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        數(shù)形結(jié)合明晰算理

        2019-07-11 05:46:50黃趙勇
        新課程·小學(xué) 2019年5期
        關(guān)鍵詞:整數(shù)計(jì)算方法小數(shù)

        黃趙勇

        【教材分析】

        “小數(shù)乘小數(shù)”一課是人教版教材五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)單元”的例3,安排在“小數(shù)乘整數(shù)”之后學(xué)習(xí),為后續(xù)的“小數(shù)除法”的學(xué)習(xí)鋪墊。教材編排意在從問(wèn)題情境中引出小數(shù)乘小數(shù)的生活需求,在計(jì)算方法上只展示出列豎式這一種計(jì)算方法,包含著轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法計(jì)算的思想,用“積的變化規(guī)律”作為計(jì)算的算理解釋。(如下圖)

        【學(xué)情分析】

        學(xué)生在前期的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了“整數(shù)乘整數(shù)”“小數(shù)乘整數(shù)”的計(jì)算方法和算理,也有了算法多樣的經(jīng)驗(yàn)積累,如通過(guò)單位換算來(lái)將小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)計(jì)算和列豎式計(jì)算等。同時(shí),學(xué)生也有一定的知識(shí)遷移經(jīng)驗(yàn)積累,能密切感受到小數(shù)與整數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別。但是,學(xué)生較難從數(shù)的意義角度去思考數(shù)的運(yùn)算,對(duì)數(shù)的運(yùn)算算理的理解是淺薄的。

        【設(shè)計(jì)理念】

        1.從數(shù)的本質(zhì)上明晰算理

        為什么積的小數(shù)位數(shù)和所有乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)之和是一樣的呢?教材給出的解釋是應(yīng)用“積的變化規(guī)律”,但是這并不是算理的本質(zhì)。積的變化規(guī)律應(yīng)該只能作為小數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算方法的演繹推理或驗(yàn)證方法。華羅庚說(shuō):“數(shù)(shù)起源于數(shù)(shǔ),量(liàng)起源于量(liáng)。”每個(gè)數(shù)都是計(jì)數(shù)單位度量的結(jié)果,是計(jì)數(shù)單位的積累。小數(shù)是數(shù),小數(shù)的運(yùn)算就應(yīng)該緊扣數(shù)的意義和計(jì)數(shù)單位,其本質(zhì)是算理,這節(jié)課重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的意義和乘法的意義角度去明晰小數(shù)乘法的算理,小數(shù)乘小數(shù)的本質(zhì)是計(jì)算單位的運(yùn)算,那么0.1×0.1的算理就是基礎(chǔ),它表示十分之一的十分之一,0.1×0.1得到了一個(gè)新的統(tǒng)一的計(jì)數(shù)單位0.01。在這個(gè)基礎(chǔ)上再理解一位小數(shù)乘一位小數(shù)的算法。

        2.數(shù)形結(jié)合理解算理

        對(duì)于小數(shù)乘小數(shù)的算理和算法的建構(gòu),采用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行探究。對(duì)于0.1×0.1的理解,利用百格圖直觀幫助學(xué)生理解十分之一的十分之一是百分之一,在此基礎(chǔ)上,再用正方體代表“1”,理解0.01×0.1=0.001。這樣能溝通知識(shí)之間的聯(lián)系,把握知識(shí)的本質(zhì),凸顯轉(zhuǎn)化思想。將一個(gè)數(shù)與小乘相乘的積與原數(shù)的大小進(jìn)行比較,也能通過(guò)條形圖直觀地顯示出來(lái)。

        3.注重知識(shí)網(wǎng)絡(luò)建構(gòu),促進(jìn)算法遷移

        在小數(shù)乘小數(shù)計(jì)算方法這一基本技能的教學(xué)中,注重算法多樣化,讓學(xué)生根據(jù)已有的關(guān)于小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法、積的變化規(guī)律等知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)來(lái)自主探究小數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算方法,利用已有知識(shí)解決新問(wèn)題。整數(shù)乘法和小數(shù)乘法在算理本質(zhì)上是相同的,幫助學(xué)生理解算理之間的聯(lián)系:都是若干個(gè)計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算,整數(shù)是幾個(gè)一乘幾個(gè)一,小數(shù)乘法是幾個(gè)十分之一乘幾個(gè)十分之一,得到幾個(gè)百分之一……從數(shù)的本質(zhì)上理解了算理后,學(xué)生在構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上,自然能進(jìn)行算法遷移,對(duì)于更多位小數(shù)的運(yùn)算迎刃而解,學(xué)習(xí)能力不斷提升。

        【教學(xué)目標(biāo)】

        1.知識(shí)技能:通過(guò)舊知遷移,引導(dǎo)學(xué)生自主探究小數(shù)乘小數(shù)的多種計(jì)算方法,并從數(shù)的意義角度理解小數(shù)乘小數(shù)的算理。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)基本算法,并掌握確定積的小數(shù)點(diǎn)位置時(shí)特殊情況處理方法。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一個(gè)因數(shù)比1大(或小)時(shí),積和另一個(gè)因數(shù)的大小關(guān)系。

        2.過(guò)程方法:通過(guò)數(shù)形結(jié)合理解算理,把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì),在自主探究、合作交流匯報(bào)中發(fā)展學(xué)生的思維,在對(duì)比溝通中構(gòu)建知識(shí)體系,發(fā)展知識(shí)遷移能力。

        3.情感態(tài)度價(jià)值觀:讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系,體驗(yàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,感受數(shù)學(xué)知識(shí)之間的緊密聯(lián)系,感受數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)性。

        【教學(xué)重點(diǎn)】小數(shù)乘小數(shù)的多種計(jì)算方法,并從數(shù)的意義角度理解小數(shù)乘小數(shù)的算理。

        【教學(xué)難點(diǎn)】小數(shù)乘小數(shù)的算理理解。

        【教學(xué)預(yù)案】

        一、提取信息,提出問(wèn)題

        1.出示情境:(如下圖)

        2.從中得到哪些數(shù)學(xué)信息?能根據(jù)這些數(shù)學(xué)信息提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題?

        預(yù)設(shè)1:宣傳欄的面積是多少平方米?

        預(yù)設(shè)2:給宣傳欄刷油漆需要多少千克油漆?

        二、初探算法,理解算理(一位小數(shù)乘一位小數(shù))

        1.列式:解決問(wèn)題1“宣傳欄的面積是多少平方米”

        2.估一估2.4×0.8的近似結(jié)果

        3.自主探究算法:請(qǐng)用你的方法計(jì)算2.4×0.8,并把你的想法表達(dá)清楚

        4.匯報(bào)交流:請(qǐng)你展示你的作品并解釋想法

        預(yù)設(shè)方法①:24分米×8分米=192平方分米=1.92平方米。

        追問(wèn):如果沒(méi)有單位名稱怎么辦?這樣的方法適用于所有的小數(shù)乘小數(shù)嗎?

        預(yù)設(shè)方法②:24×8=192,從后面數(shù)兩位,點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn),2.4×0.8=1.92。

        追問(wèn):為什么小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)在這里?

        預(yù)設(shè)方法③:列豎式。

        追問(wèn):列豎式中運(yùn)用了一個(gè)什么數(shù)學(xué)知識(shí)?(積的變化規(guī)律)

        預(yù)設(shè)方法④:24個(gè)0.1×8個(gè)0.1=192個(gè)0.01=1.92

        追問(wèn):為什么是192個(gè)0.01,而不是192個(gè)0.1呢?

        【設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生在小數(shù)乘整數(shù)學(xué)習(xí)中有一定的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)累積,給學(xué)生自主探究的空間,注重算法多樣化,在不同算法中抓住思維關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行追問(wèn),幫助學(xué)生思考算法背后的算理。】

        5.數(shù)形結(jié)合,理解算理

        ①0.1×0.1

        0.1×0.1表示十分之一的十分之一,我們用一個(gè)正方形表示1,那么0.1×0.1可以怎么表示呢?

        根據(jù)學(xué)生的描述出示直觀圖(如右圖):十分之一的十分之一就是一百分之一,也就是0.01,得出0.1×0.1=0.01。

        ②2.4×0.8

        2.4×0.8就是24個(gè)0.1乘8個(gè)0.1就是129個(gè)0.01,也可以用圖表示出來(lái)。(如下圖)

        6.總結(jié)算法,對(duì)比溝通

        ①同學(xué)們有了四種思考方法,各用了什么知識(shí)方法呢?

        總結(jié):?jiǎn)挝粨Q算;轉(zhuǎn)化為整數(shù)計(jì)算;運(yùn)用積的變化規(guī)律;根據(jù)數(shù)的意義進(jìn)行計(jì)算。

        ②各個(gè)方法中有什么共同點(diǎn)?

        總結(jié):都有24×58=192的計(jì)算過(guò)程,就是把小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法。

        【設(shè)計(jì)意圖:小數(shù)的本質(zhì)是數(shù),通過(guò)數(shù)形結(jié)合,引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的意義角度去理解一位小數(shù)乘一位小數(shù)的積為什么要從整數(shù)乘得的積后面數(shù)兩位點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)的原理,因?yàn)?.1×0.1=0.01,這是小數(shù)運(yùn)算的真正算理。在多種算法的理解之后,再聯(lián)系溝通各種算法不同與相通之處,構(gòu)建完善的知識(shí)體系?!?/p>

        三、自主學(xué)習(xí),遷移算法(兩位小數(shù)乘一位小數(shù))

        1.列式:解決問(wèn)題2“給宣傳欄刷油漆,需要多少千克油漆”

        2.自主探究計(jì)算1.92×0.9

        3.展示匯報(bào)(重點(diǎn)交流兩個(gè)方法)

        ①利用積的變化規(guī)律列豎式

        ②根據(jù)數(shù)的意義進(jìn)行計(jì)算

        追問(wèn):0.1×0.01等于多少?你是怎么想的?

        出示直觀圖(如右圖):把一個(gè)正方體看成1,十分之一的百分之一就是它的千分之一。即:

        0.01×0.1=0.001

        192個(gè)0.01×9個(gè)0.1=1728個(gè)0.001=1.728

        四、總結(jié)算法,溝通聯(lián)系

        1.你能用自己的語(yǔ)言總結(jié)一下小數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算方法嗎?

        總結(jié):把小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法,先按照整數(shù)乘法算出積,再看兩個(gè)因數(shù)中一共有幾位小數(shù),就從積的末尾起數(shù)出幾位,點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。(一乘二數(shù)三點(diǎn))

        2.為什么小數(shù)乘法可以轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法呢?

        小數(shù)和整數(shù)都是數(shù),數(shù)就是由若干個(gè)計(jì)數(shù)單位組成的,不管是整數(shù)相乘還是小數(shù)相乘,都可以用整數(shù)相乘的方法計(jì)算,得到的積就是一個(gè)新的、統(tǒng)一的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

        整數(shù)乘法:( )個(gè)10×( )個(gè)10=( )個(gè)100

        ( )個(gè)1×( )個(gè)1=( )個(gè)10

        小數(shù)乘法:( )個(gè)0.1×( )個(gè)0.1=( )個(gè)0.01

        ( )個(gè)0.1×( )個(gè)0.01=( )個(gè)0.001

        3.那么,我們就只會(huì)計(jì)算一位小數(shù)乘一位小數(shù)、一位小數(shù)乘兩位小數(shù)嗎?你還會(huì)計(jì)算哪些小數(shù)乘法?

        【設(shè)計(jì)意圖:將整數(shù)乘法和小數(shù)乘法進(jìn)行溝通聯(lián)系,讓學(xué)生理解數(shù)的計(jì)算其實(shí)就是計(jì)數(shù)單位的計(jì)算,將小數(shù)看成整數(shù)相乘后得到的積就是一個(gè)新的、統(tǒng)一的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù),數(shù)的運(yùn)算的算理是相通的,學(xué)生就能將方法遷移到多位小數(shù)的乘法上,一脈相承。】

        五、鞏固練習(xí),完善算法

        1.出示:3.7×4.6= ?0.48×1.5= ?0.56×0.04=

        2.預(yù)測(cè)一下,各算式的積是幾位小數(shù)?

        3.獨(dú)立計(jì)算

        4.匯報(bào)總結(jié)

        ①計(jì)算后有什么發(fā)現(xiàn)?

        ②對(duì)小數(shù)乘法的計(jì)算方法有什么補(bǔ)充?

        ③總結(jié):如果積的小數(shù)末尾是0,可以省略;如果積的小數(shù)位數(shù)不夠,要在前面用0補(bǔ)足,再點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)。

        六、數(shù)形結(jié)合,拓展延伸

        1.出示問(wèn)題:蘋果每千克2.8元,小明買1.5千克要多少元?小軍買0.8千克要多少元?

        2.列式計(jì)算

        3.比較兩個(gè)算式,你有什么發(fā)現(xiàn)?

        4.結(jié)合條形圖幫助理解

        5.總結(jié):一個(gè)數(shù)乘1,積與原數(shù)相等;一個(gè)數(shù)乘一個(gè)比1大的數(shù),積會(huì)比原數(shù)大;一個(gè)數(shù)乘一個(gè)比1小的數(shù),積會(huì)比原數(shù)小。

        6.對(duì)比:一個(gè)數(shù)乘不是1的整數(shù)呢?為什么?

        七、總結(jié)

        1.回顧我們學(xué)習(xí)小數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算,你有什么新的收獲?

        2.整理總結(jié)

        ①計(jì)算方法:多種方法;轉(zhuǎn)化成整數(shù);0.1×0.1=0.01……

        ②需要提醒:小數(shù)點(diǎn)的位置確定特殊情況。(末尾有0、位數(shù)不夠)

        ③與小數(shù)相乘的積與原數(shù)相比大小變化情況。

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