楊 帆 劉 岑 張紅衛(wèi) 劉 兵 范有雄 劉小寧

(1.武漢軟件工程職業(yè)學院 機械工程學院 湖北 武漢：430205；2.湖北輕工職業(yè)技術學院 機電工程學院 湖北 武漢：430070)

在食品、醫(yī)藥、衛(wèi)生、醫(yī)療領域以及工業(yè)與民用熱交換器中，經常采用外直徑為Φ7.00～Φ12.70的小直徑軟態(tài)TP2銅管輸送有一定工作壓力的液體或氣體；為保證銅管強度的安全，計算其爆破壓力必須準確。

銅光管與銅內螺紋管是小直徑軟態(tài)TP2銅管常見的兩種結構，這兩種結構銅管爆破壓力的同質性，是指在相同條件時，其爆破壓力試驗數(shù)據的波動在允許范圍內，并能真實反映軟態(tài)TP2銅材相應性能的性質。顯然，同質性不但是兩種結構銅管爆破壓力能否采用同一公式計算的前提[1-3]，而且還是兩種結構銅管爆破壓力概率分布分析的基礎[4-8]。目前尚未見到對不同結構小直徑軟態(tài)TP2銅管爆破壓力同質性的研究。

文中以外直徑為Φ7.00～Φ12.70的小直徑TP2銅光管與銅內螺紋管為研究對象，分別將其實測爆破壓力與中徑公式計算值之比視為隨機變量，基于27組不同結構銅管實測爆破壓力[3]的有效性分析[9-11]，應用概率論與數(shù)理統(tǒng)計理論方法[12-13]，研究了兩種結構小直徑TP2銅管爆破壓力的同質性。

1 基本理論與方法

1.1 具有統(tǒng)計性質隨機變量的構建

1.1.1 小直徑TP2銅管爆破壓力計算公式

假設小直徑軟態(tài)TP2銅光管與銅內螺紋管的爆破壓力具有同質性，對于爆破壓力不受端部結構影響的長銅管[14-16]，用中徑公式計算其爆破壓力[3]：

(1)

式中，u為銅管爆破壓力的中徑公式計算值，MPa；Rm為銅材抗拉強度的均值，MPa；K為銅管徑比的均值，K=D0/Di；Di、D0分別為銅管內、外直徑的均值，mm。

1.1.2 構建具有統(tǒng)計性質的隨機變量

構建如下具有統(tǒng)計性質的隨機變量

(2)

式中，p為小直徑TP2銅管爆破壓力的實測值，MPa；r為具有統(tǒng)計性質的的隨機變量。

1.2 統(tǒng)計量及其有效性

通過試驗可得到相同結構小直徑TP2銅管爆破壓力的n組實測數(shù)據pi(1≤i≤n)，根據式(1)可得到爆破壓力的中徑公式計算值ui(1≤i≤n)，對應的統(tǒng)計量由式(2)可得：

(3)

式中，ui為采用中徑公式算得的第i個小直徑TP2銅管爆破壓力，MPa；pi為第i個小直徑TP2銅管爆破壓力的實測值，MPa；ri為統(tǒng)計量。

對n組爆破壓力實測數(shù)據進行統(tǒng)計，可得到統(tǒng)計量的平均值與精密度：

(4)

(5)

應用數(shù)理統(tǒng)計中的t分布是判別統(tǒng)計量有效性的基本方法[9-11]，在雙側置信度為(1-α)時，由t分布性質和實測數(shù)據組數(shù)n，可確定判別統(tǒng)計量有效性的t分布系數(shù)tn-1,0.5α，文中所用的t分布系數(shù)見表1[12-13]。

表1 有關分布系數(shù)

判別ri有效性的指標為[14-17]：

(6)

若

|ti|>t0.5α,n-1

(7)

表明ri不是有效統(tǒng)計數(shù)據，需要剔除；應從統(tǒng)計數(shù)據ri的最小值或者最大值開始剔除無效數(shù)據，每剔除1個無效數(shù)據，都必須計算其余數(shù)據的平均值與精密度，再判別其余數(shù)據的有效性；若有m個有效數(shù)據，則最后按式(4)與式(5)，重新計算m個有效數(shù)據的平均值與精密度。

若

|ti|

(8)

表明ri是有效統(tǒng)計數(shù)據。

文中取α=0.05，即在雙側置信度為95%時分析統(tǒng)計量的有效性，表明有95%把握認為剔除的無效數(shù)據是意外因素影響而形成的。

1.3 不同結構銅管爆破壓力的同質性

對于小直徑軟態(tài)TP2銅光管(結構A)，具有統(tǒng)計性質的隨機變量

式中，pA為小直徑軟態(tài)TP2銅光管(結構A)實測爆破壓力，MPa；u為采用中徑公式算得的小直徑TP2銅光管(結構A)爆破壓力，MPa。

通過試驗，如果獲得小直徑軟態(tài)TP2銅光管(結構A)爆破壓力pA的nA組有效試驗數(shù)據pAi(i=1，2，…，nA)，不難得到pA的統(tǒng)計量：

式中，pAi為小直徑軟態(tài)TP2銅光管的第i個有效實測爆破壓力，MPa；uAi為采用中徑公式算得的小直徑TP2銅光管的第i個爆破壓力，MPa；rAi為小直徑TP2銅光管的第i個爆破壓力與中徑公式計算值之比。

對nA組有效實測爆破壓力數(shù)據進行統(tǒng)計，可得到統(tǒng)計量的平均值與精密度：

(9)

(10)

對于小直徑軟態(tài)TP2銅內螺紋管(結構B)，具有統(tǒng)計性質的隨機變量

式中，pB為小直徑軟態(tài)TP2銅內螺紋管(結構B)實測爆破壓力，MPa；uB為采用中徑公式算得的小直徑TP2銅內螺紋管(結構B)爆破壓力，MPa。

通過試驗，如果獲得小直徑軟態(tài)TP2銅內螺紋管(結構B)爆破壓力pB的nB組有效試驗數(shù)據pBi(i=1，2，…，nB)，不難得到pB的統(tǒng)計量：

式中，pBi為小直徑軟態(tài)TP2銅內螺紋管的第i個有效實測爆破壓力，MPa；uBi為采用中徑公式算得的小直徑TP2銅內螺紋管的第i個爆破壓力，MPa；rBi為小直徑TP2銅內螺紋管的第i個爆破壓力與中徑公式計算值之比。

對nB組有效實測爆破壓力數(shù)據進行統(tǒng)計，可得到統(tǒng)計量的平均值與精密度：

(11)

(12)

假設rA與rB都是基本符合正態(tài)分布的隨機變量，其均值分別為μA與μB，標準差分別為σA與σB。小直徑軟態(tài)TP2銅光管(結構A)爆破壓力與銅內螺紋管(結構B)爆破壓力同質性的判據為：

μA≈μB，σA≈σB

(13)

即rA與rB的均值與標準差分別無顯著差異。

1.3.1 標準差無顯著差異的判別

數(shù)理統(tǒng)計中的F分布，是比較標準差σA與σB是否存在顯著差異的工具，比較依據為[17-18]：

(14)

若

F1-0.5α,nA-1,nB-1≤F≤F0.5α,nA-1,nB-1

(15)

表明在雙側置信度為(1-α)時的標準差σA≈σB，即標準差σA與σB無顯著差異。

其中

取α=0.02，文中所用的F分布系數(shù)見表1[12-13]。

1.3.2 均值無顯著差異的判別

數(shù)理統(tǒng)計中的t分布也是比較均值μA與μB是否存在顯著差異的工具。假設σA≈σB，則均值μA與μB是否存在顯著差異的比較依據為[17]：

(16)

其中

(17)

若

|t|≤tnA+nB-2,0.5α

(18)

表明在雙側置信度為(1-α)時的μA≈μB，即均值μA與μB無顯著差異。

取α=0.02，文中所用的t分布系數(shù)見表1[12-13]。

1.3.3 評價

當均值μA與μB和標準差σA與σB滿足式(13)時，表明rA與rB概率分布相同，rA與rB的分布規(guī)律一樣和分布參數(shù)相同，即小直徑軟態(tài)TP2銅光管與銅內螺紋管的爆破壓力具有同質性。

1.4 概率分布

由以上分析可知，可將小直徑軟態(tài)TP2銅光管與銅內螺紋管的有效爆破壓力合并，研究隨機變量r的概率分布，概率分布包括兩個內容，一是分布規(guī)律，二是分布參數(shù)。

1.4.1 分布規(guī)律

基于合并的同質性試驗數(shù)據，可采用假設檢驗的方法[17-19]，分析隨機變量r的分布規(guī)律。

1.4.2 分布參數(shù)

①均值的取值區(qū)間。雙側置信度為(1-α)時，r的均值μ的取值區(qū)間為：

μ∈[μmin，μmax]

(19)

其中

(20)

(21)

式中，μmin與μmax分別為均值μ在雙側置信度為(1-α)時的下限與上限；t0.5α，n-1為t分布系數(shù)，由自由度(n-1)與0.5α查得。

本文取α=0.02，所用的t分布系數(shù)見表1。

②標準差的取值區(qū)間。雙側置信度為(1-α)時，r的標準差σ取值范圍為：

σ∈[σmin，σmax]

(22)

其中

(23)

(24)

本文取α=0.02，所用的χ2分布系數(shù)見表1。

③變異系數(shù)的取值范圍。雙側置信度為(1-α)時，r的變異系數(shù)C取值范圍為：

C∈[Cmin，Cmax]

(25)

其中

Cmin=σmin/μmax，Cmax=σmax/μmin

(26)

式中，Cmin與Cmax分別為C在雙側置信度為(1-α)時的下限與上限。

2 試驗數(shù)據與統(tǒng)計量的有效性

有關單位利用材質為軟態(tài)TP2、外直徑為Φ7.00～Φ12.70、徑比為1.0601～1.1724的不同結構銅管進行室溫液壓爆破試驗。

對于小直徑軟態(tài)TP2銅光管，獲得15組爆破壓力試驗數(shù)據，現(xiàn)將爆破試驗數(shù)據列入表2，表2中序號12～15的銅光管爆破口出現(xiàn)在釬焊處。現(xiàn)將與爆破試驗數(shù)據pAi及統(tǒng)計值rAi也列入表2。對于小直徑軟態(tài)TP2銅內螺紋管，獲得了12組爆破壓力試驗數(shù)據pBi，現(xiàn)將其及統(tǒng)計值rBi列入表3。

表2 銅光管(A)爆破壓力試驗數(shù)據與統(tǒng)計量

表3 銅內螺紋管(B)爆破壓力試驗數(shù)據與統(tǒng)計量

2.1 銅光管

取試驗數(shù)據有效性的雙側置信度為95%時，對于15組銅光管試驗數(shù)據，統(tǒng)計值的最小值為表2中序號第15的試驗數(shù)據r15=0.7242，用式(3)與式(4) 可知判據|t15|= 2.397>t14,0.025=2.145，因此，第15號數(shù)據無效。對余下14組銅光管統(tǒng)計值重新計算平均值與精密度，統(tǒng)計值的最小值是表2中序號為第14的試驗數(shù)據r14=0.7496，再次用式(3)與式(4)可知，|t14|=2.992>t13,0.025=2.160，因此，序號為14的數(shù)據無效。對其余的13組銅光管統(tǒng)計值再次計算平均值與精密度，用式(3)與式(4)可知，13組試驗數(shù)據統(tǒng)計值均有|ti|

表4 銅光管(A)統(tǒng)計量的平均值與精密度

2.2 銅內螺紋管

對于表3中序號為1～12的12組銅內螺紋管試驗數(shù)據，統(tǒng)計值的最小值是序號為第12的試驗數(shù)據r12=0.8240，用式(3)與式(4)可知判據|t12|=2.612>t11,0.025=2.201，因此，第12組數(shù)據無效。對余下的11組銅內螺紋管試驗數(shù)據再次計算平均值與精密度，用式(3)與式(4)可知，表3中序號為1～11的11組試驗數(shù)據統(tǒng)計值均有|ti|

表5 銅內螺紋管(B)統(tǒng)計量的平均值與精密度

研究表明，釬焊加熱可使焊縫附近的銅管材料退火，嚴重時會產生過熱和過燒，導致銅管爆破壓力降低[3]；文中剔除的是3組爆破壓力過低的無效數(shù)據，筆者認為是過熱和過燒造成的，因此，過熱和過燒導致銅管爆破壓力降低的現(xiàn)象，應引起學術界與工程界的高度重視。

3 同質性分析

3.1 標準差

對于小直徑軟態(tài)TP2銅光管與銅內螺紋管，其有效爆破壓力的統(tǒng)計值見表4與表5，由式(14)可得到標準差的比較依據：

根據表1，F(xiàn)0.99,12,10=0.206，F(xiàn)0.01,12,10=5.11，顯然F滿足式(15)，即0.206≤F≤5.11，表明在雙側置信度為98%時標準差σA≈σB，即σA與σB無顯著差異。

3.2 均值

由于σA與σB無顯著差異，由式(17)可得：

=0.04220

由式(16)可得到均值的比較依據：

根據表1，t0.02, 22=2.183，顯然t滿足式(18)：|t|=0.2834

3.3 同質性評價

根據以上分析，在雙側置信度為98%時，有μA≈μB與σA≈σB，滿足式(13)，即rA與rB具有相同的概率分布，故小直徑軟態(tài)TP2銅光管與銅內螺紋管的爆破壓力具有同質性。因此，采用中徑公式計算銅光管與銅內螺紋管的爆破壓力合適。

從以上分析還可知，與銅光管相比，內螺紋對小直徑軟態(tài)TP2銅管爆破壓力的影響不明顯。

4 概率分布

4.1 分布規(guī)律

分布規(guī)律假設檢驗的基本方法見[4-8，19-23]。

4.1.1rA與rB的分布規(guī)律

①假設隨機變量rA與rB基本符合正態(tài)分布。rA與rB分別有13組與11組有效統(tǒng)計數(shù)據，因1+3.3lg13= 4.67與1+3.3lg11=4.44，故將其分別分為5個區(qū)間。

②計算皮爾遜統(tǒng)計量之和。rA與rB每個區(qū)間實際頻數(shù)與理論頻數(shù)差異的皮爾遜統(tǒng)計量之和見表6。

表6 rA與rB的皮爾遜統(tǒng)計量

③檢驗。由于rA與rB的自由度都為f=5-1-2=2，取顯著度δ=0.05，皮爾遜統(tǒng)計量的允許值由表1得：

4.1.2 r的分布規(guī)律

①同質性有效數(shù)據的合并。由于小直徑軟態(tài)TP2銅光管與銅內螺紋管的有效爆破壓力是同質的，因此，可將銅光管與銅內螺紋管有效爆破壓力的統(tǒng)計值合并，見表7。

表7 銅光管與銅內螺紋管統(tǒng)計量的平均值與精密度

4.2 分布參數(shù)

4.2.1rA的分布參數(shù)

雙側置信度為98%時，基于表4數(shù)據，由式(19)～式(21)可得rA均值μA的取值區(qū)間：

μA∈[0.9428，1.0120]

(27)

由式(22)～式(24)可得rA標準差σA的取值范圍：

σA∈[0.02652，0.07186]

(28)

將式(18)與式(19)代入式(25)與式(26)，可得rA變異系數(shù)CA的取值范圍：

CA∈[0.02621，0.07622]

(29)

4.2.2rB的分布參數(shù)

雙側置信度為98%時，基于表5數(shù)據，由式(19)～式(21)可得rB均值μB的取值區(qū)間：

μB∈[0.9367，1.0279]

(30)

表8 r的皮爾遜統(tǒng)計量

由式(22)～式(24)可得rB標準差σB的取值范圍：

σB∈[0.02989，0.09002]

(31)

將式(18)與式(19)代入式(25)與式(26)，可得rB變異系數(shù)CB的取值范圍：

CB∈[0.02907，0.09611]

(32)

4.2.3r的分布參數(shù)

雙側置信度為98%時，基于表7數(shù)據，由式(19)～式(21)可得r均值μ的取值區(qū)間：

μ∈[0.9641，1.0083]

(33)

由式(22)～式(24)可得r標準差σ的取值范圍：

σ∈[0.03153，0.06373]

(34)

將式(18)與式(19)代入式(25)與式(26)，可得r變異系數(shù)C的取值范圍：

C∈[0.03127，0.06610]

(35)

4.2.4 關于分布參數(shù)的討論

根據以上分析，隨機變量rA與rB具有同質性，但是，從式(27)～式(35)可知，rA與rB的分布參數(shù)取值區(qū)間存在一些差別，可認為這是有效試驗數(shù)據的差異造成的。另外，利用兩個正態(tài)隨機變量分布參數(shù)的比較方法[20]，可知隨機變量rA與rB的分布參數(shù)取值區(qū)間無顯著差異。

由于隨機變量rA與rB具有同質性，將其有效試驗數(shù)據合并，得到隨機變量r的分布參數(shù)取值區(qū)間，比較式(27)～式(35)，即分析rA、rB與r分布參數(shù)的取值區(qū)間，可以發(fā)現(xiàn)r分布參數(shù)的取值區(qū)間是最優(yōu)的。

5 結論

應用數(shù)理統(tǒng)計理論與方法，建立了小直徑軟態(tài)TP2銅光管與銅內螺紋管爆破壓力同質性的分析方法，基于24組有效實測爆破壓力數(shù)據，得到如下結論。

1)不考慮端部結構的影響，文中兩種結構小直徑軟態(tài)TP2銅光管與銅內螺紋管的爆破壓力具有同質性，內螺紋對小直徑軟態(tài)TP2銅管爆破壓力的影響不明顯，可用中徑公式計算銅光管與銅內螺紋管的爆破壓力。

2)在顯著度為0.05時，小直徑TP2銅管24組有效爆破壓力的實測值與中徑公式計算值之比，是基本符合正態(tài)分布的隨機變量；在雙側置信度98%時，該隨機變量的均值位于0.9641與1.0083之間，標準差位于0.03153與0.06373之間，變異系數(shù)位于0.03127與0.06610之間。