王紅權(quán)，李 馨

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從系統(tǒng)的觀點(diǎn)看一元二次方程的解法教學(xué)設(shè)計(jì)

王紅權(quán)1，李 馨2

（1．杭州市基礎(chǔ)教育研究室，浙江 杭州 310003；2．杭州市青春中學(xué)，浙江 杭州 310003）

從知識的發(fā)生和發(fā)展的視角，從系統(tǒng)的觀點(diǎn)分析一元二次方程不同解法的內(nèi)在聯(lián)系，需要突出降次解法中的轉(zhuǎn)化思想，基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，把配方法作為解一元二次方程解法的重點(diǎn)方法，這是合理的，但這還不夠，還需要用解一元多項(xiàng)式方程之因式分解降次的思想來統(tǒng)一認(rèn)識其他的解法，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)奠基，讓學(xué)生體會與方程研究相關(guān)的數(shù)學(xué)文化．

系統(tǒng)觀點(diǎn)；一元二次方程；配方法；因式分解；教學(xué)設(shè)計(jì)

“解方程是好的數(shù)學(xué)”[1]，教好方程事實(shí)上就是要讓學(xué)生明白什么是“好的數(shù)學(xué)”．方程教學(xué)的首要任務(wù)是學(xué)習(xí)解具體的方程，同時(shí)感悟解方程過程中所承載的數(shù)學(xué)思想和方法．具體地說，如何處理好一元二次方程的解法教學(xué)，作為教師首先要理解教材對方程內(nèi)容的編排，明確不同方程的教學(xué)在不同學(xué)段所要表達(dá)的不同思想方法，也就是說，不同的方程教學(xué)具有完全不同的價(jià)值取向；其次還要了解多項(xiàng)式方程解決的歷史發(fā)展，從解具體方程到形成伽羅瓦理論，再到解決一系列古典難題的過程中所展示的人類理性文明的一次又一次勝利．所以在這個(gè)意義上說，這個(gè)單元學(xué)習(xí)的知識是全新的，學(xué)習(xí)的方法是陌生的，學(xué)習(xí)的目的也迥然不同于以前．作為初中末端知識的一元二次方程教學(xué)需要在平方根概念的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)教學(xué)，更要在思想方法上為將來學(xué)習(xí)解復(fù)雜方程解法和方程理論奠基．

1 教學(xué)內(nèi)容分析：數(shù)學(xué)視角

一元二次方程的教學(xué)位于初中方程知識教學(xué)的末端，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了學(xué)習(xí)方程的概念、方程根的概念，具備解一元一次方程和二元一次方程組的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也初步體會了方程作為刻畫某些實(shí)際問題的模型所體現(xiàn)出來的優(yōu)越性．

一元一次方程的教學(xué)一般安排在7年級上學(xué)期，在學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)和代數(shù)式的運(yùn)算后．這樣安排的目的有3個(gè)方面．首先，體現(xiàn)實(shí)數(shù)和代數(shù)式運(yùn)算及其運(yùn)算律在解方程時(shí)所展示的統(tǒng)一性，讓學(xué)生感受算術(shù)和代數(shù)的本質(zhì)區(qū)別；其次，在歸納解決問題一般步驟的過程中，滲透算法思想，進(jìn)一步強(qiáng)化規(guī)則的重要性；第三，方程作為模型的表達(dá)合理性和普適性[2]．

二元一次方程組的教學(xué)一般安排在7年級下學(xué)期，并不安排在一元一次方程后教學(xué)．這主要是因?yàn)閮烧咴诮虒W(xué)中所承載的功能不同所致，如果把兩者安排在前后一起教學(xué)，有可能會沖淡解二元一次方程組教學(xué)所承載的處理多元問題的思想（消元）．這種思想在初中階段是其它數(shù)學(xué)內(nèi)容所無法替代的，所以二元一次方程組解法教學(xué)的目的不單純是得到解，而要在這個(gè)過程中感知消元思想的意義，把一個(gè)多元問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的一元問題．

對于一元二次方程的教學(xué)，教材一般的教學(xué)順序安排為：引入→解法→根與系數(shù)關(guān)系（當(dāng)前課標(biāo)為選學(xué)）→應(yīng)用，一元二次方程的引入方法與前面所學(xué)的方程類型類似．通過現(xiàn)實(shí)問題引入研究對象，讓學(xué)生理解一元二次方程是刻畫某些實(shí)際問題的模型，體會學(xué)習(xí)的必要性，讓學(xué)生體驗(yàn)到一元二次方程應(yīng)用的廣泛性．和其它方程的引入類似，并沒有給出這章內(nèi)容的研究思路和方法，如：從什么視角來研究的？研究的一般方法是什么？研究方法中哪些具有局限性，哪些具有一般性？而這些問題的回答都需要建立在解法教學(xué)的基礎(chǔ)上．通過解法的適當(dāng)教學(xué)，不僅能回答這些問題，而且可以進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)解法教學(xué)的育人功能．如果沒有用系統(tǒng)和整體的觀念來設(shè)計(jì)解法教學(xué)，學(xué)生難以體會求解方程的因式分解降次的一般觀念，本內(nèi)容教學(xué)的數(shù)學(xué)育人功能就會打折扣．

初中階段講數(shù)系的擴(kuò)充常常用生活的需要來解釋，或者從度量的視角來闡述，這種說理的途徑很難講清楚數(shù)系擴(kuò)充的內(nèi)在動力．只有回到數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要這條路子上來，從解方程的需要來看這種擴(kuò)充，才會變得自然和順利．因此，在方程內(nèi)容的教學(xué)中，補(bǔ)充方程求解研究與數(shù)系擴(kuò)充的聯(lián)系，有利于學(xué)生體會數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)關(guān)聯(lián)性，體會數(shù)系擴(kuò)充的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵．

2 數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與分析結(jié)果

2.1 從系統(tǒng)的觀點(diǎn)分析本內(nèi)容的教學(xué)系統(tǒng)

系統(tǒng)觀點(diǎn)也就是整體的觀點(diǎn)、聯(lián)系的觀點(diǎn)，即要素與要素、要素與相關(guān)要素、要素與環(huán)境3方面的關(guān)系．從系統(tǒng)的觀點(diǎn)分析該內(nèi)容的教學(xué)，得到如下結(jié)論：一元二次方程的“要素”是方程所對應(yīng)的系數(shù)和解；從教學(xué)的視角看“相關(guān)要素”是“4種解法”的關(guān)聯(lián)，從一元二次方程內(nèi)在的視角看，是根與系數(shù)的關(guān)聯(lián)（求根公式）；“環(huán)境”之一是教學(xué)目標(biāo)和學(xué)習(xí)者目的以及考試綱要3者之間的關(guān)聯(lián)；“環(huán)境”之二是數(shù)學(xué)理解、學(xué)生基礎(chǔ)和教法之間如何三位一體；其功能結(jié)構(gòu)是建立求解一元二次方程的求根公式，更為一般的功能結(jié)構(gòu)是構(gòu)建解決高次方程的一般模式（分解降次），這一功能需要由要素、結(jié)構(gòu)和環(huán)境3者共同決定，圖1表明了它們之間的關(guān)系．

圖1 一元二次方程要素與結(jié)構(gòu)及環(huán)境關(guān)系

2.2 從整體和聯(lián)系的觀點(diǎn)看4種解法的教學(xué)設(shè)計(jì)

該單元的解法教學(xué)介紹了直接開方法、配方法、公式法和因式分解法，其中直接開平方法由平方根的定義而來，所有教材都首先介紹，符合初中生認(rèn)知的一般規(guī)律，配方法作為直接開平方法的進(jìn)一步也是順理成章的事，由此導(dǎo)出求根公式，獲得解決一元二次方程的一般公式解，是理性思維的結(jié)果．人類探索方程的歷史清楚地表明：從人類獲得一元二次方程公式解的那一刻起，數(shù)學(xué)家的下一個(gè)目標(biāo)是更高次方程的公式解．教學(xué)中如果沒有這樣的疑問設(shè)計(jì)是遺憾的．在數(shù)學(xué)教育中，強(qiáng)調(diào)其思想本源“以法通類，以類相從”[3]．這為介紹因式分解法的必要性和普適性提供基礎(chǔ)，分解降次是解決更高次方程的一般思路．但應(yīng)該注意到因式分解法的技巧性，需要在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)把握“度”，避免陷入技巧的泥潭．

由此，從整體和聯(lián)系的角度，從代數(shù)運(yùn)算視角分析4種解法的聯(lián)系，可以得到一元二次方程解法的邏輯結(jié)構(gòu)聯(lián)絡(luò)圖（如圖2）．

圖2 一元二次方程解法邏輯結(jié)構(gòu)

從圖中不難發(fā)現(xiàn)，不同解法在教學(xué)設(shè)計(jì)中需要達(dá)成的教學(xué)功能有兩個(gè)：一是幫助學(xué)生建立解決一元二次方程的一般模式（求根公式）；二是滲透一種解決一元多項(xiàng)式方程求解的一般思想方法（分解降次）．當(dāng)然建立求解“模式”和滲透一般思想，并不是要在教學(xué)過程中強(qiáng)調(diào)因式分解法，只是認(rèn)為可以在傳統(tǒng)的課堂中增添一些“新”的元素，讓學(xué)生獲得更多的數(shù)學(xué)思考．

2.3 從層次結(jié)構(gòu)的視角看解法的教學(xué)設(shè)計(jì)

縱觀初中階段整個(gè)解方程教學(xué)，3類方程解法的層次結(jié)構(gòu)非常清晰．從技術(shù)操作層面看：一元一次方程解法教學(xué)的價(jià)值在于“驗(yàn)證應(yīng)用”，即運(yùn)算律的應(yīng)用，是算術(shù)和代數(shù)的分水嶺；二元一次方程組解法教學(xué)的價(jià)值在于如何處理多元問題，即消元思想的滲透（代入消元和加減消元）；一元二次方程解法教學(xué)的價(jià)值之一是如何處理高次問題，即降次思想的滲透（分解降次），其二是獲得一般方程的公式解，為問題的進(jìn)一步推廣和深入研究提供樣例．從思想方法層面看：3類方程解法都具有很好的解題步驟，這是規(guī)則教學(xué)的良好素材，是滲透算法思想不可多得的好例子；3類方程最后其實(shí)都形成公式解，即都有解決問題的統(tǒng)一模式，為問題的進(jìn)一步推廣提供可能（Cream法則、3次或4次方程求根公式），也是數(shù)學(xué)家的追求，是數(shù)學(xué)地思考問題的一種方法，值得滲透；數(shù)學(xué)解決問題的最高境界是形成理論體系，歷史表明伽羅瓦理論就是人們在尋求多項(xiàng)式方程公式解的過程中逐漸形成的一門數(shù)學(xué)分支，不僅解決了方程問題，同時(shí)解決了一系列古典問題（如三等分角問題），這種由具體解某個(gè)方程到歸納得出一般模式，繼而指導(dǎo)解決具體問題的思想方法就是數(shù)學(xué)的一般觀念．兩者相輔相成，共同促進(jìn)學(xué)生對解方程教學(xué)的認(rèn)知提升．

從技術(shù)層面看，補(bǔ)充：①范德蒙（A. T. Vandermonde，法國數(shù)學(xué)家）的解法，其解法的洞悉在于把方程的根用方程所有的解表示，史稱“根的對稱式表示法”：

更進(jìn)一步，還可以補(bǔ)充：②拉格朗日（J. L. Lagrange，法國數(shù)學(xué)家）的解法．

用根的對稱式表達(dá)方程解和強(qiáng)調(diào)方程解與根的置換關(guān)系[5]，是人類在研究方程歷史上走出的正確的第一步，對日后形成方程理論意義非凡．

一般沒有必要補(bǔ)充古希臘時(shí)的所謂“幾何解法”[6]（當(dāng)然作為拓展課呈現(xiàn)未嘗不可），不僅因?yàn)槠浣夥ň哂泻艽蟮木窒扌裕ㄒ驳貌坏截?fù)根），而且繁復(fù)，在古希臘也僅僅是某些幾何量的某種關(guān)系的幾何表示，并非真正意義上的解代數(shù)方程，對推動方程理論的形成并沒有帶來積極的作用．

3 教學(xué)設(shè)計(jì)的若干注意點(diǎn)

3.1 認(rèn)識4種解法的內(nèi)在邏輯關(guān)系

國內(nèi)使用的各版本教材中，用配方法（含直接開平方法）解一元二次方程部分內(nèi)容的課時(shí)、例題數(shù)量、練習(xí)數(shù)量等信息如表1所示．浙教版和蘇科版教材比較強(qiáng)調(diào)配方法，這與調(diào)研結(jié)果較為一致，都設(shè)計(jì)了“探究”“合作學(xué)習(xí)”“做一做”等欄目，說明掌握配方法并非易事，部分教材對作業(yè)階段是否使用配方法未做出限制，強(qiáng)調(diào)用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?/p>

表1 一元二次方程配方法（含直接開方法）各種教材內(nèi)容細(xì)目

注：括號內(nèi)的數(shù)字表示全部小題總數(shù)．

3.2 從中外數(shù)學(xué)史發(fā)展認(rèn)識“配方法”的地位

3.3 高觀點(diǎn)下統(tǒng)一認(rèn)識解法蘊(yùn)含的思想方法

用因式分解降次體現(xiàn)了一元多項(xiàng)式方程解法研究的一般觀念，一個(gè)方程能不能解，最終都?xì)w結(jié)為是否能分解成若干個(gè)一次式的積．用公式求解就是統(tǒng)一求解，歷史上眾多數(shù)學(xué)家為了尋求多項(xiàng)式方程的公式解而孜孜以求，因?yàn)橐坏┱业浇鉀Q問題的公式，便一勞永逸．從一元一次方程到一元四次方程人們都找到了公式解，對于一般五次以上方程，人們也找到了統(tǒng)一的理論一并解決（其解不能用根號表示），而高次多項(xiàng)式方程的公式解的研究中，借助的就是這種因式分解降次的思想．因此，需要在思想觀念層面重視這種思想方法的教學(xué)，具體的教學(xué)策略用這種思想統(tǒng)一一元二次方程的4種解法，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)不同解法的基礎(chǔ)上用高觀點(diǎn)統(tǒng)一地認(rèn)識它們，實(shí)現(xiàn)更高層次的抽象，而不是過分訓(xùn)練具體因式分解解法技巧，因?yàn)橐话愣囗?xiàng)式的因式分解可以用插值法．

4 結(jié)束語

能否靈活運(yùn)用教科書，超越教科書的固有設(shè)計(jì)，除了能正確理解教科書的設(shè)計(jì)意圖外，一個(gè)重要前提是教師對學(xué)科知識的把握[12]．相比于其它學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)可能更加依靠教材[13]．如果在教材設(shè)計(jì)中能夠強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)地、整體地、聯(lián)系地看待問題，把握好整體性，那么教師在教學(xué)中就能對內(nèi)容的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)了如指掌，心中有一張“聯(lián)絡(luò)圖”，從而把握教學(xué)大方向，就能使教學(xué)有的放矢．也只有這樣，才能使學(xué)生學(xué)到結(jié)構(gòu)化的、聯(lián)系緊密的、遷移能力強(qiáng)的知識[14]．解法教學(xué)要實(shí)現(xiàn)知識、技能，整體、聯(lián)系的完美統(tǒng)一，教師必須避免將不同解法的講授割裂，應(yīng)注重解法之間內(nèi)在聯(lián)系的揭示，讓學(xué)生能更好理解、接受和掌握解法，真正把握數(shù)學(xué)知識的脈絡(luò)．需要老師對所教內(nèi)容有系統(tǒng)地理解和整體地把握．這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)在學(xué)生素養(yǎng)的生成、情感的培養(yǎng)以及思維習(xí)慣與方法的形成等方面發(fā)揮著獨(dú)特作用[15]．

從“會的”到“不會的”是創(chuàng)造學(xué)的機(jī)會；從系統(tǒng)的觀念到數(shù)學(xué)的一般方法是提供學(xué)的方法；從學(xué)會一種方法到回歸方法的本源是學(xué)會學(xué)的途徑；從一招一式到普遍聯(lián)系是學(xué)有所成的開始，教師應(yīng)當(dāng)為此而努力．

致謝：感謝杭州師范大學(xué)葉立軍教授的悉心指導(dǎo)．

[1] 韓雪濤．好的數(shù)學(xué)（方程的故事）[M]．長沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2012：1．

[2] 王紅權(quán)，應(yīng)佳成．二元一次方程教學(xué)設(shè)計(jì)的幾點(diǎn)建議[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016（12）：24-27．

[3] 孫旭花．中國數(shù)學(xué)教育優(yōu)勢：隱性的代數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)模型[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（5）：5-8．

[4] 陳蓓，喻平．哲學(xué)數(shù)域下的數(shù)學(xué)教育研究——“第二屆全國數(shù)學(xué)教育哲學(xué)暨數(shù)學(xué)教育高層論壇”綜述[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（5）：99-102．

[5] 馮承天．從一元一次方程到伽羅瓦理論[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，2012：26．

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[12] 嚴(yán)家麗．試析影響教師使用教科書水平的因素——基于15位小學(xué)數(shù)學(xué)教師的調(diào)查[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（6）：51-55．

[13] 范良火，熊斌，李秋節(jié)．現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育中的教材研究：“概念”“問題”和“方法”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（5）：1-4．

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[15] 呂世虎，吳振英，楊婷，等．單元教學(xué)設(shè)計(jì)及其對促進(jìn)數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的作用[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（5）：16-21．

A Systematic View on the Teaching of Quadratics Solving

WANG Hong-quan1, LI Xin2

(1. Hangzhou Institute of Fundamental Education Research, Zhejiang Hangzhou 310003, China;2. Hangzhou Qingchun Middle School, Zhejiang Hangzhou 310003, China)

In order to analyze the internal connection of different solutions to quadratic equations as a whole, and from the perspective of the formation and development of knowledge, we need to highlight the idea of reducing the power of x. Based on students’ cognitive ability, we considered the method of completing the square as being the key method to solve quadratics. This was considered proper, but not sufficient. It was necessary to unify the understanding of power reduction by factoring, which was often used in polynomial equations. Through the basic idea of solving single variable polynomial equations, students would acquire the foundations for future study, and experience the mathematical culture regarding equation research.

systematic view; unary quadratic equations; completing the square; factorization; didactical design

2019–01–29

2016年浙江省教研立項(xiàng)規(guī)劃課題——“一核二心”的初中數(shù)學(xué)發(fā)展性課堂教學(xué)設(shè)計(jì)研究（01475）

王紅權(quán)（1970—），男，浙江杭州人，特級教師，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究．

王紅權(quán)，李馨．從系統(tǒng)的觀點(diǎn)看一元二次方程的解法教學(xué)設(shè)計(jì)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（3）：94-97．

G633.6

A

1004–9894（2019）03–0094–04

[責(zé)任編校：張楠、陳漢君]