沈 陽，張晉宇，李 娜，鮑建生

?

20世紀(jì)以來中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中算術(shù)與代數(shù)表征功能的變化及啟示

沈 陽1，張晉宇2，3，李 娜1，鮑建生1，3

（1．華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200241；2．華東師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，上海 200062；3．上海市“立德樹人”數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地，上海 200241）

根據(jù)《20世紀(jì)中國中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)·教學(xué)大綱匯編（數(shù)學(xué)卷）》和21世紀(jì)以來的課程標(biāo)準(zhǔn)中算術(shù)與代數(shù)的內(nèi)容，圍繞數(shù)學(xué)表征的表達(dá)交流、操作轉(zhuǎn)換、建模應(yīng)用3種功能，采用歷史研究方法，編碼分析1902—2017年中國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程文件（標(biāo)準(zhǔn)）中算術(shù)與代數(shù)表征的變化趨勢．研究結(jié)果表明：數(shù)學(xué)表征的功能會隨著課程標(biāo)準(zhǔn)的變化而變化，并且3種表征功能的側(cè)重點(diǎn)和相互關(guān)聯(lián)性在不同學(xué)段也有不同的特點(diǎn)．表達(dá)交流功能在小學(xué)階段依賴于建模應(yīng)用，而初高中階段依賴于操作轉(zhuǎn)換；操作轉(zhuǎn)換功能在3個(gè)學(xué)段均處于主導(dǎo)地位；建模應(yīng)用功能在小學(xué)、初中階段并沒有受到重視，而在高中階段新課程改革后逐步受到重視．

數(shù)學(xué)表征；表征功能；算術(shù)；代數(shù)

1 引言

表征（representation）是認(rèn)知心理學(xué)中的一個(gè)重要概念，意指知識在學(xué)習(xí)者頭腦中的呈現(xiàn)和表達(dá)方式[1]．?dāng)?shù)學(xué)表征既可指人腦內(nèi)部心智活動的表現(xiàn)，又可指思維活動的外在表現(xiàn)形式；既可指表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系的過程，又可指數(shù)學(xué)關(guān)系的表達(dá)形式；既可指進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的工具，又可指進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的內(nèi)容．而且數(shù)學(xué)表征有助于學(xué)生理解概念、關(guān)系或關(guān)聯(lián)自己解決問題過程所使用的數(shù)學(xué)[2-3]，也有助于學(xué)生組織思維，更具體地認(rèn)識數(shù)學(xué)概念及反思[4]，所以一直以來數(shù)學(xué)表征都受到國際上的普遍重視．比如丹麥KOM項(xiàng)目中將數(shù)學(xué)表征視為八大能力之一[5]，學(xué)生能力國際評價(jià)項(xiàng)目PISA（Program for International Student Assessment）在PISA2000—PISA2015都將數(shù)學(xué)表征作為數(shù)學(xué)能力之一[6-10]，全美數(shù)學(xué)教師理事會NCTM（National Council of Teachers of Mathematics）中將數(shù)學(xué)表征作為十大能力之一[4，11]．因此，依據(jù)《20世紀(jì)中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)·教學(xué)大綱匯編（數(shù)學(xué)卷）》，探討數(shù)學(xué)表征隨數(shù)學(xué)課程改革的歷史演變，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律并尋求啟示．

2 研究問題及方法

這里主要研究以下兩個(gè)內(nèi)容：一是構(gòu)建數(shù)學(xué)表征功能的分析框架；二是考察20世紀(jì)中國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)表征的變化趨勢及其成因．希望通過這一研究，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)表征在不同年代和不同學(xué)段的發(fā)展規(guī)律，為理解新課標(biāo)及后續(xù)的修訂提供參考．

采取的主要研究方法是“歷史研究”（historical research）．歷史研究法的目標(biāo)是通過系統(tǒng)地搜索和組織數(shù)據(jù)，以更好地了解歷史現(xiàn)象及其可能的因果關(guān)系[12]．一般歷史研究的過程包括甄別史料來源，考證歷史證據(jù)和解釋歷史數(shù)據(jù)3個(gè)步驟．因?yàn)橹袊侵醒爰瘷?quán)的國家，國家頒布的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，以及與之適應(yīng)的考試大綱享有極高的權(quán)威[13]，而這里的研究對象為《20世紀(jì)中國中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)·教學(xué)大綱匯編（數(shù)學(xué)卷）》以及21世紀(jì)以來的課程標(biāo)準(zhǔn)，是國家給出的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，故研究對象具有一定的可靠性，所以只進(jìn)行第三個(gè)步驟．

在解釋歷史數(shù)據(jù)過程中采用質(zhì)性研究和定量研究相結(jié)合的研究方法．定量研究是根據(jù)編碼框架進(jìn)行編碼而獲得數(shù)據(jù)，質(zhì)性研究是解釋定量研究的結(jié)果，這種方法被稱為順序—解釋型研究設(shè)計(jì)（sequential-explanatory research design）[14]．故采用順序—解釋型研究設(shè)計(jì)法．

3 研究過程

3.1 數(shù)學(xué)表征概述及其功能性定義

數(shù)學(xué)表征內(nèi)涵豐富且復(fù)雜[15]，一般從對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知角度和數(shù)學(xué)表征的功能兩個(gè)維度進(jìn)行定義，而第一個(gè)維度大致集中在內(nèi)部表征、外部表征及表征轉(zhuǎn)換3個(gè)方面[16]．內(nèi)部表征是指個(gè)體對所學(xué)知識的心理構(gòu)造，一般不容易被觀察到[17]，例如心理學(xué)認(rèn)為知識表征指人在自己的工作記憶和長時(shí)記憶中對信息的儲存、表示和再現(xiàn)方式[18–19]．外部表征是一種物理的、可觀察的行為或?qū)ο?，例如《?shù)學(xué)教育百科全書》中描述數(shù)學(xué)表征是可見的、有形的產(chǎn)品，如圖表、數(shù)字、圖形、具體實(shí)物或教具、物理模型、數(shù)學(xué)表達(dá)式、計(jì)算機(jī)屏幕上的描述或者計(jì)算機(jī)編碼等，代表數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)關(guān)系[20–21]．表征轉(zhuǎn)換最初由Richard Lesh提到，后丹麥數(shù)學(xué)教育家Mogens Niss也強(qiáng)調(diào)其作用，認(rèn)為數(shù)學(xué)表征能力是指理解、詮釋和辨識數(shù)學(xué)對象、現(xiàn)象和情境的多種表征，能了解和使用表征之間的關(guān)系并掌握不同表征之間的優(yōu)勢和限制，能在各類表征中進(jìn)行選擇和轉(zhuǎn)換[5，22]．徐斌艷等人對數(shù)學(xué)表征和轉(zhuǎn)換能力分別定義，認(rèn)為數(shù)學(xué)表征是用某種形式，如書面符號、圖形（表）、情境、操作性模型、文字（包括口頭文字）等，表達(dá)要學(xué)習(xí)的或處理的數(shù)學(xué)概念或關(guān)系，以便最終解決問題；數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換能力是指在數(shù)學(xué)問題解決過程中，保持?jǐn)?shù)學(xué)問題的某些不變性質(zhì)，改變信息形態(tài)，將要解決的問題進(jìn)行數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化[16，23]．從功能角度出發(fā)，具有代表性的是NCTM中對數(shù)學(xué)表征的定義，美國NCTM在2000年出版的《學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》（）中，首次加入表征的標(biāo)準(zhǔn)，認(rèn)為所有學(xué)生都能夠創(chuàng)造和利用各種數(shù)學(xué)表征來組織、記錄和交流數(shù)學(xué)觀念，能選擇、應(yīng)用和互換各種數(shù)學(xué)表征方法解決問題，會應(yīng)用表征模擬并解釋物理社會和數(shù)學(xué)中的現(xiàn)象[4]．鮑建生等人通過Bruner和Lesh對表征類別歸納出兩種功能：溝通工具以及思維的材料．作為溝通工具，是用特定的表征形式來描述活動經(jīng)驗(yàn)；作為思維的材料，則是用表征來代表物化的數(shù)學(xué)概念或內(nèi)蘊(yùn)化的活動類型，對表征所代表的意義進(jìn)行思維操作[17]．

“實(shí)用主義”不僅是中國數(shù)學(xué)的一大傳統(tǒng)，而且也成為中國數(shù)學(xué)教學(xué)研究的一種重要的價(jià)值選擇[24]，又由于課題需要，需要對《20世紀(jì)中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)·教學(xué)大綱匯編（數(shù)學(xué)卷）》和21世紀(jì)以來的課程標(biāo)準(zhǔn)（小學(xué)、初中包括01、11版，高中包括03、17版）的各學(xué)段以及各內(nèi)容領(lǐng)域進(jìn)行分析（這里只針對算術(shù)與代數(shù)部分），所以從表征功能的角度出發(fā)，對其教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分析，探索20世紀(jì)中小學(xué)算術(shù)與代數(shù)表征的發(fā)展趨勢，試圖從中得到一些啟示．上述文獻(xiàn)中鮑建生總結(jié)的兩種表征的功能其實(shí)可以歸納為表達(dá)交流和操作轉(zhuǎn)換，NCTM中還描述了建模應(yīng)用功能．在此基礎(chǔ)上，將表征從功能的視角分為表達(dá)交流、操作轉(zhuǎn)換和建模應(yīng)用，表達(dá)交流功能是指利用符號（書面符號、口語表達(dá)）以及圖形圖表進(jìn)行溝通，操作轉(zhuǎn)換功能是指計(jì)算（度量）、邏輯推理的思維操作或?qū)嵨铮ㄋ惚P）、計(jì)算機(jī)（計(jì)算器）等模型操作，建模應(yīng)用功能是指利用數(shù)學(xué)知識去解決實(shí)際生活情境中的問題．

3.2 數(shù)學(xué)表征功能性框架

表1即表征功能性框架，包括三級指標(biāo)：第一級指標(biāo)是按照表征的功能進(jìn)行分類，包括表達(dá)交流，操作轉(zhuǎn)換和建模應(yīng)用；第二指標(biāo)是對表征功能內(nèi)涵的描述：表達(dá)交流包括符號表達(dá)和圖形圖表，操作轉(zhuǎn)換指思維操作和模型操作，建模應(yīng)用即情境應(yīng)用；第三級指標(biāo)是根據(jù)文本《20世紀(jì)中國中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)·教學(xué)大綱匯編（數(shù)學(xué)卷）》和21世紀(jì)以來的課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容以及第二指標(biāo)進(jìn)行更為具體的分類，符號表達(dá)包括書面符號、口語表達(dá)，圖形圖表包括圖形、圖表的認(rèn)識或繪制，思維操作包括計(jì)算（度量）以及邏輯推理，模型操作包括實(shí)物模型（算盤）、計(jì)算器的使用以及計(jì)算機(jī)的模擬，情境應(yīng)用包括情境問題的解決和對數(shù)學(xué)知識的實(shí)際應(yīng)用．

表1 數(shù)學(xué)表征功能性框架

3.3 編碼流程

表征功能編碼框架制定及編碼流程如圖1所示．

圖1 表征功能編碼框架制定及編碼流程

圖1（左）是表征功能編碼框架制定的流程圖，首先3人分別閱讀文本并各自編碼，在進(jìn)行多次討論之后統(tǒng)一一級指標(biāo)，之后根據(jù)確定的一級指標(biāo)分別重新編碼，再在多次討論后確定編碼．圖1（右）是各個(gè)學(xué)段的數(shù)學(xué)表征功能編碼的流程圖，首先確定編碼框架中第四指標(biāo)，再編碼文件的部分內(nèi)容，并且在多次討論后重新編碼，最后隨機(jī)選取部分年份編碼并進(jìn)行信度分析．其中第四指標(biāo)是根據(jù)第三指標(biāo)對《20世紀(jì)中國中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)·教學(xué)大綱匯編（數(shù)學(xué)卷）》的內(nèi)容提取的關(guān)鍵詞，并且因年級、知識內(nèi)容的不同而不同．編碼所得數(shù)據(jù)即第四指標(biāo)關(guān)鍵詞在文本中所提次數(shù)．在編碼過程中，為了充分展現(xiàn)各個(gè)年份中的數(shù)學(xué)表征，遵循以下原則：若某年份的大綱有多個(gè)方案則遵循方案一；若某年份大綱中包括五年制和六年制則遵循六年制；若某年份大綱有文科理科之分則遵循理科，若有高低兩種標(biāo)準(zhǔn)的大綱則遵循高標(biāo)準(zhǔn)．并且編碼的最小單位為短句，以逗號為標(biāo)準(zhǔn)；編碼標(biāo)準(zhǔn)參照表中的詞若含有兩個(gè)含義，則編碼兩次，但是不超過兩次．

3.4 編碼信度

編碼的最后一步是對小學(xué)、初中及高中分別進(jìn)行差異性檢驗(yàn)來判斷編碼是否有效．首先分別對各學(xué)段隨機(jī)抽取6個(gè)年份重新編碼，再將所得的數(shù)據(jù)與原來編碼中所對應(yīng)的數(shù)據(jù)利用SPSS進(jìn)行成對樣本檢驗(yàn)，其中小學(xué)、初中、高中的相關(guān)性系數(shù)如表2所示．

由表2可得，3個(gè)學(xué)段中隨機(jī)抽取的編碼與原編碼的相關(guān)性系數(shù)都較高，且顯著性水平均小于0.05，故兩次編碼數(shù)據(jù)顯著相關(guān)，而且其檢驗(yàn)值的顯著性水平均大于0.05，故認(rèn)為前后兩次編碼不存在差異．因此，編碼數(shù)據(jù)是可以信賴的．

4 研究結(jié)果及分析

4.1 小學(xué)和初中數(shù)學(xué)表征變化及分析

圖2、圖3所示，小學(xué)算術(shù)和初中代數(shù)的表征折線圖呈現(xiàn)非常相似的趨勢．整體上看，小學(xué)階段的表達(dá)交流功能伴隨建模應(yīng)用的變化而變化，到初中階段后則趨于伴隨操作轉(zhuǎn)換的變化，說明學(xué)生表達(dá)交流能力的訓(xùn)練在小學(xué)階段更多地依賴于實(shí)際應(yīng)用，而到初中后則依賴于思維操作和模型操作．從時(shí)間維度上大致可以分為3個(gè)階段：1923年之前，注重德育到杜威實(shí)用主義的引入，表征功能幾乎保持不變；1923—1978年之間，引進(jìn)國外教育理念，到學(xué)習(xí)蘇聯(lián)，再到注重雙基，有兩次較為劇烈的波動，尤其體現(xiàn)在操作轉(zhuǎn)換功能方面；1978年以后，中國特色的基礎(chǔ)教育改革穩(wěn)步推進(jìn)，表征功能慢慢趨向于穩(wěn)定．

表2 表征功能編碼的成對樣本t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)

圖2 小學(xué)數(shù)學(xué)算術(shù)表征功能

圖3 初中數(shù)學(xué)代數(shù)表征功能

（1）第一階段（1923年之前）．

1923年之前分為兩個(gè)時(shí)期，辛亥革命之前的清朝以及1912年之后建立的中華民國時(shí)期．前一時(shí)期只頒布了《壬寅學(xué)制》和《癸卯學(xué)制》，涉及內(nèi)容極少．而在第二時(shí)期的1912年初，教育部成立，并以“注意道德教育，以實(shí)利教育、軍國民教育輔之，更以美感教育完成其道德”為教育宗旨[25]．在1914—1918年第一次世界大戰(zhàn)時(shí)期，帝國主義暫時(shí)放松了對中國的經(jīng)濟(jì)侵略，以及1919年爆發(fā)的“五四”運(yùn)動，促使國內(nèi)出現(xiàn)了前所未有的教育改革運(yùn)動，使得全國的教育有所發(fā)展[25]．在此期間，美國大教育家杜威（J. Dewey, 1859—1952）的教育思想通過蔡元培、黃炎培的介紹傳入中國，陶行知、鄭曉滄、胡適等中國學(xué)者對杜威的學(xué)說做了大量宣傳．且杜威于1919年來華后，在中國各地作巡回講學(xué)，將其實(shí)用主義教育理論在中國的傳播推向了高潮[26–27]，比如1922年公布的《壬戌學(xué)制》的指導(dǎo)思想就是杜威的實(shí)用主義，該學(xué)制即以美國學(xué)制為藍(lán)本的現(xiàn)代學(xué)制，也稱為六三三學(xué)制．所以1923年之前，雖然數(shù)學(xué)表征的3種功能均未體現(xiàn)變化，但為后一時(shí)期的變化做了鋪墊．

（2）第二階段（1923—1978）．

這一時(shí)期的小學(xué)和初中都以1952年為臨界點(diǎn)，前后分別有較大波動，將這段時(shí)期分為兩個(gè)階段，第一時(shí)期（1923—1952年）引進(jìn)國外各種不同的教學(xué)學(xué)說以及20世紀(jì)初國際數(shù)學(xué)教育改革的進(jìn)展信息；第二時(shí)期（1952—1978年）從1952年開始全面、系統(tǒng)地學(xué)習(xí)蘇聯(lián)，提出“學(xué)習(xí)蘇聯(lián)先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)，先照搬過來，然后再中國化”[28]，后在1963年大綱中強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識和基本技能的重要性．

第一時(shí)期（1923—1952）伊始，1923年的大綱在《學(xué)校系統(tǒng)改革令》的基礎(chǔ)上制定[29]，數(shù)學(xué)表征的表達(dá)交流、操作轉(zhuǎn)換以及建模應(yīng)用功能都開始被重視．而1936年修訂的課程標(biāo)準(zhǔn)公布一年后抗戰(zhàn)就開始，中國教育為適應(yīng)抗戰(zhàn)建國的需要對內(nèi)容進(jìn)行調(diào)整．文件《抗戰(zhàn)建國中各科的作業(yè)要項(xiàng)的設(shè)計(jì)》中表明要?jiǎng)h除與學(xué)生生活無關(guān)的問題，以國防上的實(shí)用為主，采用國防上的數(shù)字及軍事上的計(jì)算為習(xí)題資料，例如應(yīng)用問題中“工程問題”改為“掘壕問題”“艦力問題”等[25]．所以當(dāng)時(shí)3種功能均受到重視，只是操作轉(zhuǎn)換功能更為顯著．而又可能因?yàn)楫?dāng)時(shí)所需知識水平較低，故1941年大綱中小學(xué)的操作轉(zhuǎn)換功能大幅度上升，而初中只是輕微上升．1949年后，開始全面學(xué)習(xí)蘇聯(lián)，以蘇聯(lián)十年制學(xué)校的教學(xué)大綱為藍(lán)本[30]，實(shí)行凱洛夫的“知識中心”“課堂中心”“教師中心”教學(xué)系統(tǒng)．而教育部成立之后，調(diào)查學(xué)生負(fù)擔(dān)過重的原因之一是數(shù)理化三科教材內(nèi)容多且編排不合理[31]．于是教育部開展座談會，得出以下原則：精簡的目的在于要求教學(xué)切實(shí)有效，而不是降低學(xué)生程度；數(shù)學(xué)教材盡可能與實(shí)際結(jié)合，首先要與理化兩科的學(xué)習(xí)結(jié)合，又要與經(jīng)濟(jì)建設(shè)需要的科學(xué)知識相結(jié)合等[31]．所以當(dāng)時(shí)小學(xué)、初中階段“52大綱”中表征的3個(gè)功能都降低了要求，并且首次提到關(guān)注基礎(chǔ)知識和技能訓(xùn)練，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)性和邏輯性[28]．

第二時(shí)期（1952—1978）在經(jīng)歷“大躍進(jìn)”之后，中央發(fā)布了“關(guān)于教育工作的指示”，在全國范圍內(nèi)引起了教育改革運(yùn)動，重點(diǎn)是學(xué)制和教學(xué)內(nèi)容．由于課程內(nèi)容改革力度過大，導(dǎo)致學(xué)生較重的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)和教育質(zhì)量的下降[32]．當(dāng)時(shí)提出“半工（農(nóng)）半讀”，并且政治教育和生產(chǎn)勞動教育被提到突出位置，比如課程計(jì)劃中包括“工農(nóng)業(yè)基礎(chǔ)知識”，所以操作性要求都有所提高．1962年教育部發(fā)出《關(guān)于1962—1963年度中小學(xué)教學(xué)用書的通知》，將“初中算術(shù)”全部下放到小學(xué)[31]，而且人民教育出版社編寫1963年中小學(xué)數(shù)學(xué)教材就把“力求避免片面強(qiáng)調(diào)聯(lián)系實(shí)際而削弱基礎(chǔ)知識，注意基礎(chǔ)知識的充實(shí)和基本訓(xùn)練的加強(qiáng)”作為編寫的指導(dǎo)思想[13]．因此所有算術(shù)都在小學(xué)完成，又更加注重基礎(chǔ)知識和基本技能，故在“63大綱”中，表征的操作轉(zhuǎn)換、表達(dá)交流和建模應(yīng)用功能均有所提高，而初中階段就有所下降．但在1966—1976年期間，沒有統(tǒng)一的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，各省市等自擬編寫綱要編寫教材[30]，忽視雙基，導(dǎo)致全國教學(xué)質(zhì)量大幅度下降[13]．

（3）第三階段（1978年之后）．

1976年之后，全國進(jìn)入了全面整頓時(shí)期，總結(jié)國內(nèi)外數(shù)學(xué)教材改革的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，比如20世紀(jì)70年代美國在“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動失敗后又主張“回到基礎(chǔ)”[27]，于是中國“78大綱”在“63大綱”的基礎(chǔ)上進(jìn)行內(nèi)容的更新，強(qiáng)調(diào)加強(qiáng)雙基．1985年教育部總結(jié)初中教育指出學(xué)生負(fù)擔(dān)較重，所以在“88大綱”中各表征功能有所下降．到21世紀(jì)，“01標(biāo)準(zhǔn)”強(qiáng)調(diào)“自主、合作、探索、創(chuàng)新”，內(nèi)容上新增設(shè)了“實(shí)踐與綜合”領(lǐng)域[28]，注重創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情境，但并未強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)雙基教學(xué)，淡化了對基礎(chǔ)知識和基本技能的重視[27]，所以當(dāng)時(shí)建模應(yīng)用功能有所上升，而操作轉(zhuǎn)換功能有所下降．后對“01標(biāo)準(zhǔn)”實(shí)施狀況調(diào)查發(fā)現(xiàn)新的教學(xué)方式使學(xué)生的兩極分化現(xiàn)象出現(xiàn)在小學(xué)低年級等，故修訂后的“11標(biāo)準(zhǔn)”回歸“雙基”并延伸，明確提出“四基”：義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)[28]．所以這里操作轉(zhuǎn)換功能又有所回升，而建模應(yīng)用功能有所下降．不過總體上3種功能慢慢趨于平衡．

4.2 高中數(shù)學(xué)表征變化及分析

高中數(shù)學(xué)代數(shù)表征功能如圖4所示．歷年高考錄取人數(shù)如圖5所示．

圖4 高中數(shù)學(xué)代數(shù)表征功能

圖5 歷年高考錄取人數(shù)

高中數(shù)學(xué)表征的建模應(yīng)用功能的折線圖與高考錄取人數(shù)折線圖十分相似，呈上升趨勢，而且表達(dá)交流功能伴隨著操作轉(zhuǎn)換的變化而變化，總體上也呈上升趨勢．時(shí)間維度上分為兩個(gè)階段：第一階段（1999年之前）操作轉(zhuǎn)換和表達(dá)交流功能波動非常大，并以1963年為平衡點(diǎn)上下浮動，而“63大綱”是多數(shù)數(shù)學(xué)教育家公認(rèn)的比較完善的大綱；應(yīng)用功能在這個(gè)階段基本沒有受到重視．這一階段的1949年前，各地高中數(shù)學(xué)教材混亂，程度參差不齊，故從1949年后開始討論．第二階段（1999年之后），高中數(shù)學(xué)表征的3個(gè)功能都迅速上升，尤其在建模應(yīng)用層面持續(xù)受到重視．

（1）第一階段（1999年之前）．

第一階段前期（1949—1978），也就是新中國成立初期，高中繼續(xù)沿襲高校聯(lián)合招生、委托招生的辦法，1950年和1951年各大區(qū)高等學(xué)校采取聯(lián)考聯(lián)招，到1952年，全國普通高等學(xué)校開始采用統(tǒng)一考試招生的辦法，直到1965年皆實(shí)行全國統(tǒng)一招生考試，這段時(shí)間高中招生工作是由省市等和高等學(xué)校分別處理，并且特別強(qiáng)調(diào)政治掛帥和政治路線，對文化水平方面并不重視．而且在20世紀(jì)50年代中葉，由美國發(fā)起的數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化運(yùn)動，直至面向21世紀(jì)的教育改革，其中心是數(shù)學(xué)課程的改革[33]．在這樣的背景之下，表征的3個(gè)功能均上下浮動很大．1966年《人民日報(bào)》發(fā)表社論指責(zé)高等學(xué)校招生考試辦法“基本上沒有跳出資產(chǎn)階級考試制度的框框，不利于更多地吸收農(nóng)民兵革命青年進(jìn)入高等學(xué)校，這種考試制度必須改革”．當(dāng)時(shí)不僅取消了高考，而且也導(dǎo)致了大學(xué)停止招生達(dá)4年之久．1970年開始，高校開始招收“工農(nóng)兵學(xué)員”．1971年的《全國教育工作紀(jì)要》指出：“大專院校招生的主要對象是具有二~三年以上實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的優(yōu)秀的工農(nóng)兵，一般應(yīng)有相當(dāng)于初中以上文化．”1977年恢復(fù)高校招生考試制度，文件《關(guān)于1977年高等學(xué)校招生工作的意見》規(guī)定：“廢除推薦制度，在政審合格的前提下，采取文化考試、擇優(yōu)錄取的方法招收大學(xué)新生．”[34]所以在1963之后，直到1978年才出高中新課標(biāo)．

第一階段后期（1978—1999），教育部針對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容與要求太低的狀況以及國家建設(shè)4個(gè)現(xiàn)代化的需要，提出數(shù)學(xué)課程內(nèi)容現(xiàn)代化的問題，對數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容、選擇性、編排方式等進(jìn)行了探索和實(shí)踐[28]．于是在“78大綱”中增加了許多現(xiàn)代化的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，導(dǎo)致數(shù)學(xué)課程內(nèi)容太難，與當(dāng)時(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)和師資不相符合．之后的十幾年，就圍繞“78大綱”進(jìn)行減少內(nèi)容、降低難度的調(diào)整．但由于高等教育資源嚴(yán)重匱乏，升學(xué)率成為社會乃至部分教育主管部門評價(jià)中學(xué)教育的關(guān)鍵指標(biāo)．為了克服片面追求升學(xué)率和越來越嚴(yán)重的應(yīng)試教育傾向，1980年中期又對高考終生制度進(jìn)行試驗(yàn)和改革，比如：定向招生、委托代培招生，推薦考試等．1990年初，人們越來越多使用“應(yīng)試教育”來概括高考制度下的基礎(chǔ)教育，“素質(zhì)教育”概念也逐漸流行[34]．所以雖然表征的表達(dá)交流功能和操作轉(zhuǎn)換功能波動大，但建模應(yīng)用功能慢慢得以重視．

（2）第二階段（1999年之后）．

這一時(shí)期，表征的表達(dá)交流、操作轉(zhuǎn)換以及建模應(yīng)用功能都迅速上升，開始重視數(shù)學(xué)知識與實(shí)際問題的聯(lián)系，也為適應(yīng)時(shí)代發(fā)展對人才素質(zhì)提出的新要求．高中教育課程是義務(wù)教育階段后普通高級中學(xué)的主要課程，是為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展和終身學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件．1999年教育部出臺《面向21世紀(jì)教育振興行動計(jì)劃》，基于解決經(jīng)濟(jì)和就業(yè)問題，擴(kuò)大普通高校本?？圃盒Ｕ惺杖藬?shù)，高校開始趨向“大眾教育”，從圖5也可以看出高考錄取人數(shù)在20世紀(jì)開始逐年遞增．但是對于高校優(yōu)勢教育資源的競爭激烈程度有增無減．多年來所批判的應(yīng)試教育傾向，高考是主要誘因，升學(xué)壓力下，教師的題海戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)增加也成為一個(gè)問題．高考制度的擇優(yōu)原則本身就賦予它競爭的屬性，這也是中國基礎(chǔ)教育多年來陷入片面追求升學(xué)率的泥沼而無法自拔的原因．高考作為主導(dǎo)基礎(chǔ)教育的中心，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)作為指導(dǎo)教材編制、教學(xué)實(shí)施、以及教學(xué)評價(jià)的唯一標(biāo)準(zhǔn)，如何發(fā)揮高考維護(hù)社會公平、選拔高等學(xué)校合格新生的同時(shí)，減少它對中學(xué)教育的負(fù)面影響成為人們關(guān)心的重要問題．03版和17版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)都要求把數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)建模滲透在數(shù)學(xué)課程中，這應(yīng)該是導(dǎo)致3個(gè)功能大幅度提高的重要原因．其中17版從數(shù)學(xué)素養(yǎng)的角度評價(jià)分析學(xué)生成就，并且將課程分為必修、選擇性必修和選修課程，區(qū)分了不同程度學(xué)生的要求，對于共同要求和選擇性有了一定的平衡．但因?yàn)閷?shù)學(xué)實(shí)踐情境、數(shù)學(xué)探究活動及數(shù)學(xué)建模的強(qiáng)調(diào)，又導(dǎo)致了數(shù)學(xué)表征以及表征之間相互轉(zhuǎn)換方面要求的提高，所以如何平衡時(shí)代發(fā)展產(chǎn)生的新知識與核心知識尤為重要．

5 討論與結(jié)論及啟示

針對文本《20世紀(jì)中國中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)·教學(xué)大綱匯編（數(shù)學(xué)卷）》從數(shù)學(xué)表征的功能角度進(jìn)行編碼分析，并尋找文獻(xiàn)及史料作為依據(jù)來解釋數(shù)據(jù)．結(jié)果表明數(shù)學(xué)表征的功能隨課程標(biāo)準(zhǔn)的變化而變化，并且3種表征的側(cè)重點(diǎn)和相互關(guān)聯(lián)性在不同學(xué)段有不同特點(diǎn)．具體而言，小學(xué)階段的學(xué)生在表征的表達(dá)交流方面主要是通過情境問題和實(shí)際應(yīng)用來培養(yǎng)的，而初高中學(xué)生的表達(dá)交流能力則是通過較為抽象的思維操作和模型操作來培養(yǎng)的；操作轉(zhuǎn)換在3個(gè)學(xué)段均起到主導(dǎo)作用；至于數(shù)學(xué)表征的建模應(yīng)用功能，在小學(xué)、初中階段并沒有受到足夠重視，在高中階段新課程改革后才逐步受到重視．所以學(xué)生的教學(xué)應(yīng)該隨學(xué)段的不同而在表征方面有不同的側(cè)重點(diǎn)，而且需要重視數(shù)學(xué)建模功能在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要性．當(dāng)然，由于各表征功能在不同時(shí)期會因時(shí)代的變化而有不同的需求，于是把握新知識與核心知識之間的平衡顯得非常重要．

研究尚存一些不足之處：首先表征在語義學(xué)、心理學(xué)等不同領(lǐng)域有不同的內(nèi)涵，這里僅從教育領(lǐng)域的視角出發(fā)分析表征的功能性指標(biāo)；其次，研究涉及的歷史材料主要圍繞課程標(biāo)準(zhǔn)，而沒有對教科書進(jìn)行比較分析．因此結(jié)論具有一定的局限性．

[1] 喻平．知識表征與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[J]．上海師范大學(xué)學(xué)報(bào)（哲學(xué)社會科學(xué)·教育版），2002（1）：49–52．

[2] CAI J, LESTER J R. Solution representations and pedagogical representations in Chinese and U.S. classrooms [J]. Journal of Mathematical Behavior, 2005, 24 (3): 221–237.

[3] 胡典順．美國學(xué)校數(shù)學(xué)教育中的“表征”及其啟示[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（5）：72–74．

[4] NCTM．美國學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)[M]．北京：人民教育出版社，2000：66．

[5] NISS M. Mathematical competencies and the learning of mathematics: The DanishKOM project[C] // GAGATSIS, ATHANASIOS. 3rd mediterranean conference on mathematical education: Mathematics in the modern world, mathematics and didactics, mathematics and life, mathematics and society. Athens: Hellenic Mathematical Society; Cyprus: Cyprus Mathematical Society, 2003: 115–124.

[6] OECD. Measuring student knowledge and skills: The PISA 2000 assessment of reading, mathematical and scientific literacy [M]. Paris: OECD Publishing, 2000: 51.

[7] OECD. The PISA 2003 assessment framework: Mathematics, reading, science and problem solving knowledge and skills [M]. Paris: OECD Publishing, 2004: 41.

[8] OECD. PISA 2009 assessment framework: Key competencies in reading, mathematics and science [M]. Paris: OCED Publishing, 2010: 110.

[9] OECD. PISA 2012 assessment and analytical framework: Mathematics, reading, science, problem solving and financial literacy [M]. Paris: OECD Publishing, 2013: 32.

[10] OECD. PISA 2015 assessment and analytical framework: Science, reading, mathematic, financial literacy and collaborative problem solving [M]. Revised Edition ed. Paris: OECD Publishing, 2017: 71.

[11] ?NCTM. Principles to actions: Ensuring mathematical success for all [M]. Reston: NCTM, 2014: 24.

[12] 梅瑞迪斯·高爾，喬伊斯·高爾，沃爾特·博格．教育研究方法[M]．6版．北京：北京大學(xué)出版社，2016：400．

[13] 張奠宙．中國數(shù)學(xué)雙基教學(xué)[M]．上海：上海教育出版社，2006：2，5，8．

[14] ?GALL M, GALL J, BORG W. Applying educational research [M]. 6th ed. Boston: Pearson Education, Inc, 2010: 466.

[15] ?BRACHMAN R J, LEVESQUE H J. Knowledge representation and reasoning [M]. San Francisco: Elsevier, Inc, 2004: 3.

[16] 張晉宇，姜慧慧，謝海燕．?dāng)?shù)學(xué)表征與變換能力的評價(jià)指標(biāo)體系研究綜述[J]．全球教育展望，2016，45（11）：13–21．

[17] 鮑建生，周超．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M]．上海：上海教育出版社，2009：114．

[18] 喻平．?dāng)?shù)學(xué)教育心理學(xué)[M]．南寧：廣西教育出版社，2004：56.

[19] 王兄．論數(shù)學(xué)表征系統(tǒng)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008，17（3）：8–10．

[20] ?LERMAN S. Encyclopedia of mathematicseducation [M]. Dordrecht: Springer, 2014: 409.

[21] 唐劍嵐．國外關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中多元外在表征的研究述評[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008，17（1）：30–34．

[22] 李靜．哲學(xué)視野下小學(xué)數(shù)學(xué)多元表征變式教學(xué)構(gòu)建及其實(shí)證研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（5）：45–48.

[23] 徐斌艷．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科核心能力研究[J]．全球教育展望，2013，42（6）：67–74．

[24] 曹一鳴，黃秦安，殷麗霞．中國數(shù)學(xué)教育哲學(xué)研究30年[M]．北京：科學(xué)出版社，2011：152．

[25] 魏庚人．中國中學(xué)數(shù)學(xué)教育史[M]．北京：人民教育出版社，1987：102，182，328．

[26] 王建磐．中國數(shù)學(xué)教育：傳統(tǒng)與現(xiàn)實(shí)[M]．南京：江蘇教育出版社，2009：55．

[27] 張奠宙．?dāng)?shù)學(xué)教育縱橫[M]．南寧：廣西教育出版社，2018：7，14．

[28] 曹一鳴，梁貫成．21世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)教育[M]．北京：人民教育出版社，2018：120–121，137，148．

[29] 課程教材研究所．20世紀(jì)中國中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)·教學(xué)大綱匯編（數(shù)學(xué)卷）[M]．北京：人民教育出版社，2001：14．

[30] 呂世虎，吳春燕，陳婷．20世紀(jì)以來中國中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容綜合化的歷程及其啟示[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（6）：1–5．

[31] 魏群，張?jiān)孪桑袊袑W(xué)數(shù)學(xué)課程教材演變史料[M]．北京：人民教育出版社，1996：2–3，96．

[32] 劉興祥，徐志強(qiáng)，趙耀峰．中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)發(fā)展史[J]．延安大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006，25（2）：21–25．

[33] 李善良，寧連華，宋曉平．中國數(shù)學(xué)課程研究30年[M]．北京：科學(xué)出版社，2012：115．

[34] 王倫信，曹彥杰，陳綿杰．新中國中學(xué)教育改革研究[M]．上海：上海教育出版社，2008：242．

Arithmetic and Algebra Representation Function in Mathematics Curriculum Standards in China since the 20th Century: Its Change and Enlightenment

SHEN Yang1, ZHANG Jin-yu2, 3, LI Na1, BAO Jian-sheng1, 3

(1. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China;3. Shanghai Research Base for School Mathematics Education, Shanghai 200241, China)

On the basis of arithmetic and algebra inand the curriculum standards since the 21st century, the variation trend of the arithmetic and algebraic representation in Chinese primary and secondary school mathematics curriculum standards from 1902 to 2017 was investigated using the historical research method and coding-analysis by focusing on three functions of mathematical representation (i.e., expression communication, operational transformation and modelling application. Results showed that, the function of mathematical representation changes as the curriculum standard changes. Moreover, the emphasis and correlation among three representation functions also had different features in different stages. Particularly, the function of expression communication was depended on the modelling application in the primary school stage, but the operational transformation in the middle and high school stage. The function of operational transformation was dominant in three stages. The function of the modelling application was not taken seriously in the primary school and junior high school. However, more attention had been paid to the high school stage since the new curriculum was reformed.

mathematical representation; representation function; arithmetic; algebra

2019–03–16

教育部人文社會科學(xué)重點(diǎn)研究基地重大項(xiàng)目——中國學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評研究（16JJD880023）；上海高?！傲⒌聵淙恕比宋纳鐣茖W(xué)重點(diǎn)研究基地——華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地項(xiàng)目（A8）

沈陽（1992—），女，浙江東陽人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．

沈陽，張晉宇，李娜，等．20世紀(jì)以來中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中算術(shù)與代數(shù)表征功能的變化及啟示[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（3）：12-17．

G423.07

A

1004–9894（2019）03–0012–06

[責(zé)任編校：周學(xué)智、張楠]