胡利耀，李小華

(遼寧科技大學 電子與信息工程學院,遼寧 鞍山 114051)

對于系統的穩(wěn)定控制，不少文獻研究了系統的李雅普諾夫漸近穩(wěn)定控制，但只關注系統的最終狀態(tài)是否趨于零，沒有考慮實際系統對動態(tài)性能的要求.然而，在一些實時性要求較高的系統，如倒立擺、導彈跟蹤及機械臂系統，需要更快的收斂速度及更好的暫態(tài)性能，此時漸近穩(wěn)定控制將難以滿足實際要求.有限時間控制[1]具有抗干擾能力強、動態(tài)響應快、暫態(tài)性能好的優(yōu)點，能解決上述問題，因而引起了研究人員的關注[2-4].

自從Bhat[5]給出有限時間控制的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理后，關于有限時間控制的研究成果[6-16]相繼產出.這些文獻把有限時間穩(wěn)定控制分為兩大類，一類為實際有限時間穩(wěn)定[6, 10-12]，它保證系統狀態(tài)在有限時間內收斂到某一個特定的界內.文獻[6，10]分別采用反步法、加冪積分技術設計了非線性系統的自適應實際有限時間控制器，保證了系統的所有狀態(tài)均收斂于一個特定的界內.文獻[11-12]分別將實際有限時間穩(wěn)定理論應用于航天器、導彈姿態(tài)控制系統.然而，由于實際有限時間穩(wěn)定只能保證系統的信號收斂于平衡點的一個鄰域，故仍存在一定的控制誤差.另一類為精確有限時間穩(wěn)定[7-9,13]，它能夠保證系統在有限時間內精確收斂于平衡點而不是平衡點的一個鄰域.文獻[14-15]針對Markov 跳變系統均給出了有限短時間穩(wěn)定的概念，文中所說的有限短時間穩(wěn)定實際上就是精確有限時間穩(wěn)定，此類有限時間穩(wěn)定控制具有更高的控制精度. 目前，對于精確有限時間穩(wěn)定控制的設計方法主要有：加冪積分技術[16-17]、齊次域法[18]、動態(tài)增益控制法[19]及其他方法[20-21].

值得注意的是，一些文獻對p規(guī)范型非線性系統進行了有關精確有限時間控制的研究[22-26]. 文獻[22]研究了有未知函數項的p規(guī)范型非線性系統有限時間控制問題，但是其未知項須滿足一個較為嚴格的假設條件，有一定局限性.文獻[23]研究了非線性系統自適應有限時間控制問題，僅考慮了系統的冪p為奇整數形式的情況，不具有普遍性.文獻[24-25]均考慮了p規(guī)范型非線性系統中p為奇整數之比形式的情況，但沒有考慮實際系統中可能存在的不確定參數，實用性較差.文獻[26]基于有限時間穩(wěn)定性定理，研究了一類帶有不確定參數的非線性系統的自適應有限時間控制問題，但所討論的系統實際上是p規(guī)范型非線性系統中p為1的特殊情況，缺乏普遍性.目前，基于有限時間Lyapunov穩(wěn)定性定理的、考慮不確定參數的、虛擬控制系數未知的且p為奇整數之比的p規(guī)范型非線性系統有限時間鎮(zhèn)定的相關研究未見報道，因此，筆者利用有限時間Lyapunov穩(wěn)定性定理，結合自適應技術和加冪積分技術，針對涵蓋一類工程對象的p規(guī)范型系統[1]設計系統的自適應有限時間控制器.

1 問題的描述及預備知識

1.1 問題的描述

考慮如下形式的p規(guī)范型非線性系統

(1)

其中：xi(i=1,2,…,n)，u分別是系統的狀態(tài)和控制輸入，且[x1,x2,…,xn]T=x∈Rn，u∈R；冪指數pi為奇整數之比且大于等于1；di(·)，fi(·)為連續(xù)可導的未知函數，且fi(t,0,0,…,0,σ1)=0，σ1≥1為不確定參數.該系統滿足如下假設.

假設1存在已知正常數ai,bi，使虛擬控制系數滿足

ai≤di(·)≤bi.

(2)

假設2存在已知的1階連續(xù)可導的非負函數φi(x1,x2,…,xi)，使未知函數

|fi(t,x1,x2,…,xi,σ1)|≤(|x1|+|x2|+…+|xi|)φi(·)σ1.

(3)

這里，將結合加冪積分技術和自適應技術對p規(guī)范型非線性系統設計一個自適應有限時間控制器，該控制器能夠使系統(1)的各個狀態(tài)在有限時間內收斂于平衡點，可通過系統參數來調節(jié)系統的停息時間，且對不同參數σ1，不用改變控制器，仍能使系統有限時間穩(wěn)定.

1.2 預備知識

(4)

則該系統有限時間收斂. 如果平衡點x=0不僅是Lyapunov穩(wěn)定，也是在原點的一個鄰域D?U的有限時間收斂，則稱x=0為局部有限時間穩(wěn)定.若D=U=Rn，則x=0為全局有限時間穩(wěn)定的平衡點.

定理1[17]對于定義1描述的自治系統.若存在一個定義在原點鄰域U?Rn上的連續(xù)可導函數V(x)，它滿足：(1)V(x)是正定的；(2)存在實數δ>0和

則該自治系統的原點為有限時間穩(wěn)定.停息時間Tx(x0)依賴于系統的初始狀態(tài)x(0)=x0，且滿足如下不等式

(5)

若U=Rn且V(x)是徑向無界的，則該系統的原點為全局有限時間穩(wěn)定.

引理1[24]對于任意實數xi(i=1,2,…,n)與r，其中0

(|x1|+|x2|+…+|xn|)r≤|x1|r+|x2|r+…+|xn|r.

(6)

(7)

引理2[26]對于任意實數x,y及正實數s，t，且γ(x,y)>0是一個實值函數，有

(8)

(9)

2 自適應有限時間控制器的設計

第1步 選取Lyapunov函數

(10)

由假設2可知

(11)

(12)

(13)

綜上所述，有

(14)

令

(15)

考慮假設1，選取虛擬控制量

(16)

其中：c為非負參數.令

(17)

(18)

將式(16)～(18)代入式(15)，整理可得

(19)

第2步 設

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

由引理1可知

(27)

由式(19)，(21),(22)可知

(28)

討論式(28)右側的第1項. 由式(20)、假設1、引理1及引理2，可知

(29)

其中：L1為一個正常數.

(30)

|f2(t,x1,x2,σ1)|≤(|x1|+|x2|)φ2(·)σ1≤

(31)

(32)

(33)

其中

(34)

(35)

類似式(31)，有

(36)

結合假設1，有

(37)

其中：

為1階連續(xù)可導的非負函數，

(38)

(39)

根據式(34)，(39)，可得

(40)

由引理2，可得

(41)

(42)

其中：λ21=λ22，且二者為適當常數.

(43)

其中：μ2,1(·)和μ2,2(·)為滿足式(43)的1階連續(xù)可導函數.

將式(29)， (32)及(43)代入式(28)并整理，得

(44)

令

(45)

(46)

則式(44)化簡為

(47)

(48)

由式(26),(27)，易得

(49)

(50)

將式(50)代入式(47)，并整理得

(51)

結合假設1，設計虛擬控制為

(52)

將式(24),(52)代入式(51)，整理可得

(53)

聯合第1，2步推導，有如下推論.

(54)

(55)

若取如下虛擬控制律

? ?

(56)

(57)

證明當i=1，2時，第1，2步證明過程已給出，現假定第i-1步仍成立，即

(58)

(59)

接下來在第i-1步成立的基礎上，推導第i步也成立.設

Vi=Vi-1+Wi，

(60)

(61)

易得

(62)

(63)

(64)

(65)

類似式(27)的證明，有

(66)

由Vi=Vi-1+Wi，易得

(67)

將式(59)，(63)代入式(67)，則式(67)轉化為

(68)

(69)

其中：Li-1是一個正常數.

(70)

其中：l=2,3,…，i.

由假設2，可得

(71)

(72)

利用引理2及式(72)，易得

(73)

(74)

所以

(75)

(76)

由式(56)，(72)及假設1，有

(77)

(78)

當i=2時，由式(38)知式(78)成立.假定當k=1,2,…,i-2時均滿足如下不等式

(79)

現利用式(79)證明式(78)成立.由式(56)，(79)，可知

(80)

接下來證明當k=i-1時仍然成立.由式(56)及引理1，可知

(81)

由式(79)～(81)可知，式(78)成立.

(82)

其中：

是1階連續(xù)可導非負函數.

(83)

(84)

將式(69)，(75)，(84)代入式(68)，整理可得

(85)

令

(86)

(87)

將二者代入式(85)，整理得

(88)

(89)

(90)

(91)

將式(91)代入式(88)，得

(92)

令

(93)

將式(93)代入式(92)，由假設1，可得

(94)

至此，推論1證明完畢.

由推論1，當i=n時，取

(95)

有下式成立

(96)

故取

(97)

時，則有

(98)

至此，控制器設計完畢.

定理2對于系統(1)，若滿足假設1～2， 則在控制律(16)，(52)，(93)，(95)及自適應律(97)作用下，閉環(huán)系統有限時間穩(wěn)定，系統的各個狀態(tài)在有限時間內收斂于原點.

(99)

(100)

(101)

(102)

(103)

由式(98)，可得

Vn(ξ1(0),ξ2(0),…,ξn(0))≥Vn(ξ1(0),ξ2(0),…,ξn(0))-Vn(ξ1(T1),ξ2(T1),…,ξn(T1))=

(104)

由式(103)及引理1，可得

(105)

由式(104),(105)，可得

(106)

(107)

(108)

因此，系統狀態(tài)可在有限時間TB內收斂于原點. 有關TB的不等式如下

(109)

至此，定理2證明完畢. 由TA與TB可知，系統狀態(tài)的收斂時間與參數c有關，則可通過調整參數c來調整系統的停息時間.

3 數值仿真

基于文獻[24]中的p規(guī)范型非線性系統，筆者在其中增加一個不確定參數σ1，系統模型為

(110)

選取初始狀態(tài)為：

根據定理2，由式(52)，(97)可得到有限時間控制律及自適應律.選擇參數c分別為0.1，2.6，5.1，取不確定參數σ1=1.1.圖1～3分別給出了σ1=1.1時系統的狀態(tài)x1，x2與自適應估計值的仿真曲線.

圖1 σ1=1.1時的系統狀態(tài)x1 圖2 σ1=1.1時的系統狀態(tài)x2 圖3 σ1=1.1時的系統自適應估計值

為了驗證控制器對不確定參數的適應性，在不改變自適應有限時間控制律及自適應律條件下，選取σ1=1.3，仿真結果如圖4～6所示.

圖4 σ1=1.3時的系統狀態(tài)x1 圖5 σ1=1.3時的系統狀態(tài)x2 圖6 σ1=1.3時的系統自適應估計值

從圖4～6可以看出，不確定參數σ1取其他不同值時系統的狀態(tài)也穩(wěn)定，表明該文控制器對不確定參數具有適應性.改變參數c，收斂速度明顯改變. 參數c增大，系統狀態(tài)的收斂時間縮短，表明該方法的停息時間具有可調性.

圖7 初始狀態(tài)改變后的狀態(tài)x1 圖8 初始狀態(tài)改變后的狀態(tài)x2 圖9 初始狀態(tài)改變后的自適應估計值

從圖7～9可以看出, 該文設計的控制器初始狀態(tài)改變后也有較好的控制性能，故控制器對不同初始狀態(tài)有很好的適應性.

從文獻[24]的系統仿真圖中，容易看出在系統不存在未知參數的情況下，其系統狀態(tài)x1，x2分別在1，2 s趨于穩(wěn)定.然而，從圖1，2可知，當c=5.1時，該文設計的控制器在系統存在未知參數的情況下，系統狀態(tài)x1，x2分別在0.7，1 s趨于穩(wěn)定. 因此，該文方案可以得到更快收斂速度，且對系統中的不確定參數有適應性.特別地，該方案的停息時間是可調的，而文獻[24]的不可調.綜上所述， 相比文獻[24]，該文方案更具應用價值.

4 結束語

筆者研究了一類冪p為奇整數之比、帶有不確定參數且系統虛擬控制系數未知的p規(guī)范型非線性系統的自適應有限時間控制問題. 采用加冪積分技術和自適應技術，設計了一個自適應有限時間控制器，使該系統在參數未知的情況下能保證各個狀態(tài)在有限時間內收斂于原點，實用性更強. 但是，設計過程較繁瑣，對系統函數所做的假設條件使控制器的保守性較強，對未知參數的估計誤差只做到了有界，這些對系統的控制會產生不利的影響.因此，簡化設計過程、降低估計參數的誤差以及降低設計的保守性是此類控制問題下一步的研究方向.