董飛垚

(空軍西安飛行學(xué)院,陜西 西安 710306)

三點(diǎn)法制導(dǎo)律因其技術(shù)實(shí)施簡(jiǎn)單,抗干擾性能好等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于各種戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈系統(tǒng)中,其導(dǎo)引彈道求解有諸多方法,如數(shù)值積分法、解析法和圖解法等[1]。針對(duì)非機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截的三點(diǎn)法制導(dǎo)律研究,文獻(xiàn)[2-3]給出了鉛垂面內(nèi)導(dǎo)彈三點(diǎn)法制導(dǎo)律的解析解,得到導(dǎo)彈位置的解析表達(dá)式;針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的三點(diǎn)法制導(dǎo)律研究,文獻(xiàn)[4]進(jìn)行了三維運(yùn)動(dòng)學(xué)彈道建模與仿真,解決了三點(diǎn)法彈道求解的問題,但上述方法均不能給出制導(dǎo)律所對(duì)應(yīng)的導(dǎo)彈過載指令,這大大限制了三點(diǎn)法制導(dǎo)律的全彈道仿真驗(yàn)證;此外,傳統(tǒng)三點(diǎn)法制導(dǎo)律的實(shí)現(xiàn)大多都基于波束制導(dǎo)體制,利用導(dǎo)彈偏離雷達(dá)波束或激光的誤差進(jìn)行控制,這種方法的弊端是由于測(cè)量偏離誤差存在滯后,針對(duì)高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截,脫靶量將會(huì)增大。針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截,文獻(xiàn)[5]基于三點(diǎn)法思想設(shè)計(jì)了一種制導(dǎo)律,但其核心在于視線角速率的引入,同時(shí)對(duì)制導(dǎo)信息的獲取也提出了較高要求。

滑模變結(jié)構(gòu)控制因具有強(qiáng)魯棒性近年來已被廣泛應(yīng)用于制導(dǎo)律研究中[6-8],基于此,本文利用三點(diǎn)法攔截幾何,設(shè)計(jì)了一種滑模制導(dǎo)規(guī)律。選取導(dǎo)彈高低角與目標(biāo)高低角之差、導(dǎo)彈方位角與目標(biāo)方位角之差以及其微分作為滑模面參數(shù),根據(jù)快慢回路要求,利用極點(diǎn)配置得到滑模面參數(shù),最后給出滑模制導(dǎo)律的表達(dá)式,并基于Lyapunov穩(wěn)定性理論進(jìn)行了穩(wěn)定性證明。仿真結(jié)果表明,所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律能確保導(dǎo)彈實(shí)時(shí)位置點(diǎn)、目標(biāo)實(shí)時(shí)位置點(diǎn)和導(dǎo)彈初始位置點(diǎn)這三點(diǎn)始終在一條直線上,導(dǎo)彈過載指令變化平緩,符合工程實(shí)際要求。

1 三點(diǎn)法彈目攔截幾何

圖1 彈目攔截幾何關(guān)系

為便于描述,以(xm,ym,zm)來表示導(dǎo)彈在地面坐標(biāo)系下的位置,(vxm,vym,vzm)表示導(dǎo)彈速度沿地面坐標(biāo)系各軸的分量,(axM,ayM,azM)表示導(dǎo)彈加速度沿速度坐標(biāo)系各軸分量,(axm,aym,azm)表示導(dǎo)彈加速度沿地面坐標(biāo)系各軸分量,εm為導(dǎo)彈高低角,βm為導(dǎo)彈方位角,θVM為導(dǎo)彈彈道傾角,ψVM為導(dǎo)彈彈道偏角。帶下標(biāo)m和M的量分別表示導(dǎo)彈在地面坐標(biāo)系和導(dǎo)彈速度坐標(biāo)系下的相關(guān)值,帶下標(biāo)t和T的量分別表示目標(biāo)在地面坐標(biāo)系和目標(biāo)速度坐標(biāo)系下的相關(guān)值。坐標(biāo)系定義參考文獻(xiàn)[1]。

三點(diǎn)法制導(dǎo)律的核心思想是導(dǎo)彈在飛向目標(biāo)過程中,導(dǎo)彈、目標(biāo)和制導(dǎo)雷達(dá)(制導(dǎo)站)始終在一條直線上,基于圖1所描述的幾何關(guān)系,三點(diǎn)法制導(dǎo)律的核心思想還可描述為:導(dǎo)彈在整個(gè)飛行過程中,其高低角εm始終等于目標(biāo)的高低角εt,其方位角βm始終等于目標(biāo)的方位角βt,即:

(1)

由式(1)可以看出,三點(diǎn)法制導(dǎo)律的數(shù)學(xué)模型是基于地面坐標(biāo)系的,而描述導(dǎo)彈和目標(biāo)的加速度(過載)通常都在各自速度系下進(jìn)行描述,因此為得到過載指令即制導(dǎo)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式,需根據(jù)二者間的轉(zhuǎn)換矩陣,進(jìn)行速度矢量和加速度矢量的相應(yīng)轉(zhuǎn)換。

(2)

(3)

導(dǎo)彈加速度沿地面坐標(biāo)系各軸的分量(axmaymazm)T為

(4)

(5)

進(jìn)而得到地面系下目標(biāo)的速度矢量(vxtvytvzt)T為

(6)

地面系下目標(biāo)的加速度矢量(axtaytazt)T為

(7)

根據(jù)地面坐標(biāo)系下導(dǎo)彈高低角和方位角的定義:

(8)

式中:atan2函數(shù)為根據(jù)輸入的2個(gè)參數(shù),輸出對(duì)應(yīng)[0,2π]范圍內(nèi)角度的函數(shù),具體定義可見Matlab的Math庫函數(shù)。

式(8)兩邊均對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得:

(9)

同理,給出目標(biāo)高低角和方位角表達(dá)式為

(10)

上式兩邊均對(duì)時(shí)間求導(dǎo),得:

(11)

對(duì)上式兩端求導(dǎo),得:

(12)

(13)

2 滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

(14)

選取滑模面S=(s1s2)如下所示:

(15)

式中:c1>0,c2>0,值的大小根據(jù)極點(diǎn)配置,使其動(dòng)態(tài)特性遠(yuǎn)小于內(nèi)回路(控制回路)的動(dòng)態(tài)特性。

對(duì)式(15)兩端求導(dǎo)可得:

(16)

選擇指數(shù)型趨近律:

(17)

式中:k1>max(|ayM|,|azM|),k2>0。

聯(lián)合式(16)與式(17)可得:

(18)

(19)

式中:

3 穩(wěn)定性分析

選取Lyapunov函數(shù)如下所示:

(20)

對(duì)式(20)兩端求導(dǎo)得:

(21)

將式(17)代入上式得:

4 仿真及結(jié)果分析

(22)

式中:Δ稱為“邊界層”,仿真中Δ取值為0.000 1。

仿真結(jié)果顯示，脫靶量0.393 m，導(dǎo)彈飛行時(shí)間為22.656 s，對(duì)應(yīng)攔截曲線和過載指令如圖2～圖5所示。其中，圖2～圖4中的5條虛線是為驗(yàn)證彈道是否嚴(yán)格符合三點(diǎn)法的規(guī)律而繪制，繪制時(shí)分別選擇仿真時(shí)間t=0，4.5 s，9.0 s，13.5 s，18 s時(shí)的導(dǎo)彈和目標(biāo)的位置點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線，可以看出，在整個(gè)攔截過程中，保證了發(fā)射點(diǎn)、導(dǎo)彈和目標(biāo)始終在一條直線上；從圖5可以看出，整個(gè)攔截過程中，導(dǎo)彈的制導(dǎo)指令變化較為平緩，能滿足執(zhí)行機(jī)構(gòu)的要求。

圖2 Oxy平面彈道曲線

圖3 Oxz平面彈道曲線

圖4 三維彈道曲線

圖5 導(dǎo)彈制導(dǎo)指令

5 結(jié)束語

基于三點(diǎn)法攔截幾何,設(shè)計(jì)了一種滑模制導(dǎo)律,通過數(shù)值仿真對(duì)其有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明,該制導(dǎo)律保證了導(dǎo)彈在整個(gè)飛行過程中嚴(yán)格符合三點(diǎn)法的攔截幾何,且導(dǎo)彈過載指令變化平緩,對(duì)三點(diǎn)法全彈道數(shù)值仿真具有較強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值。