程 靖，鮑建生

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“四基”：中國特色數(shù)學(xué)教育體系的核心理念

程 靖1，2，3，鮑建生1，3

（1．華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200241；2．上海市核心數(shù)學(xué)和實(shí)踐重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200241；3．上海市“立德樹人”數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地，上海 200241）

“四基”是中國特色數(shù)學(xué)教育體系的核心理念，它從中國數(shù)學(xué)“雙基”教學(xué)的傳統(tǒng)中發(fā)展而來，主張重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想，以及基本活動經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而謀求學(xué)生的全面發(fā)展．“四基”模塊是強(qiáng)調(diào)學(xué)生主體參與的教學(xué)模型，是構(gòu)成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的細(xì)胞．掌握“四基”需要勤奮艱苦的學(xué)習(xí)，“四基”教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)技能與思想、記憶與理解、鞏固與反思、基礎(chǔ)與創(chuàng)新的緊密結(jié)合．

中國數(shù)學(xué)教育；雙基；四基；核心素養(yǎng)

中國的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程兼具基礎(chǔ)性與發(fā)展性[1–2]，然而，在打基礎(chǔ)和求發(fā)展這一對關(guān)系上，流光溢彩的上層建筑往往掩蓋了樸實(shí)無華的基礎(chǔ)．在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)備受關(guān)注的當(dāng)下，反思基礎(chǔ)教育中基礎(chǔ)與發(fā)展的關(guān)系，顯得尤為緊要．

21世紀(jì)以來，中國數(shù)學(xué)教育改革中提出了“四基”教學(xué)理念[3]，一方面拓展了傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)“雙基”教學(xué)理論[4]，另一方面為學(xué)生核心素養(yǎng)的形成構(gòu)建了基石．“四基”數(shù)學(xué)教學(xué)模式正在以其鮮明的中國特色逐步走向世界．

1 “四基”教學(xué)模式的形成

“四基”，是基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)4者的簡稱[3]．“四基”數(shù)學(xué)教學(xué)模式，是使學(xué)生在具備數(shù)學(xué)“四基”的基礎(chǔ)上謀求進(jìn)一步的發(fā)展．“四基”數(shù)學(xué)教學(xué)決非忽視學(xué)生的發(fā)展，恰恰相反，打好基礎(chǔ)的目的就是為了獲得更切實(shí)、更有效率的全面發(fā)展．

1.1 “四基”是數(shù)學(xué)“雙基”教學(xué)的拓展

中國實(shí)行數(shù)學(xué)“四基”教學(xué)模式，有其獨(dú)特的文化背景和教育傳統(tǒng)[4]．中國的農(nóng)耕文化，強(qiáng)調(diào)精耕細(xì)作，不違農(nóng)時．儒家文化主張勤學(xué)苦練、順從經(jīng)典．科舉文化要求學(xué)生熟悉經(jīng)典，代圣賢立言．民間流傳的教育格言，如“熟能生巧”“臺上一分鐘，臺下十年功”，等等，大多包含著重視基礎(chǔ)的基因．

中國的現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育，最初是從國外引進(jìn)的．辛亥革命以來，學(xué)校的學(xué)制、數(shù)學(xué)課程的設(shè)置多半?yún)⒄沼⒚?，教育理念上受杜威的進(jìn)步主義教學(xué)影響很大．但是，中國數(shù)學(xué)教育對于各種教育理念采取兼收并蓄的方針．?dāng)?shù)學(xué)教育秉承古希臘理性文明的宗旨，拒絕實(shí)用主義的傾向．可以說，從徐光啟、陳建功、傅種孫，到今天的姜伯駒，是一脈相承的[5]．

建國初期，中國數(shù)學(xué)教育受蘇聯(lián)學(xué)派的影響，注重?cái)?shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，使得中國數(shù)學(xué)課程上了一個臺階．由于1958年的教育革命，以生產(chǎn)勞動代替教學(xué)，按工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)需要編制數(shù)學(xué)課程，嚴(yán)重破壞了數(shù)學(xué)課程的系統(tǒng)性．1963年的《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（草案）》中，總結(jié)了建國以來正反面的數(shù)學(xué)教育經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，及時地強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的教學(xué)[6]，數(shù)學(xué)“雙基”教學(xué)模式開始形成．“文革”結(jié)束以后，反思忽視基礎(chǔ)的錯誤傾向，重新重視“雙基”數(shù)學(xué)教學(xué)，在1986年的《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中，明確出現(xiàn)了數(shù)學(xué)“基礎(chǔ)知識”與“基本技能”的提法[6]，數(shù)學(xué)“雙基”教學(xué)理念在大綱中正式確立[7]．

20世紀(jì)80年代，由徐利治先生倡導(dǎo)而發(fā)展起來的“數(shù)學(xué)思想方法”研究，逐步形成了數(shù)學(xué)“基本思想”的概念[8]．新世紀(jì)以來，由于關(guān)注學(xué)生的主動參與，又提出了數(shù)學(xué)“基本活動經(jīng)驗(yàn)”的概念．這兩者與“雙基”一同構(gòu)成了“四基”[3]，于2012年在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中得以正式提出[1]．

由此可見，“四基”數(shù)學(xué)教學(xué)模式并非只是一些口號和理論設(shè)想，而是浸透了無數(shù)數(shù)學(xué)教育工作者汗水和智慧的寶貴結(jié)晶，也是全球視野下對數(shù)學(xué)教育“中國道路”的一次深刻反思[9]．

1.2 全面發(fā)展離不開夯實(shí)的基礎(chǔ)

中外數(shù)學(xué)教育的歷史一再表明，一旦忽視基礎(chǔ)，失去了必要的均衡，基礎(chǔ)教育就不得不付出沉重的代價．歐美發(fā)達(dá)國家的基礎(chǔ)教育，長期存在著忽視“基礎(chǔ)”的傾向．

二次大戰(zhàn)結(jié)束以后，由于蘇聯(lián)衛(wèi)星率先上天，曾在一些歐美發(fā)達(dá)國家出現(xiàn)過“新數(shù)學(xué)運(yùn)動”．當(dāng)時的數(shù)學(xué)教育改革，為了提高數(shù)學(xué)課程的理論水平，把大量抽象難懂的“集合語言”“二進(jìn)制”“群環(huán)域等數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”等內(nèi)容列入小學(xué)數(shù)學(xué)課程．試驗(yàn)的結(jié)果是脫離學(xué)生實(shí)際，以失敗而告終．從而在1970年代不得不提出“回到基礎(chǔ)”的口號．“回到基礎(chǔ)”是一個回溯，但人們對回到基礎(chǔ)與簡單地回到過去并沒有仔細(xì)區(qū)別．到20世紀(jì)70年代末，人們開始意識到“回到基礎(chǔ)”又是一次失?。畽C(jī)械練習(xí)使學(xué)生的思考能力和解題能力停留于低水平，基本功也并未見長[10]．換句話說，中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容雖然摒棄了“形式主義”的抽象內(nèi)容，卻又走上了“無限制地降低難度”，過度提倡“數(shù)學(xué)日常生活化”的不當(dāng)舉措．一些迷戀“進(jìn)步主義教育”的數(shù)學(xué)教育工作者，重新實(shí)行“兒童中心主義”的教育理念，一切以學(xué)生的興趣、快樂為依歸，以“創(chuàng)設(shè)兒童日常生活情景”作為數(shù)學(xué)教學(xué)的唯一目標(biāo)．然而，許多數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，并非都能激發(fā)起兒童的興趣，如背誦九九表，做大數(shù)的除法，分?jǐn)?shù)的加減法，整式、分式、根式運(yùn)算，超經(jīng)驗(yàn)無理數(shù)等，都是相當(dāng)枯燥乏味的內(nèi)容．一旦在這些關(guān)節(jié)點(diǎn)上放松了，許多數(shù)學(xué)概念理解不了，數(shù)學(xué)運(yùn)算做不下去，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不過關(guān)，數(shù)學(xué)發(fā)展也就談不上了[11]．許多歐美發(fā)達(dá)國家在國際數(shù)學(xué)測試中始終表現(xiàn)不佳，根源即在于此．

反觀中國學(xué)生的表現(xiàn)，正是數(shù)學(xué)“四基”教學(xué)模式帶來了中國學(xué)生數(shù)學(xué)成績的大面積豐收．從1990—1991的IAEP2國際測試[12]，到晚近的PISA測試[13]，中國學(xué)生在幾乎所有的基礎(chǔ)教育國際數(shù)學(xué)測試中，成績一直位居前列．這些測試，不僅反映了學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識和基本技能的情況，也在一定程度上考察了學(xué)生的運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力．整體地說，中國數(shù)學(xué)教育的優(yōu)勢在于學(xué)生的基礎(chǔ)扎實(shí)，以及與此相適應(yīng)的發(fā)展水平．

美國數(shù)學(xué)教育在1990年代有“數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭（Math. War）”的說法，爭論的焦點(diǎn)之一就是美國學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是否穩(wěn)固．2008年，全美數(shù)學(xué)教師委員會（NCTM）發(fā)布題為《幼兒園學(xué)齡前到八年級數(shù)學(xué)課程焦點(diǎn)：尋求一致性》的文件，確定了學(xué)生必須掌握的關(guān)鍵數(shù)學(xué)技能與知識，即“課程焦點(diǎn)（Curriculum Focal Points）”，其目的是幫助學(xué)校把數(shù)學(xué)的重點(diǎn)放在基本技能上[14]．2006年，布什總統(tǒng)任命一個“國家數(shù)學(xué)咨詢委員會（National Mathematics Advisory Panel）”，任務(wù)是幫助總統(tǒng)和教育部長在科學(xué)研究的基礎(chǔ)上構(gòu)建最好的美國數(shù)學(xué)教育．該委員會于2008年最后提出的報(bào)告標(biāo)題是“為了成功的基礎(chǔ)（Foundations for Success）”，仍然把未來改革的成功放在打好基礎(chǔ)之上[15]．為什么會這樣？其實(shí)就是因?yàn)橹髁鹘逃^念忽視了基礎(chǔ)，所以不得不強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)．

這一點(diǎn)，從英國教育部宣布將向中國學(xué)習(xí)的報(bào)道中也可以看出來．英國要做的就是要像中國小學(xué)生一樣，讓孩子們多做練習(xí)，提高運(yùn)算速度；引進(jìn)華東師范大學(xué)出版社的《一課一練》教學(xué)輔導(dǎo)書，作為模仿的模板．實(shí)際上，英國教育當(dāng)局所希望看到的局面，無非是讓英國小學(xué)生都有一個堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[16]．

英國對“中國數(shù)學(xué)教學(xué)模式”的理解，注意到了基礎(chǔ)的重要性，那是對的．但是，如果認(rèn)為“中國教學(xué)模式”不談發(fā)展，也是片面的認(rèn)識．隨著中外數(shù)學(xué)教育經(jīng)驗(yàn)的不斷交流，中國數(shù)學(xué)“四基”教學(xué)模式也在不斷發(fā)展．打基礎(chǔ)并非只是一味地傻練．誰也不愿看到在花崗巖的基礎(chǔ)上蓋一所茅草房，其目標(biāo)是在堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上謀求發(fā)展，讓“打基礎(chǔ)”和“求發(fā)展”緊密結(jié)合．這方面還有大量的工作要做．向一切先進(jìn)的數(shù)學(xué)教育理論與實(shí)踐學(xué)習(xí)，永遠(yuǎn)是教育工作者努力追求的目標(biāo)．

2 “四基”模塊的存在形式

2.1 “四基”是不可分割的

數(shù)學(xué)“四基”，是以認(rèn)知模塊的形式呈現(xiàn)出來的，其模型是如圖1所示的立方體[3]：

第一維度，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的積累過程；

第二維度，數(shù)學(xué)基本技能的演練過程；

第三維度，

圖1 “四基”模塊[3]

數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)本身并不構(gòu)成一個單獨(dú)的維度，而是充填在三維模塊中間的粘合劑．事實(shí)上，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)．學(xué)生通過無處不在的數(shù)學(xué)基本活動獲得的經(jīng)驗(yàn)，與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想交織在一起，滲透在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程之中．

在一堂數(shù)學(xué)課的教學(xué)過程中，知識的獲得、技能的訓(xùn)練、思想方法的提煉，互相交叉滲透．沒有單純的知識，也沒有脫離知識的技能．至于數(shù)學(xué)思想方法，則建筑在知識和技能之上，同時具有其獨(dú)立的價值．而學(xué)生獲得的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，則以上述“三基”為載體，貫穿于整個學(xué)習(xí)過程中．

數(shù)學(xué)“四基”是不能分割的．可是，早先的數(shù)學(xué)課程，只是列出基礎(chǔ)知識的目錄，如一元二次方程、正弦函數(shù)等，很少提及數(shù)學(xué)技能，不談數(shù)學(xué)思想方法，更沒有涉及學(xué)生的數(shù)學(xué)活動．其實(shí)，解一元二次方程，必然要獲得解這一類方程的基本技能，以形成建模、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，而這些都是在學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動的過程中完成的．

“四基”教學(xué)模塊，就是要提醒：隨時隨地把“四基”緊密地聯(lián)系起來，不要相互割裂．

2.2 “四基”是學(xué)生認(rèn)知過程的產(chǎn)物

另一方面，“四基”模塊是學(xué)生認(rèn)知過程的產(chǎn)物．事實(shí)上，“四基”中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想，都屬于數(shù)學(xué)內(nèi)容，是學(xué)生要努力掌握的對象．至于數(shù)學(xué)活動，則具有學(xué)生參與的主體特性．這就是說，數(shù)學(xué)教學(xué)，就是不斷地幫助學(xué)生構(gòu)建“四基”模塊的過程．如果說數(shù)學(xué)“雙基”教學(xué)只是基于客觀數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)技能重要性的描述，那么“四基”教學(xué)就是具有學(xué)生主體參與的教學(xué)模型．這是一個巨大的進(jìn)步．

由于“四基”模塊是學(xué)生建構(gòu)的結(jié)果，必然具有個體特色．對它的研究，還需要深入展開．

3 “四基”教學(xué)模式的特征

數(shù)學(xué)“四基”教學(xué)理念指明了在實(shí)行數(shù)學(xué)教學(xué)時應(yīng)當(dāng)關(guān)注的焦點(diǎn)，它與中小學(xué)數(shù)學(xué)教師在實(shí)際課堂教學(xué)過程中所關(guān)注的“三維目標(biāo)”非常契合．“三維目標(biāo)”指的是：知識與技能，過程與方法，情感、態(tài)度與價值觀．而“四基”模塊的教學(xué)設(shè)計(jì)，無非是要理清本節(jié)課的基礎(chǔ)知識和基本技能，提煉出本節(jié)課的基本思想方法，并且關(guān)注學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動的過程．

由于數(shù)學(xué)教學(xué)的“三維目標(biāo)”深入人心，并為廣大一線教師普遍認(rèn)同，因而數(shù)學(xué)“四基”教學(xué)也具有廣泛的群眾基礎(chǔ)．可以說，現(xiàn)今每一節(jié)數(shù)學(xué)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，都在很大程度上得到“四基”數(shù)學(xué)教學(xué)理念的引領(lǐng)．伴隨著“三維目標(biāo)”的推行，“四基教學(xué)”已經(jīng)在中國課堂教學(xué)實(shí)踐中扎根．那么，數(shù)學(xué)“四基”教學(xué)有哪些主要的特征呢？初步分析可得以下6點(diǎn)．

3.1 掌握“四基”需要勤奮艱苦的學(xué)習(xí)

基礎(chǔ)訓(xùn)練往往是枯燥乏味的．正如學(xué)外語要背單詞，學(xué)鋼琴要先彈練習(xí)曲，學(xué)跳舞要練“擱腿”那樣，打基礎(chǔ)并不總會怎樣有趣．?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)的形成也不例外．

【案例1】背誦九九表．中國的小學(xué)數(shù)學(xué)教師，會要求所有學(xué)生流利地背誦“九九表”，絕無例外．即使在“文革”時期，教學(xué)秩序極度混亂，但是在教師的帶領(lǐng)下，從大山里走出來的農(nóng)民工，仍然能夠背誦九九表．這就是傳統(tǒng)的力量．

【案例2】因式分解．將一個正整數(shù)分解為它的質(zhì)因數(shù)的乘積，沒有“日常生活情景”與之匹配，學(xué)習(xí)起來沒有多少趣味可言．但這是基本功．更進(jìn)一步，初中階段學(xué)習(xí)“因式分解”也是如此．為什么要學(xué)因式分解？開始學(xué)習(xí)時沒有道理可言，要到以后學(xué)習(xí)解二次方程時才會體現(xiàn)出來．當(dāng)學(xué)生一時不明白某些基礎(chǔ)知識的重要性時，教師就應(yīng)發(fā)揮主導(dǎo)作用，不能放任自流．當(dāng)然，教師也可以做一些努力，例如說：“兩個多項(xiàng)式相乘得到一個多項(xiàng)式比較容易，但是將一個多項(xiàng)式拆成兩個非平凡的多項(xiàng)式相乘，則很困難”，正是“見時容易別時難”?。@樣“擬人化”的說法，可以增加打基礎(chǔ)的趣味性．但因式分解等知識的超經(jīng)驗(yàn)性，絕對不會和學(xué)生的日常生活需要發(fā)生什么聯(lián)系．

3.2 強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)基本運(yùn)算的速度是為了贏得思維的高效率

數(shù)學(xué)“四基”教學(xué)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)運(yùn)算要有一定的速度．提高運(yùn)算的速度，是為更加高級的思維活動提供更大的空間．對于一些基本概念，要做到能夠不假思索地在腦海里形成直覺．簡單地說，就是“熟能生巧”．

【案例3】運(yùn)算速度的測量．中國曾有“初中生整式運(yùn)算測試量表”以及“小學(xué)生數(shù)學(xué)基本計(jì)算技能測試量表”，用于測知被試者的運(yùn)算速度與準(zhǔn)確性，從而反映學(xué)習(xí)者對于數(shù)學(xué)基本技能掌握的熟練度[4]．

【案例4】同類項(xiàng)與學(xué)生活動．同類項(xiàng)的合并，是一種基本運(yùn)算，也沒有任何日常生活實(shí)際作為直接背景．但是在運(yùn)算過程中必須做到快速識別、熟練操作．為此，上海市長寧區(qū)的周佩珠老師設(shè)計(jì)了學(xué)生的“找朋友”數(shù)學(xué)活動[17]．她將寫有單項(xiàng)式的卡片發(fā)給學(xué)生，在課堂上組織學(xué)生找自己的同類項(xiàng)朋友．要求找到朋友的時間越短越好，力求將同類項(xiàng)的概念形成一種直覺．這是“四基”教學(xué)運(yùn)用“擬人化”手法將枯燥的基礎(chǔ)知識趣味化的又一實(shí)例．

3.3 數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)技能要提升為數(shù)學(xué)思想方法

徐利治所提倡的數(shù)學(xué)思想方法[8]，現(xiàn)已成為中國數(shù)學(xué)教師的共識，并進(jìn)一步被列為“四基”之一．華羅庚倡導(dǎo)讀書要先做筆記讀厚，再總結(jié)消化讀薄[19]．這也是要讀者把握數(shù)學(xué)思想方法的精髓．

【案例5】對頂角相等．這是平面幾何單元的起始命題．這一命題的正確性極其顯然．還要不要證明？古希臘人認(rèn)為要證明．就是將它置于“等量減等量，其差相等”的公理之上．這節(jié)“四基教學(xué)”的課，就要以突出公理化的邏輯證明方法為主線．屆時建議引用《幾何原本》譯者徐光啟有關(guān)此書“四不必”的著名評論，介紹古希臘理性文明的洗禮[18]．

【案例6】數(shù)形結(jié)合．笛卡爾坐標(biāo)系將函數(shù)、方程和幾何學(xué)的曲線圖形連接起來，是一種“數(shù)形結(jié)合”．華羅庚有著名的詩句“數(shù)形結(jié)合百般好”[19]．在解題過程中，要大量使用數(shù)形結(jié)合的方法．尤其在中國的函數(shù)圖象教學(xué)中，要求學(xué)生必須熟練掌握函數(shù)解析式各個部分在圖象中的作用，把幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)緊密聯(lián)系起來．

3.4 變式訓(xùn)練加強(qiáng)反思與鞏固

晚近的一些教學(xué)理論，只關(guān)心學(xué)習(xí)過程的前半截，即“情景創(chuàng)設(shè)”和“探究發(fā)現(xiàn)”．對于如何鞏固既有的知識、技能和方法，反思其中的智慧和美妙，則幾乎不涉及，這是不正確的．認(rèn)識過程不能只要前半段，忽視后半段．“四基”教學(xué)模式要求一定的重復(fù)練習(xí)，并且積累了大量的“變式訓(xùn)練”經(jīng)驗(yàn)，形成了變式教學(xué)理論．

【案例7】教輔書．華東師范大學(xué)出版社《一課一練》向英國輸出版權(quán)．實(shí)際上，世界各國的書店里都陳列有大量的“考試輔導(dǎo)書”，為何中國的“教學(xué)輔導(dǎo)書”獨(dú)具風(fēng)采？其實(shí)，就是由于“變式教學(xué)”理論的指導(dǎo)，化解了重復(fù)練習(xí)帶來的枯燥，呈現(xiàn)出變式練習(xí)的發(fā)展與創(chuàng)新[20]．

3.5 理解原理與記憶算法不可偏廢

理解數(shù)學(xué)原理的重要性，盡人皆知．容易忽略的是一些算法的記憶．中國有一個流行的說法是：“理解的要執(zhí)行，不理解的也要執(zhí)行，在執(zhí)行中加深理解．”

【案例10】負(fù)負(fù)得正．負(fù)負(fù)得正的原理，很難用日常生活的事例加以解釋[3]．但是必須執(zhí)行，做得多了，也就慢慢理解了．分?jǐn)?shù)除法的顛倒相乘也是如此．

3.6 基礎(chǔ)與創(chuàng)新緊密結(jié)合

中國的數(shù)學(xué)“四基”教學(xué)不是簡單地傻練，而是盡量使用各種先進(jìn)的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，使之具備某種創(chuàng)意，有利于學(xué)生的發(fā)展．僅靠熟練掌握已有的知識和技能無法實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新，對于創(chuàng)新人才的培養(yǎng)還需重視其數(shù)學(xué)思想和活動經(jīng)驗(yàn)的獲得[21]．例如“四基”與開放題相結(jié)合，就是這樣的例子．

【案例12】巨人的手．這是弗賴登塔爾的一個教學(xué)設(shè)計(jì)[3]．內(nèi)容大意是說：外星人昨晚訪問我校，留下一個巨大的手印．今晚他還會來，要看我們的數(shù)學(xué)教材．那么，他使用的書的長和寬是多少呢？這是一個可以用“四基”教學(xué)理念加以解釋的經(jīng)典設(shè)計(jì)：基礎(chǔ)知識——圖形的相似；基本技能——測量、按比例放大；基本思想方法——相似圖形的比例不變性、數(shù)學(xué)建模；基本活動經(jīng)驗(yàn)——實(shí)際測量、問題解決．

國內(nèi)外優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教育成果，正在不斷地充實(shí)數(shù)學(xué)“四基”教學(xué)．這些案例表明，數(shù)學(xué)“四基”教學(xué)是豐富多彩的．

4 “四基”是構(gòu)成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的細(xì)胞

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生獲得6項(xiàng)核心素養(yǎng)，分別是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算，以及數(shù)據(jù)分析[2]．“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”是數(shù)學(xué)“四基”教學(xué)所要追求的目標(biāo)．每一種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，都是學(xué)生在一堂堂數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)中逐步積累形成的，不外乎由某些“知識、技能、思想和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)”所構(gòu)成．

人體的細(xì)胞是構(gòu)成各個器官的基礎(chǔ)．雖然腦細(xì)胞和心臟細(xì)胞都是細(xì)胞，但功能不同，因而體現(xiàn)出特有的器官功能．“四基”模塊也是一樣．

“四基”模塊的性態(tài)千差萬別，豐富多彩．每個“四基”模塊都有自己的鮮明特色，為形成某些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)服務(wù)．例如，最簡單的認(rèn)識20以內(nèi)自然數(shù)的“四基”模塊，它可以呈現(xiàn)為“物體個數(shù)”的抽象特性，也可以呈現(xiàn)為現(xiàn)實(shí)計(jì)數(shù)問題的建模特性．反過來，“數(shù)學(xué)抽象”這一基本素養(yǎng)則是包括自然數(shù)抽象模塊在內(nèi)的無數(shù)具備抽象特性的“四基”模塊彼此疊加、組合、交融、升華的結(jié)果．

“四基”教學(xué)所產(chǎn)生的效果，就是今日廣大教育工作者希冀學(xué)生能夠形成的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．因此，數(shù)學(xué)“四基”教學(xué)是中國數(shù)學(xué)教育的核心理念．

5 “四基”教學(xué)理論需要系統(tǒng)化研究

中國學(xué)生為什么基礎(chǔ)扎實(shí)？這是如何做到的？國內(nèi)外的同行會問，中國學(xué)者自己也需要反思與研究，給出科學(xué)的結(jié)論．?dāng)?shù)學(xué)“四基”已逐漸成為近年來中國數(shù)學(xué)教育研究的重點(diǎn)與熱點(diǎn)話題[23]．以下列出諸多需要進(jìn)一步研究的問題．

● 什么是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)？需要給出一個清晰的輪廓描述．

● 什么是數(shù)學(xué)“基礎(chǔ)知識”？

● 什么是數(shù)學(xué)“基本技能”？計(jì)算速度重要嗎？它如何為高層次的思維活動提供更大的空間？

● 如何制定科學(xué)的測試量表？

● “四基”模塊的形成機(jī)制是怎樣的？

● “四基”教學(xué)模式的認(rèn)知心理學(xué)基礎(chǔ)是什么（如，記憶與理解、熟能生巧等）？

● 如何對“四基”模塊進(jìn)行分類？

● 不同“四基”模塊之間是怎樣組合與鏈接的？

● “四基”與其它數(shù)學(xué)教育理論（如，“數(shù)學(xué)化”“問題解決”等）的關(guān)系如何？

● 收集、評論一些精致的“四基”模塊案例．

● 將解題提升到數(shù)學(xué)思想方法的高度，其獨(dú)特的創(chuàng)新性在哪里？

● 學(xué)生的數(shù)學(xué)活動，怎樣為基礎(chǔ)知識和基本技能的學(xué)習(xí)插上騰飛的翅膀？

● 學(xué)習(xí)的鞏固環(huán)節(jié)為何不可缺少？變式練習(xí)怎樣避免枯燥的重復(fù)？

● 啟發(fā)式講解仍然是基本的教學(xué)手段嗎？

● 師生互動是合作學(xué)習(xí)的一種嗎？

● 如何將開放題與四基結(jié)合，獲得教學(xué)效率的提升？

● 超經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，怎樣依賴于數(shù)學(xué)情景的創(chuàng)設(shè)？

廣大研究者應(yīng)該大膽而慎重地概括自己的經(jīng)驗(yàn)．不要把一切的成功都?xì)w結(jié)于學(xué)習(xí)西方教育理念．只有深入解剖自己，弄清內(nèi)在的機(jī)制，中國數(shù)學(xué)教育才會有自己的話語權(quán)．

6 后記

文章初稿由已故數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生擬定，其中許多觀點(diǎn)與案例曾刊載于先生多年來所發(fā)表的文章、書刊當(dāng)中，另一些觀點(diǎn)則是先生近年來思考所得，并多次與研究者交流研討．

謹(jǐn)以此文深切緬懷張奠宙先生，并呼吁更多的研究者投入數(shù)學(xué)“四基”教學(xué)研究，將具有中國特色的數(shù)學(xué)教育理論與實(shí)踐呈現(xiàn)在廣闊的國際數(shù)學(xué)教育交流平臺上．

[1] 中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：1．

[2] 中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018：2．

[3] 張奠宙，鄭振初．“四基”數(shù)學(xué)模塊教學(xué)的構(gòu)建——兼談數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（5）：16-19.

[4] 張奠宙．中國數(shù)學(xué)雙基教學(xué)[M]．上海：上海教育出版社，2006：1-6，200．

[5] 張奠宙．中國數(shù)學(xué)教育拒絕實(shí)用主義——從徐光啟、傅種孫到姜伯駒[J]．教育科學(xué)研究，2014（12）：5-9．

[6] 課程教材研究所．20世紀(jì)中國中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)·教學(xué)大綱匯編（數(shù)學(xué)卷）[M]．北京：人民教育出版社，2001：434-440，526-528．

[7] 朱雁，鮑建生．從“雙基”到“四基”：中國數(shù)學(xué)教育傳統(tǒng)的繼承與超越[J]．課程·教材·教法，2017，37（1）：62-68．

[8] 徐利治．?dāng)?shù)學(xué)方法論選講[M]．3版．武漢：華中科技大學(xué)出版社，2000：1．

[9] 張奠宙，于波．?dāng)?shù)學(xué)教育的“中國道路”[M]．上海：上海教育出版社，2013：227-228．

[10] 聶必凱，鄭庭曜，孫偉，等．美國現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育改革[M]．北京：人民教育出版社，2010：15-17．

[11] 陳近，黃秀萍．中美數(shù)學(xué)教學(xué)異與同（二）——國際數(shù)學(xué)教育專家吳仲和教授訪談錄[J]．教學(xué)月刊（小學(xué)版）數(shù)學(xué)，2016（9）：4-7．

[12] 范良火，黃毅英，蔡金法，等．華人如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)[M]．南京：江蘇教育出版社，2005：12-14．

[13] 高鳳萍．PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)測試對中國基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育的啟示[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（5）：63-66．

[14] 童莉，宋乃慶．彰顯數(shù)學(xué)教育的基礎(chǔ)性——美國數(shù)學(xué)課程焦點(diǎn)與我國“數(shù)學(xué)雙基”的比較及思考[J]．課程·教材·教法，2007，27（10）：88-92．

[15] ?National Mathematics Advisory Panel. Foundations for success: The final report of the national mathematics advisory panel [R]. U.S. Department of Education: Washington, DC, 2008: 11-12.

[16] 范良火，倪明，徐慧平．從《上海數(shù)學(xué)·一課一練》引入英國小學(xué)透視中英數(shù)學(xué)教育的差異[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（4）：1-6，67.

[17] 周佩珠，施慶一．以課堂的認(rèn)知性活動促進(jìn)學(xué)生健康發(fā)展[J]．江蘇教育，1990（1）：30-31．

[18] 張奠宙．徐光啟在數(shù)學(xué)上有功也有過[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2016（9）：50．

[19] 王元，陳德泉，計(jì)雷，等．華羅庚科普著作選集[M]．上海：上海教育出版社，1984：181．

[20] 黃榮金．變異理論下的數(shù)學(xué)課堂研究[M]．南寧：廣西教育出版社，2010：48，185．

[21] 顧沛．?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)教育中的“雙基”如何發(fā)展為“四基”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（1）：14-16．

[22] 張奠宙，戴再平．中國數(shù)學(xué)教學(xué)中的“雙基”和開放題問題解決[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005，14（4）：5-12．

[23] 曾崢，楊豫暉，武金艷．?dāng)?shù)學(xué)“四基”的研究現(xiàn)狀及展望[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（2）：66-70．

“Four Basics”: TheCore Concept of the Mathematics Education System with Chinese Characteristics

CHENG Jing1, 2, 3, BAO Jian-sheng1, 3

(1. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China; 2. Shanghai Key Laboratory of PMMP, Shanghai 200241, China;3. Shanghai Research Base for School Mathematics Education, Shanghai 200241, China)

“Four basics” was the core concept of the mathematics education system with Chinese characteristics. It developed from a good tradition of mathematics teaching in China known as “two basics”, advocates attaching importance to basic mathematics knowledge, basic skills, basic ideas, and basic activity experience, and seeks the all-round development of students. The “four-basics module” was a teaching model that emphasizes the participation of students, and was the cell that constitutes the core mathematics competencies. Forming the “four basics” requires diligence and perseverance. The “four basics” teaching model emphasizes the close integration of skills and ideas, memory and understanding, consolidation and reflection, and also foundation and innovation.

Chinese mathematics education; two basics; four basics; core mathematics competencies

2019–03–16

教育部人文社會科學(xué)重點(diǎn)研究基地重大項(xiàng)目——中國學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評研究（16JJD880023）；上海市核心數(shù)學(xué)與實(shí)踐重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（18dz2271000）；上海高校“立德樹人”人文社會科學(xué)重點(diǎn)研究基地——華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地項(xiàng)目（A8）

程靖（1975—），女，上海人，講師，博士，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．

程靖，鮑建生．“四基”：中國特色數(shù)學(xué)教育體系的核心理念[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（3）：2-6．

G423.07

A

1004–9894（2019）03–0002–05

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]