），其中c2=a2+b2

教師：若坐標(biāo)系的選取不同，可得到雙曲線的不同的方程，

如焦點(diǎn)在軸上，則焦點(diǎn)是F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程又該怎樣求？

學(xué)生：用類比法：將x，y互換，得到■-■=1（a>0，b>0），此也是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

四、概念的運(yùn)用

概念的運(yùn)用即是對(duì)之前所學(xué)概念的融會(huì)貫通，不但是對(duì)知識(shí)的活學(xué)活用，更是對(duì)之后新知識(shí)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。而這一過(guò)程需要通過(guò)長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)和實(shí)踐來(lái)幫助學(xué)生完善起來(lái)，概念的運(yùn)用包括了掌握概念中的符號(hào)和語(yǔ)言、將概念由具體到抽象的過(guò)程、掌握概念中的特殊情況，通過(guò)學(xué)習(xí)將概念與定義、圖形、符號(hào)等一一聯(lián)系起來(lái)，并在思維中形成綜合嚴(yán)密的構(gòu)建過(guò)程。教師在教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)該特別強(qiáng)調(diào)概念之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)運(yùn)用概念而加深對(duì)所學(xué)新概念的理解和掌握，從而進(jìn)一步加深理解所學(xué)的數(shù)學(xué)概念，同時(shí)形成數(shù)學(xué)思維以及分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

那么，在雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程中概念的合理運(yùn)用，筆者是這樣處理的：

教師：例1.寫出以下雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)

（1）■-■=1 ?（2）■-■=1

學(xué)生：F=（±3，0） ? ? F=（0，±3）

教師：例2.已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且焦距為14，雙曲線上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于8，請(qǐng)寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

學(xué)生：解 由已知得2c=14，2a=8

即 ? ? c=7，a=4

所以 b2=c2-a2=33

由于雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

■-■=1

教師：例3.如果方程■-■=1表示雙曲線，求m的取值范圍

學(xué)生：解：（3-m）（m+1）>0

（m-3）（m+1）<0

-1

M的取值范圍為（-1，3）

教師：例4.一炮彈在某處爆炸，在A處聽到爆炸聲的時(shí)間比在B處晚2秒。

（1）爆炸點(diǎn)應(yīng)該在什么樣的曲線上？

（2）已知兩地相距800米，并且此時(shí)聲速為340米，求曲線的方程

學(xué)生：解：依據(jù)題意可求出雙曲線的方程

其中x>0

■-■=1

以上就是筆者在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)概念四步曲的把握，筆者認(rèn)為只有合理地貫徹了這四步曲，才能更有效、透徹地讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，才能使學(xué)生對(duì)抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念融會(huì)貫通。這些是個(gè)人在教學(xué)中的體會(huì)，希望在此拋磚引玉，與同行們一同切磋，共同提高數(shù)學(xué)教學(xué)的能力。

參考文獻(xiàn)：

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編輯 武生智