顧新輝

等號(hào)對(duì)于理解算術(shù)或代數(shù)問題而言，是一種內(nèi)涵豐富的符號(hào)概念，是學(xué)生理解的一個(gè)難點(diǎn)，這是原有的或固有的思維定式對(duì)學(xué)生造成的影響[1]。一年級(jí)各種版本教材中對(duì)等號(hào)的處理，以及《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》第二學(xué)段的目標(biāo)要求，都表明等號(hào)扮演著極為重要的角色。因此，本文試圖探討一年級(jí)學(xué)生等號(hào)概念學(xué)習(xí)的易錯(cuò)點(diǎn)，闡明等號(hào)概念的意義所在，并且給出教學(xué)對(duì)策。

一、學(xué)生等號(hào)概念理解錯(cuò)誤的主要類型

1.等號(hào)表示等式左邊的答案

以2+4=□+3為例，學(xué)生認(rèn)為□內(nèi)的值是6，表示等號(hào)左邊對(duì)象計(jì)算所得答案，等號(hào)是執(zhí)行計(jì)算的指令，并未呈現(xiàn)兩邊數(shù)字的關(guān)系。這種情況在實(shí)踐中有大量表現(xiàn)。研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)“9以內(nèi)的加法正確率已經(jīng)高達(dá)90%，但是當(dāng)他們遇到2+2=□+1、2=□-1這樣的題目時(shí)，錯(cuò)誤率卻很高”[2]。

2.等號(hào)表示擴(kuò)展的意義

如2+4=□+3，學(xué)生認(rèn)為□的值是9，其實(shí)施如下計(jì)算：2+4=6+3=9，將等號(hào)視為進(jìn)一步計(jì)算的結(jié)果。

3.等號(hào)表示式子中所有數(shù)字的運(yùn)算結(jié)果

仍然以2+4=□+3為例，學(xué)生認(rèn)為□的值是9，□表示需將等式中所有出現(xiàn)的數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算從而得到結(jié)果。其思路如下，先計(jì)算2+4=6，然后再計(jì)算6+3=9，所以□應(yīng)該是9。第三種錯(cuò)誤類型與第二種錯(cuò)誤類型的區(qū)別在于，后者認(rèn)為2+4=6+3，而前者認(rèn)為這不相等，能夠意識(shí)到這樣寫是不正確的。

4.認(rèn)為等式兩邊存在語(yǔ)法錯(cuò)誤

有學(xué)生認(rèn)為等號(hào)左邊可以計(jì)算，但右邊應(yīng)該呈現(xiàn)答案，因?yàn)椤啊酢辈皇菙?shù)字。主要原因在于學(xué)生缺乏等號(hào)概念的意義理解。等號(hào)的意義有二：其一，等號(hào)是數(shù)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果，如2+3=;其二，等號(hào)是一種關(guān)系符號(hào)，表示兩邊數(shù)量關(guān)系相等或地位相同，如天平平衡。

二、學(xué)生等號(hào)概念理解的錯(cuò)誤原因分析

1.教材中知識(shí)呈現(xiàn)方式易造成學(xué)生對(duì)等號(hào)概念的刻板印象

一年級(jí)學(xué)生為何會(huì)對(duì)等號(hào)概念產(chǎn)生這些錯(cuò)誤理解？審視現(xiàn)今小學(xué)數(shù)學(xué)教材，有關(guān)等號(hào)概念的安排與等式的表達(dá)，大都以A+B=□的方式呈現(xiàn)，這種等號(hào)左邊運(yùn)算、右邊答案的模型，易造成一線教師對(duì)等號(hào)意義理解的弱化，給學(xué)生造成一種刻板印象，認(rèn)為等號(hào)強(qiáng)調(diào)的是運(yùn)算結(jié)果。雖然運(yùn)算是發(fā)展等號(hào)概念的基礎(chǔ)，但過于強(qiáng)調(diào)單邊運(yùn)算的等式呈現(xiàn)方式常誤導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的等號(hào)概念。

教材中等號(hào)概念的呈現(xiàn)方式導(dǎo)致許多教師只強(qiáng)調(diào)最后執(zhí)行技巧和步驟的產(chǎn)出，而沒有強(qiáng)調(diào)為何以及如何與不同元素間的相互連結(jié)，忽略等號(hào)概念的意義建構(gòu)，弱化了學(xué)生對(duì)等號(hào)的意義理解，進(jìn)而影響學(xué)生數(shù)學(xué)化的表現(xiàn)。如列出不正確的算式、對(duì)模式無(wú)法進(jìn)行推理、形成不正確的結(jié)論等弊端。在實(shí)踐中，許多“學(xué)生做不出1=□-□這樣的算式，甚至看不懂”，甚至出現(xiàn)了“一道□=3+6的口算題目，難倒了一大片家長(zhǎng)和學(xué)生”[3]的情況。

2.教材中學(xué)習(xí)內(nèi)容的安排沒有凸顯等號(hào)概念的意義

等號(hào)是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用、最基本的一種符號(hào)，從四則運(yùn)算中的遞等式 到解決問題中的尋找等量關(guān)系，小學(xué)數(shù)學(xué)教育幾乎是“等號(hào)教育”。因此，等號(hào)概念在小學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)該給予足夠的重視以凸顯其重要性。

但教材中對(duì)這部分內(nèi)容的安排明顯欠缺系統(tǒng)考量，以人教版和蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中等號(hào)的出現(xiàn)方式為例。

從圖1和圖2可以看出，教材中的等號(hào)概念采用說明的方式呈現(xiàn)，要求學(xué)生會(huì)讀、能寫，而對(duì)等號(hào)意義的說明不夠充分。學(xué)生對(duì)等號(hào)概念的理解并非僅靠背誦練習(xí)即能獲得，若能在問題情境中對(duì)等號(hào)加以討論與辨析，讓自己與他人確信其解釋，那么，相等的關(guān)系概念就能確立。由于等號(hào)并非僅僅指向運(yùn)算，需要由不同的情境誘發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“相等”的概念，這就需要教材對(duì)此安排一定的篇幅，讓學(xué)生經(jīng)歷感知→體驗(yàn)→思維→運(yùn)用的過程，等號(hào)概念學(xué)習(xí)應(yīng)有一套實(shí)用且符合學(xué)生認(rèn)知需求的模型予以支撐。因此，等號(hào)概念的學(xué)習(xí)安排需要加強(qiáng)教材建設(shè)，重視等號(hào)概念學(xué)習(xí)的過程性和系統(tǒng)性。

3.前概念倒攝抑制一年級(jí)學(xué)生對(duì)等號(hào)概念的理解

Gelman 與Gallistel研究發(fā)現(xiàn)，幼兒判斷2個(gè)集合是否相等時(shí)，會(huì)依賴數(shù)數(shù)的結(jié)果或者加在一起計(jì)數(shù)比較，這種能力間接形成了運(yùn)算的觀念[4]。當(dāng)學(xué)生建立等號(hào)概念之后，遇到有關(guān)等號(hào)情境的問題時(shí)，大多數(shù)學(xué)生會(huì)堅(jiān)持已建立的等號(hào)概念，將等號(hào)視為一種運(yùn)算，而且這種觀念不會(huì)輕易改變。

另一方面，大多數(shù)教師很難特意向?qū)W生說明等號(hào)是表示關(guān)系的符號(hào)，教學(xué)中只強(qiáng)調(diào)學(xué)生能夠快速實(shí)施運(yùn)算獲得正確答案即可。這就造成學(xué)生認(rèn)為等號(hào)的意義就是運(yùn)算，是處理運(yùn)算的一種表征方式。這個(gè)前概念會(huì)對(duì)等號(hào)的意義理解產(chǎn)生深刻而久遠(yuǎn)的倒攝抑制作用。由此可知，學(xué)生初始建立的等號(hào)概念對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)的影響重大，因此，一年級(jí)學(xué)生理解等號(hào)關(guān)系的困難受到早期算術(shù)經(jīng)驗(yàn)所建構(gòu)的知識(shí)的影響，而且學(xué)生對(duì)等號(hào)所持的觀點(diǎn)，會(huì)影響其計(jì)算的結(jié)果。如何培養(yǎng)一年級(jí)學(xué)生對(duì)等號(hào)的正確觀點(diǎn)是改善學(xué)生對(duì)等號(hào)概念的理解及應(yīng)用等號(hào)解決問題的關(guān)鍵所在。

三、教學(xué)對(duì)策

事實(shí)上，學(xué)生在入學(xué)前就已具備計(jì)數(shù)、順序的知識(shí)，進(jìn)入小學(xué)后，會(huì)教數(shù)字的分解、組合、加減可逆運(yùn)算等方法，學(xué)生進(jìn)行比較和運(yùn)算的能力更加成熟，但仍須通過完成一系列連續(xù)的行動(dòng)（如分別計(jì)數(shù)，然后再比較），才能說明“+”與“=”之間的意義，這些能力若能堅(jiān)實(shí)地發(fā)展且彈性地運(yùn)用，對(duì)等號(hào)概念的理解有莫大的幫助。

1.強(qiáng)調(diào)等號(hào)是對(duì)象相等的兩者間的鏈接

一年級(jí)學(xué)生的思維發(fā)展主要處在具體形象思維階段，在面對(duì)抽象的等量關(guān)系時(shí)常感覺困難。因此，在學(xué)生開始接觸等號(hào)時(shí)，就應(yīng)該提供豐富的操作活動(dòng)與經(jīng)驗(yàn)。等號(hào)概念教學(xué)的最終目的在于使學(xué)生能理解等號(hào)兩端對(duì)象“相等”，教學(xué)中可以提供天平平衡的具體操作，學(xué)生在教師的適當(dāng)引導(dǎo)下，鏈接其習(xí)得的數(shù)字分解、合成技巧，順利獲得等號(hào)相等的概念。

對(duì)不同程度的學(xué)生而言，不同的知識(shí)呈現(xiàn)方式，可促進(jìn)其等號(hào)概念、模型計(jì)劃及執(zhí)行知識(shí)的運(yùn)用。教師可以引導(dǎo)學(xué)生將教學(xué)情境所學(xué)的等號(hào)概念轉(zhuǎn)化至問題情境，正確地運(yùn)用等號(hào)概念與程序性知識(shí)解題。然而，對(duì)能力不足的學(xué)生，則需在其既有的等號(hào)模型知識(shí)上，予以引導(dǎo)說明，幫助其建立更多元的等號(hào)概念，才有利于復(fù)雜命題的解答。倘若因?qū)W生數(shù)字分解合成能力不熟練，面對(duì)“雙邊運(yùn)算”的命題時(shí)，仍以“單邊運(yùn)算”知識(shí)為主，教師可幫助學(xué)生理解等號(hào)具有兩邊對(duì)象“相等”的概念，避免其無(wú)法同時(shí)比對(duì)兩邊運(yùn)算的結(jié)果而導(dǎo)致錯(cuò)誤解答。

2.通過變化的問題情境呈現(xiàn)等號(hào)意義

利用等號(hào)關(guān)系概念進(jìn)行解題，學(xué)生并非僅靠等式左邊運(yùn)算就能解決問題，尚需洞察問題的變化。如通過天平平衡現(xiàn)象的操作與觀察，可讓學(xué)生體會(huì)等號(hào)概念的“運(yùn)算”“關(guān)系”與“反身性”等意義，并建立等號(hào)的多元意義，學(xué)生可通過情境的變化，將天平平衡與問題的操作鏈接，表達(dá)其對(duì)等號(hào)意義的理解。為此，可根據(jù)等號(hào)關(guān)系具有對(duì)象多元變化的特征，設(shè)計(jì)不同的問題情境，未知數(shù)的位置可在等號(hào)左、右兩邊，增加、消耗及取舍的加減法問題，進(jìn)而簡(jiǎn)化步驟，促使學(xué)生推理與思考。

由于天平平衡的情境可作為等號(hào)兩邊對(duì)象相等關(guān)系的隱喻，為學(xué)生提供理解等號(hào)不同意義的機(jī)會(huì)。因此，通過對(duì)天平平衡的操作與觀察，以激發(fā)學(xué)生思考問題情境中的對(duì)象特征及變化，將先前建立的天平“平衡”與等號(hào)“相等”的心智模型，投射在問題情境上。為建立等號(hào)概念的過程提供適切的經(jīng)驗(yàn)。如理解平衡時(shí)，兩端的對(duì)象若具有相同的質(zhì)量（反身性），或是天平兩端任意放兩個(gè)砝碼，如何操作才能保持天平平衡，只改變一端的砝碼數(shù)量（單邊運(yùn)算），兩端的砝碼數(shù)量都改變（雙邊運(yùn)算），幫助學(xué)生體會(huì)運(yùn)算后的結(jié)果一樣，即可表示相等的概念。通過此類情境，配合推理與安排合適的策略才能順利解決問題，讓學(xué)生體驗(yàn)等號(hào)是表示一種平衡關(guān)系。

3.通過多元表征來(lái)理解等號(hào)的意義

小學(xué)一年級(jí)學(xué)生處于具體思維階段，大部分學(xué)生仍須借助具體實(shí)物操作。例如畫圖、動(dòng)作計(jì)數(shù)等表征，將解題的步驟與結(jié)果予以連結(jié)，才能順利解題。因此，要建立學(xué)生扎實(shí)的等號(hào)概念，應(yīng)同時(shí)呈現(xiàn)對(duì)象表征與等號(hào)概念之間的聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生選擇方法并驗(yàn)證，才能促進(jìn)學(xué)生對(duì)等號(hào)概念的理解。

教學(xué)實(shí)踐中可提供和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)用具體表征的興趣。對(duì)認(rèn)知能力較差的學(xué)生而言，具體圖像表征的指導(dǎo)更為重要，因?yàn)榭蓞f(xié)助其將抽象的等號(hào)算式的意義加以連結(jié)，作為理解的基礎(chǔ)。學(xué)生在等號(hào)單邊情境教學(xué)初始時(shí)，由于數(shù)字分解和合成能力掌握并不牢固，因此可采用“畫圓圈”的表征方式來(lái)幫助學(xué)生實(shí)施運(yùn)算。而在接觸雙邊運(yùn)算情境時(shí)，因無(wú)法將單邊運(yùn)算的知識(shí)轉(zhuǎn)化至雙邊運(yùn)算情境，教師可鼓勵(lì)學(xué)生通過天平實(shí)物操作的具體表征，配合運(yùn)算步驟，以進(jìn)行兩邊數(shù)量的比較。

總之，等號(hào)概念在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的關(guān)聯(lián)性，等號(hào)概念可鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)，提高計(jì)算的正確性，使代數(shù)推理更易進(jìn)行。根據(jù)一年級(jí)學(xué)生在解決此類問題中易犯的錯(cuò)誤，采取相應(yīng)的措施改善學(xué)生對(duì)等號(hào)概念的掌握情況，教學(xué)中可安排具體的實(shí)物操作情境，呈現(xiàn)并配合情境意義的算式，耐心且詳盡地說明其間的關(guān)系，尤其是等號(hào)兩邊運(yùn)算情境的安排，可幫助學(xué)生通過運(yùn)算驗(yàn)證而發(fā)展等號(hào)概念，盡早且“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”地為每一位學(xué)生提供代數(shù)學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)。

參考文獻(xiàn)

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[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]