李 靜,廖淑華,喬 鐵

(鄭州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院,河南 鄭州 451460)

管道是石油工業(yè)的動(dòng)脈，是石油生產(chǎn)中的重要環(huán)節(jié)。如何合理設(shè)計(jì)管道的鋪設(shè)線路以減少建設(shè)費(fèi)用的問(wèn)題，已受到人們的重視。某油田計(jì)劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時(shí)在鐵路線上增建一個(gè)車(chē)站，用來(lái)運(yùn)送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計(jì)院希望建立管線建設(shè)費(fèi)用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。本研究根據(jù)2010年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽專(zhuān)科組的C題(簡(jiǎn)稱(chēng)競(jìng)賽題)，建立輸油管道鋪設(shè)的優(yōu)化模型。

1 問(wèn)題的提出與分析

對(duì)于競(jìng)賽題中的問(wèn)題(1)，可以看作是共用管線與非共用管線費(fèi)用是否相同兩種不同情形。在這兩種情形中考慮兩煉油廠到鐵路線的距離和兩煉油廠間距離的各種不同情況，設(shè)計(jì)出使管線建設(shè)費(fèi)用最省的方案。經(jīng)過(guò)分析得出了以下幾種可能的煉油廠位置，如圖1所示。

圖1 兩個(gè)煉油廠與鐵路線可能的位置示意圖

圖1(1)表示兩煉油廠連線不與鐵路線平行的情況；圖1(2)表示兩煉油廠連線與鐵路線平行的情況；圖1(3)表示兩煉油廠連線與鐵路線垂直的情況；圖1(4)表示一個(gè)煉油廠位于鐵路線邊緣的情況；圖1(5)表示兩煉油廠都位于鐵路線邊緣的情況。

根據(jù)實(shí)際資料可知，煉油廠與鐵路線距離過(guò)近(a,b<80m)時(shí)發(fā)生火災(zāi)等災(zāi)害的可能性大，從安全方面考慮，圖1(4)和圖1(5)所示的兩種情形不符合實(shí)際，故不考慮。對(duì)圖1(1)所示情形進(jìn)行分析求解，可以得到一般的模型(注意考慮共用管線與非共用管線費(fèi)用相同與不同的兩種情形)。

當(dāng)共用管線與非共用管線費(fèi)用相同時(shí)，欲使管線建設(shè)費(fèi)用最省，只要使總線路最短即可。由勾股定理即可得線路總長(zhǎng)。

當(dāng)共用管線與非共用管線費(fèi)用不同時(shí)，若共用管線與非共用管線費(fèi)用之比為k：1，欲使管線建設(shè)費(fèi)用最省，只需滿足共用管線加權(quán)后，總線路最短即可。但是，當(dāng)k≥2時(shí)，使用共用管線輸油會(huì)比全部使用非共用管線輸油的費(fèi)用多，因此只需考慮1≤k≤2的情形，其余思路、算法同上一種情形。

競(jìng)賽題中的問(wèn)題(2)在問(wèn)題(1)的基礎(chǔ)上，給定一些參數(shù)，要求設(shè)計(jì)出最優(yōu)方案、計(jì)算出最小費(fèi)用。首先根據(jù)所給的附加費(fèi)估計(jì)表，對(duì)各公司的資質(zhì)等級(jí)采用1-9比較原則建立比較矩陣，計(jì)算出各公司在評(píng)估附加費(fèi)時(shí)的權(quán)值，即可得到在城區(qū)鋪設(shè)管線所追加的附加費(fèi)為21.4萬(wàn)元/km。然后，分別計(jì)算出鋪設(shè)在城區(qū)的管線長(zhǎng)度和鋪設(shè)在郊區(qū)的管線長(zhǎng)度，得出總鋪設(shè)長(zhǎng)度。最后，根據(jù)各自的費(fèi)用以及在城區(qū)鋪設(shè)管線所追加的附加費(fèi)用，建立總費(fèi)用函數(shù)。利用MATLAB軟件求解出共用管線與非共用管線交匯點(diǎn)的坐標(biāo)，以及城鄉(xiāng)管線交匯點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到最優(yōu)方案，并求出費(fèi)用的最小值。

競(jìng)賽題中的問(wèn)題(3)是在問(wèn)題(2)的前提下，進(jìn)一步強(qiáng)化了條件，根據(jù)各煉油廠輸油能力，視情況挑選管線材質(zhì)，進(jìn)一步節(jié)省了管線材質(zhì)的開(kāi)銷(xiāo)，使得費(fèi)用盡量減少。由于各煉油廠輸油管線材質(zhì)不同，價(jià)錢(qián)也不同，因此對(duì)于不同的城鄉(xiāng)管線以及煉油廠輸油管賦予不同的加權(quán)值，建立總費(fèi)用函數(shù)。利用MATLAB軟件求解出共用管線與非共用管線交匯點(diǎn)坐標(biāo)，以及城鄉(xiāng)管線交匯點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到最優(yōu)設(shè)計(jì)方案，并求出費(fèi)用的最小值。

2 競(jìng)賽題問(wèn)題(1)的模型建立與求解

對(duì)于特殊情形l=0時(shí)，即兩煉油廠連線垂直于鐵路線，如圖2所示，最優(yōu)方案是車(chē)站設(shè)在E點(diǎn)處。

圖2 兩廠與車(chē)站的位置

以下在l>0的情形下討論。

在不確定有無(wú)共用管線的情況下，可先給出一種一般的情況進(jìn)行分析計(jì)算。在此情況下，討論共用管線與非共用管線費(fèi)用相同與不同的兩種情形。

1)共用管線與非共用管線費(fèi)用相同

要使費(fèi)用最省，只要管線鋪設(shè)長(zhǎng)度最短即可。如圖3所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)管線交匯點(diǎn)為P(x,y)。根據(jù)勾股定理，可以得到共用管線與非共用管線費(fèi)用相同時(shí)所鋪設(shè)管線總長(zhǎng)度為

圖3 共用與非共用管線費(fèi)用相同的情況

利用MATLAB軟件求解得

容易驗(yàn)證，問(wèn)題的最優(yōu)解為

根據(jù)實(shí)際情況，不妨設(shè)al和y

圖4 兩廠和車(chē)站設(shè)置示意圖

2)共用管線與非共用管線費(fèi)用不同

對(duì)于共用管線與非共用管線鋪設(shè)費(fèi)用不同的情況，可設(shè)共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用之比為k：1，且k>1。在共用管線與非共用管線費(fèi)用相同的基礎(chǔ)上，給共用管線加一個(gè)權(quán)值，便可得到總鋪設(shè)長(zhǎng)度為

利用MATLAB軟件求解得到最優(yōu)解為

當(dāng)1

3 競(jìng)賽題問(wèn)題(2)的模型建立與求解

由于問(wèn)題(2)要考慮管線鋪設(shè)在兩種不同的區(qū)域，即城區(qū)和郊區(qū)。在城區(qū)管道鋪設(shè)時(shí)，還要考慮支付拆遷等附加費(fèi)的情況，為估算此項(xiàng)費(fèi)用，特聘請(qǐng)了三家工程咨詢(xún)公司(其中公司一具有甲級(jí)資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級(jí)資質(zhì))進(jìn)行了估算。這三家公司估算出附加費(fèi)用分別為21萬(wàn)元/km,24萬(wàn)元/km,20萬(wàn)元/km。

由于三家公司所給出附加費(fèi)用不同，而且其資質(zhì)等級(jí)也不同，可以將三家公司所提供的拆遷等附加費(fèi)的估算情況和公司資質(zhì)等級(jí)進(jìn)行一個(gè)系統(tǒng)、全面的綜合分析。這里采取1-9比例標(biāo)度方法，得到各公司在評(píng)估附加費(fèi)用時(shí)所占權(quán)重。

由于鋪設(shè)管線每千米的拆遷等附加費(fèi)用是鋪設(shè)管線費(fèi)用的近三倍之多，因此在確定設(shè)置方案時(shí)要盡量減少在城區(qū)鋪設(shè)管道的長(zhǎng)度。根據(jù)分析結(jié)果，做出管線鋪設(shè)的方案如圖5所示，不妨設(shè)城鄉(xiāng)管線交匯點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(15，z)。

圖5 城鄉(xiāng)共用鋪設(shè)管線的示意圖

根據(jù)勾股定理得到在城鄉(xiāng)共同鋪設(shè)管線所需總費(fèi)用函數(shù)為

利用MATLAB軟件求解可得x=5.451 3，y=1.852 7，z=7.365 6，最小費(fèi)用值為w1=282.193 4(萬(wàn)元)。

4 競(jìng)賽題問(wèn)題(3)的模型建立與求解

考慮問(wèn)題(3)的方法與問(wèn)題(2)類(lèi)似。但是由于兩煉油廠的產(chǎn)油能力不同，在鋪設(shè)非共用管線時(shí)，則可采用不同材質(zhì)的管線，即各煉油廠非共用管線重要性程度不同，可以賦予不同的權(quán)值，從而可以減少管線的投資費(fèi)用。

由于在城區(qū)鋪設(shè)管線的附加費(fèi)用21.4萬(wàn)元/km不變，因此，要盡量減少在城區(qū)鋪設(shè)管線的長(zhǎng)度。

設(shè)計(jì)方案如圖5所示。設(shè)城鄉(xiāng)管線交匯點(diǎn)坐標(biāo)仍記為(15,z)，由勾股定理可得到在城鄉(xiāng)共同鋪設(shè)管線所需要的總費(fèi)用函數(shù)為

利用MATLAB軟件求其最小值，得x=6.735 5，y=0.137 7,z=7.276 8，其最小費(fèi)用值為w2=251.463 3萬(wàn)元。

5 模型的結(jié)果分析與評(píng)價(jià)

(1)在競(jìng)賽題問(wèn)題(2)中，采用1-9比例標(biāo)度計(jì)算得出附加費(fèi)用為21.4萬(wàn)元/km。如果使用算術(shù)平均值計(jì)算出的附加費(fèi)用為21.67萬(wàn)元/km，則二者相比差別不大，因此方法是合理的。

(2)在競(jìng)賽題問(wèn)題(2)和問(wèn)題(3)中，關(guān)于z的取值比較接近8。這也就是說(shuō)城郊結(jié)合點(diǎn)選在B點(diǎn)處，是在城市和郊區(qū)的交匯界線的垂足點(diǎn)偏下一些，與實(shí)際情況是相符合的。

(3)在競(jìng)賽題問(wèn)題(2)中，在選擇三家咨詢(xún)公司的權(quán)值時(shí)，并不一定要采用1-9比例標(biāo)度方法，也可以考慮其他合適的權(quán)值。譬如可以對(duì)兩種極端情形1:0:0和1:1:1做進(jìn)一步分析，給出附加費(fèi)用的范圍,從而也可以得到最小費(fèi)用的一個(gè)范圍。

(4)雖然該模型是根據(jù)輸油管線鋪設(shè)問(wèn)題給出的，但模型也可以直接應(yīng)用于綜合布線問(wèn)題和天然氣等其他管線的鋪設(shè)問(wèn)題。

(5)該模型能夠較全面反映問(wèn)題中所給的各項(xiàng)條件對(duì)問(wèn)題的影響，根據(jù)要求建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件和方法求得最優(yōu)解，選擇出最優(yōu)的輸油管線設(shè)計(jì)方案，使得鋪設(shè)管線的費(fèi)用最省。該模型適用范圍廣泛，能求解多類(lèi)管道鋪設(shè)問(wèn)題，亦能用于優(yōu)化公路線路設(shè)計(jì)問(wèn)題，稍加改進(jìn)也可運(yùn)用于運(yùn)輸領(lǐng)域。