宋仁剛 徐 巖 夏乾旭

(山東科技大學(xué)電子通信與物理學(xué)院，山東 青島 266590)

半波損失是波動理論中的一個重要概念，在波動光學(xué)中表述為：當電磁波從光疏媒質(zhì)入射到光密媒質(zhì)時，反射波電場垂直入射面的分量存在半波損失[1]。一般的教材中均是在靜止的坐標系框架下論述半波損失現(xiàn)象，即界面相對于實驗室參考系是靜止的[2]，而沒有討論過界面運動時電磁波的半波損失。對于運動介質(zhì)界面上電磁波的反射和透射特性，已有一些相關(guān)研究[3-7]。本文在前人的研究基礎(chǔ)上，利用狹義相對論分析沿介質(zhì)界面運動和垂直于介質(zhì)界面運動兩種方式下，界面上電磁波的半波損失現(xiàn)象。

1 介質(zhì)界面運動的兩種情況

圖1 運動介質(zhì)界面示意圖(a) 介質(zhì)平板以速度vx沿x軸正向運動; (b) 介質(zhì)平板以速度vz沿z軸正向運動

如圖1(a)、(b)所示，絕緣介質(zhì)平板是均勻各項同性的非鐵磁介質(zhì)，厚度為d，介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為ε1、μ0，且在x軸無限延伸。平板之外為真空環(huán)境(ε0、μ0)。按照上述條件，可以分析介電介質(zhì)平板的以下兩種情況：(a) 介質(zhì)平板沿x軸方向以恒定速度vx運動；(b) 介質(zhì)平板沿z軸方向以恒定速度vz運動。圖中所示慣性系S是實驗室參考系，慣性系S′是相對于運動介質(zhì)靜止的參考系，即慣性系S′是相對于實驗室參考系S以某一恒定速度運動的。另外，介質(zhì)平板內(nèi)部的磁導(dǎo)率和真空磁導(dǎo)率幾乎一致，因此在介質(zhì)界面處分析電磁波的場分量時，僅需針對入射電磁波電場分量E進行分析[3]。

2 運動界面上波矢k和頻率ω的關(guān)系

對圖1(a)介質(zhì)平板沿x軸以速度vx運動的情況，設(shè)ωi是入射波在S系中的頻率，ω′r是反射波在S′系中的頻率，ω(r)代表從S系觀察到的S′系中反射波的頻率。由麥克斯韋方程的協(xié)變性和均勻平面波的相位不變性，利用洛倫茲變換的四維矢量變換公式[1]可得各個波矢分量與頻率之間的關(guān)系

其中，γx=1/(1-βx2)1/2；βx=vx/c。如果從S系觀察，便有

ω(r)=γx(ω′r+vxk′x)

(4)

當入射角θi為零，將公式(1)～式(3)代入式(4)便得到

ω(r)=ωi

(5)

可見當介質(zhì)平板沿x軸以速度vx運動時，垂直平板入射的電磁波不存在相對論多普勒頻移。

對圖1(b)介質(zhì)平板沿z軸以速度vz運動的情況，與上述過程類似，可得到

(6)

其中，γz=1/(1-βz2)1/2；βz=vz/c。入射角θi為零時，公式(6)變?yōu)?/p>

(7)

因此，當介質(zhì)平板沿z軸以速度vz運動時，垂直平板入射的電磁波存在相對論多普勒頻移。

3 運動界面上反射波和入射波的振幅比

由上述第1節(jié)的討論可知，介電平板是非鐵磁介質(zhì)，故只需考慮入射電磁波的電場分量E。若介質(zhì)靜止時，可由邊值關(guān)系對振幅的約束來確定邊界上反射波和入射波的振幅比[1]。當電場振幅E的方向垂直于入射面時，有

(8)

當電場振幅E的方向平行于入射面時，有

(9)

其中θt為折射角。

當介質(zhì)界面如圖1(a)、(b)所示的方式運動時， 由文獻[9]中所給出的方法，只考慮電場振幅E的方向垂直于入射面的情況，可利用洛倫茲變換給出運動界面上反射波和入射波的振幅比。

考慮圖1(a) 中介質(zhì)平板沿x軸以速度vx運動的情況，當電場振幅E的方向垂直于入射面時，

(10)

考慮圖1(b)中介質(zhì)平板沿z軸以速度vz運動時，當電場振幅E的方向垂直于入射面時，

(11)

4 運動界面上的半波損失

由公式(8)可知，對靜止介質(zhì)，當電磁波E分量垂直入射面時，電磁波由光疏介質(zhì)入射到光密介質(zhì)，有θi>θt，Er/Ei<0，說明反射波和入射波反相，即存在半波損失[1]。

當介質(zhì)界面按如圖1(a)、(b)所示的方式運動時，其反射波和入射波的振幅比已不能用公式(8)表示，上述兩種情況下的反射波和入射波的振幅比由式(10)和式(11)表示。特別地，我們討論入射電磁波垂直于介質(zhì)界面的情況, 當介質(zhì)平板沿x軸以速度vx運動時，電場振幅E的方向不論是垂直于入射面或平行于入射面，式(10)均退化為

(12)

同理，當介質(zhì)平板沿z軸以速度vz運動時，式(11)均退化為

(13)

可以看出，電磁波垂直于運動介質(zhì)界面入射時，反射波和入射波不存在反相的情況，故不存在通常意義上的半波損失現(xiàn)象。

更一般的，我們僅考慮電場振幅E的方向垂直于入射面的情況，不論介質(zhì)界面以圖1(a)、(b)所示的任何一種方式運動，由式(10)和式(11)可知，入射波與反射波不再滿足菲涅爾公式。為了清楚地說明這一點， 我們給定介質(zhì)折射率n=1.5，做出了介質(zhì)運動速度分別為0，0.5c，0.9c和0.99c時邊界上反射波和入射波的振幅比Er/Ei隨著入射角變化而變化的情況，如圖2(a)～圖2(d)所示。

圖2 邊界上反射波和入射波的振幅比隨著入射角i變化而變化的情況(a)～(d)分別對應(yīng)介質(zhì)運動速度為0，0.5c，0.9c和0.99c時的情況

從圖2(a)～圖2(c)中可以發(fā)現(xiàn)，當介質(zhì)運動速度達到0.9c時，考慮到電場振幅E的方向垂直于入射面，電磁波在運動介質(zhì)界面上的反射波和入射波的振幅比Er/Ei存在反相的特性；從圖2(d)中可以看出，當介質(zhì)運動速度達到0.99c時，振幅比Er/Ei不存在反相的情況，亦即入射波和反射波的電場振幅E不存在相位相反的特性，這也表明了此時不存在通常意義上的半波損失現(xiàn)象。值得注意的是，當介質(zhì)運動速度遠小于光速c時，式(10)和式(11)可自然過渡為菲涅爾公式。

5 總結(jié)

本文考慮電磁波在運動介質(zhì)表面上的半波損失情形，針對介質(zhì)沿介質(zhì)界面運動和垂直于介質(zhì)界面運動這兩種情況，利用相對論四維波矢量的洛倫茲變換關(guān)系，給出了電磁波在運動介質(zhì)界面上波矢和頻率的關(guān)系以及反射波和入射波的振幅比，并由此討論了兩種不同運動方式下反射波的半波損失現(xiàn)象。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當介質(zhì)運動速度達到接近光速時，電磁波在介質(zhì)界面上的反射不存在半波損失，這種現(xiàn)象有利于進一步加深對狹義相對論的理解，并且在光電器件制造和雷達屏蔽方面有潛在的應(yīng)用[7]。