江蘇

隨著考試?yán)碚摰牟粩喟l(fā)展和命題技術(shù)水平的不斷提高，高考命題也在與時(shí)俱進(jìn)，新背景的試題在高考中層出不窮，這些試題雖然不難，但學(xué)生往往無(wú)法應(yīng)對(duì)，造成這種現(xiàn)象的主要原因是在平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)中，教師大都采用的是現(xiàn)成的陳題，一旦出現(xiàn)背景新穎的試題，學(xué)生缺乏應(yīng)對(duì)體驗(yàn)及策略.因此，適當(dāng)原創(chuàng)試題，并運(yùn)用在平時(shí)聯(lián)考中，是提高學(xué)生應(yīng)變能力的重要途徑.在一定程度上，一道好的原創(chuàng)試題不僅可以引導(dǎo)教師改進(jìn)教學(xué)方法，更能喚起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的激情.

事實(shí)上，命制試題早已是高中一線教師的“家常飯”，也成為教師提高教學(xué)水平的基本手段之一，只不過(guò)有時(shí)為了節(jié)省時(shí)間，在平時(shí)考試中，教師們往往從一些現(xiàn)有的?？碱}或高考題中直接選取或者稍作改變，并沒有真正理解和體悟考題的價(jià)值和發(fā)揮其對(duì)課堂教學(xué)的導(dǎo)向作用.近期，南京市六校聯(lián)合體組織了一次高三年級(jí)摸底考試，要求本次聯(lián)合考試題必須為原創(chuàng)試題，筆者有幸成為命題組成員，被要求命制一道直線和圓的填空題，且該題在整個(gè)試卷的13題位置，屬于中檔難度試題，以下筆者分享和交流命制這道試題的歷程及思考，歡迎批評(píng)指正.

一、原創(chuàng)試題

題目：平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在x軸上，從點(diǎn)P向圓C1：x2+(y-3)2=5引切線，切線長(zhǎng)為d1，從點(diǎn)P向圓C2：(x-5)2+(y+4)2=7引切線，切線長(zhǎng)為d2，則d1+d2的最小值為________.

二、設(shè)計(jì)思路

三、編題的過(guò)程

1.命題要求

題目?jī)?nèi)容：直線與圓的位置關(guān)系.

題目難度：中檔題，難度和要求與高考考綱一致.

2.研讀高考題

結(jié)合以上基本要求，為了更好地完成本次命題任務(wù)，保證命制的試題符合江蘇高考試題模式，所以筆者認(rèn)真學(xué)習(xí)了自2008年以來(lái)的江蘇高考真題中所有有關(guān)距離的試題，以期從中找到靈感.

(1)研讀考查直線和圓的位置關(guān)系的問題

對(duì)2008年以來(lái)的直線和圓的問題進(jìn)行了梳理和歸納，其目的是把握命題的難度和方向以及尋找命題的靈感.筆者發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)直線和圓的問題都是借助圓的方程來(lái)研究圓或直線的性質(zhì)，有時(shí)候利用幾何性質(zhì)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.比如：

題目1(2010·江蘇卷·9)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2+y2=4上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是________.

(2)研讀考查非直線和圓的位置關(guān)系的問題

目的是遷移、發(fā)散思維，尋找命題的靈感.比如：

題目2(2008·江蘇卷·17)如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B及CD的中點(diǎn)P處，AB=20 km，BC=10 km.為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上(含邊界)，且與A，B等距離的一點(diǎn)O處，建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO，BO，PO.記排污管道的總長(zhǎng)度為ykm.

(Ⅰ)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系：

(ⅰ)設(shè)∠BAO=θ(rad)，將y表示為θ的函數(shù)；

(ⅱ)設(shè)PO=x(km)，將y表示為x的函數(shù).

(Ⅱ)請(qǐng)你選用(Ⅰ)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的排污管道的總長(zhǎng)度最短.

通過(guò)對(duì)江蘇高考真題的研讀，筆者發(fā)現(xiàn)，距離最短問題是江蘇高考?？键c(diǎn)，每年的高考試題中都會(huì)有所體現(xiàn).而且，以直線和圓為背景的最值問題很好地考查了學(xué)生的理性思維、分類思想以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力，倍受高考命題專家的青睞.

3.研讀教材

根據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐，筆者發(fā)現(xiàn)，經(jīng)典的高考試題大多是從教材中題目演變而來(lái)的，教材中的習(xí)題可分為練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)參考題、本章測(cè)試，不同題目的指向目標(biāo)也不一樣.因此，作為一線教師，應(yīng)該多研究教材上的題目之間的聯(lián)系，研究高考試題和教材中的習(xí)題之間的聯(lián)系，認(rèn)真思考，發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，對(duì)于原創(chuàng)試題很有指導(dǎo)意義.因此，筆者試圖從教材蘇教版《必修2》中“直線與圓的位置關(guān)系”一節(jié)的內(nèi)容尋找命題的點(diǎn).比如，蘇教版《必修2》中“直線與圓的位置關(guān)系”一節(jié)后練習(xí)題第6題：從圓(x-1)2+(y-1)2=1外一點(diǎn)P(2，3)向圓引切線，求切線長(zhǎng).筆者從中得到啟發(fā).

通過(guò)以上兩方面的研讀、學(xué)習(xí)，切線長(zhǎng)問題是自2008年以來(lái)高考尚未涉及的內(nèi)容，容易成為學(xué)生學(xué)習(xí)的盲點(diǎn)，所以筆者試圖以這方面知識(shí)為背景命制一道試題.

4.原創(chuàng)雛形

初稿：平面直角坐標(biāo)系xOy中，從動(dòng)點(diǎn)P向圓C：x2+(y-3)2=1引切線，切線長(zhǎng)為d1，點(diǎn)P到x軸的距離為d2，則d1+d2的最小值為________.

基本想法：以直線和圓為背景，將切線長(zhǎng)(距離)與其他距離進(jìn)行組合命制試題，具體想考查二元變量最值問題的基本解決方法.但因?yàn)檫@個(gè)問題沒有最小值，只能證明無(wú)限接近2，況且這類問題高考也從未涉及，所以考慮給動(dòng)點(diǎn)加個(gè)限制條件，減少變量個(gè)數(shù).

【評(píng)注】最值問題一般通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性或者不等式求解，通過(guò)不等式求解的方法中很多都是和完全平方式聯(lián)系在一起的，比如二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，判別式法，基本不等式等等.本題雖可為教學(xué)中貫穿基本方法以及基本方法之間的聯(lián)系提供資源，但設(shè)參數(shù)，將最值問題轉(zhuǎn)化成方程的有解問題的解題思路，學(xué)生不常用，不易想到；一道好題還應(yīng)該體現(xiàn)出學(xué)生的差異性，讓不同的學(xué)生有不同的收獲，因此，放棄了本稿.

再稿2：平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在x軸上，從點(diǎn)P向圓C1：x2+(y-2)2=1引切線，切線長(zhǎng)為d1，從點(diǎn)P向圓C2：x2+(y+3)2=1引切線，切線長(zhǎng)為d2，則|d1-d2|的最大值為________.

再稿3：平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在x軸上，從點(diǎn)P向圓C1：x2+(y-2)2=1引切線，切線長(zhǎng)為d1，從點(diǎn)P向圓C2：x2+(y+3)2=1引切線，切線長(zhǎng)為d2，則d1+d2的最小值為________.

5.其他變式

變式1.平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在x軸上，從點(diǎn)P向圓C1：(x+3)2+(y-2)2=3引切線，切線長(zhǎng)為d1，從點(diǎn)P向圓C2：(x-3)2+(y+3)2=8引切線，切線長(zhǎng)為d2，若d1+d2=10，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

上述變式考慮的均是以圓的切線長(zhǎng)為背景的問題，當(dāng)然，我們還可以發(fā)散到以二次曲線的切線長(zhǎng)為背景的問題，將直線上的動(dòng)點(diǎn)，發(fā)散到曲線上的動(dòng)點(diǎn)等，更期待各位同仁的參與.

四、試題測(cè)量與評(píng)價(jià)

考試結(jié)束后，筆者對(duì)學(xué)生的答題情況進(jìn)行了全面的統(tǒng)計(jì)與分析，獲得了試題的質(zhì)量指標(biāo)，試題難度為0.448，區(qū)分度為0.606.從學(xué)生答題情況看，44.8%的同學(xué)得5分，其余的同學(xué)得0分，對(duì)得0分的同學(xué)進(jìn)行后期調(diào)訪時(shí)發(fā)現(xiàn)：40.7%是因?yàn)闆]有時(shí)間去做造成的，43.5%是因?yàn)闆]有讀懂題意導(dǎo)致沒有解題思路造成的,15.8%是直接放棄.

總的來(lái)講，本題的設(shè)計(jì)科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)、新穎，具有一定的美感，符合高考的考綱要求，對(duì)學(xué)生具有一定的針對(duì)性，高考是選拔性考試，高考試題一定要有區(qū)分度，以利于不同層次學(xué)校對(duì)人才的選拔.作為測(cè)試卷填空題的小壓軸題，本題起到了較好的把關(guān)作用，有效地區(qū)分了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和學(xué)科素養(yǎng).

五、思考

從試題涉及的知識(shí)體系看，原創(chuàng)試題要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)體系的主干內(nèi)容，在知識(shí)的交會(huì)處設(shè)計(jì)試題；從試題涉及的思想方法看，原創(chuàng)試題要關(guān)注試題的“可持續(xù)發(fā)展”功能，試題立意要明確，不能廉價(jià)轉(zhuǎn)化、機(jī)械組合，也不要有意設(shè)置陷阱，同時(shí)，原創(chuàng)試題時(shí)也要特別關(guān)注語(yǔ)言表述，盡量做到簡(jiǎn)潔，避免歧義.原創(chuàng)試題的“新”更要體現(xiàn)在情景與方法的選擇上，不要讓技巧和繁瑣的運(yùn)算淡化了主題，當(dāng)然，原創(chuàng)試題也有它的時(shí)效性，需要不斷更新，再好的新題，學(xué)生做過(guò)幾次后也就成了舊題.