張四保

(喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,新疆 喀什 844008)

論文將討論方程

φ3(n)=2ω(n)

(1)

與方程

φ4(n)=2ω(n)

(2)

的整數(shù)解.

1 相關(guān)引理

引理1[7]若

是正整數(shù)n的標(biāo)準(zhǔn)式，(pi,3)=1，1≤i≤t，則

引理2[7-8]若

是正整數(shù)n的標(biāo)準(zhǔn)式，(pi,2)=1，1≤i≤t，則

2 定理及其證明

定理1方程(1)只有n=7，21這2個(gè)正整數(shù)解.

φ(n)=2ω(n)[3-(-1)Ω(n)2-α-1].

(3)

(i)α=0.由(3)式，有φ(n)=2ω(n)[3-(-1)Ω(n)2-1]，即φ(n)=2ω(n)-1[6-(-1)Ω(n)]，有

(4)

在(4)式中，Ω(n)或者為奇數(shù)或者為偶數(shù).當(dāng)Ω(n)為奇數(shù)時(shí)，(4)式為

(5)

當(dāng)Ω(n)為偶數(shù)時(shí)，(4)式為

(6)

顯然在(5),(6)式中，左端一定有2ω(n)這一因數(shù)，而右端有2ω(n)-1這一可能因數(shù)，這說明了(5),(6)式不可能成立，因而此時(shí)方程(1)無解.

(ii) 當(dāng)α=1.由(3)式，有φ(n)=2ω(n)[3-(-1)Ω(n)2-2]，即

(7)

(8)

同樣，在(8)式中，左端一定有2ω(n)這一因數(shù)，而右端有2ω(n)-2這一可能因數(shù)，這說明了(8)式不可能成立，因而此時(shí)方程(1)無解.

情形2其他.由引理1，由(1)式有φ(n)=2ω(n)×3，即

(9)

定理2方程(2)只有n= 9，11，34，40，102這5個(gè)正整數(shù)解.

φ(n)=2ω(n)[4-(-1)Ω(n)2-α].

(10)

(i)α=0.由(10)式，有φ(n)=2ω(n)[4-(-1)Ω(n)]，即

(11)

(11)式或者為

(12)

(12)式中Ω(n)為偶數(shù)，從而有解t=1，α1=2，因而方程(2)有解n=32=9.(11)式或者為

(13)

(13)式有解t=1，α1=1，p1=11，從而n=11為方程(2)的解.

(14)

(14)式或者為

(15)

(15)式中Ω(n)為偶數(shù)，方程(2)無解.(14)式或者為

(16)

(16)式中Ω(n)為奇數(shù)，方程(2)無解.

情形2其他.由引理2，由(2)式有φ(n)=2ω(n)+2.

(i)α=0.有

(17)

由于(17)式無解，從而方程(2)無解.

(ii)α=1.有

(18)

(18)式有解t=1，α1=1，p1=17與t=2，α1=α2=1，p1=3，p2=17，從而方程(2)有解n=2×17=34，n=2×3×17=102.

(iii)α=2.有

(19)

由于(19)式無解，從而方程(2)無解.

(iv)α=3.有

(20)

由于(20)式有解t=1，α1=1，p1=5，從而方程(2)有解n=23×5=40.

(v)α≥4.有

(21)

由于(21)式右端為偶數(shù)，右端為奇數(shù)，因而(21)式不成立，從而方程(2)無解.

綜合以上，定理2證畢.