趙文軒

(山東省泰安第二中學(xué) 271000)

概率論是高中數(shù)學(xué)課程中重要的組成部分，涉及排列組合、概率公式、分布定律等知識(shí)，是高中數(shù)學(xué)中的重要模塊.但是一些同學(xué)對(duì)概率論的認(rèn)識(shí)存在誤區(qū)，認(rèn)為概率論僅為課本知識(shí)，沒有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.實(shí)際上概率論在實(shí)際生活中有著廣泛應(yīng)用，可以對(duì)不確定的問題進(jìn)行量化，從而幫助人們做出科學(xué)決策.概率論的發(fā)展可以分為三個(gè)時(shí)期：以卡爾達(dá)諾、費(fèi)馬、帕斯卡和惠更斯為代表的十七世紀(jì)中葉到1872年，被稱為“古典概率論”時(shí)期；從1872年到20世紀(jì)初，被稱為“分析概率”時(shí)期；1933年以后，被稱為“測(cè)度概率論”時(shí)期.

一、概率論簡述

我們生活的大千世界存在著諸多各形各色的事物現(xiàn)象與社會(huì)現(xiàn)象，從人類理性預(yù)知的角度看，其大致可以分為確定性現(xiàn)象與不確定現(xiàn)象.確定現(xiàn)象的問題較為簡單，比如“地球圍著太陽轉(zhuǎn)，月球圍著地球轉(zhuǎn)”等真理.與之對(duì)比，不確定現(xiàn)象較為復(fù)雜.不確定現(xiàn)象也稱為隨機(jī)現(xiàn)象，關(guān)于隨機(jī)現(xiàn)象是否具有規(guī)律性的問題是數(shù)學(xué)研究的熱點(diǎn)問題，這也催生了概率論的產(chǎn)生.因此，可以將概率論看作是通過數(shù)學(xué)視角研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科.

進(jìn)入二十世紀(jì)，概率論作為一支活躍的、實(shí)用性強(qiáng)的隨機(jī)事件理論得以快速發(fā)展.起初概率論源于實(shí)際生活的需要，物理、通訊、管理等科學(xué)的發(fā)展需求加速了概率論的進(jìn)一步研究.如今的概率論已經(jīng)活躍在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，其理論框架更加系統(tǒng)化，并作為數(shù)學(xué)問題分析工具得到了大范圍的推廣和應(yīng)用，同時(shí)也在實(shí)踐中得到創(chuàng)新發(fā)展.

概率論在數(shù)學(xué)上有著嚴(yán)格的公理化定義，主要性質(zhì)有三條：首先，使用在[0,1]之間的非負(fù)數(shù)衡量一個(gè)事件的概率值大小.當(dāng)一個(gè)事件的發(fā)生概率為1時(shí)，該事件稱為必然事件；當(dāng)一個(gè)事件發(fā)生的概率為0時(shí)，稱之為不可能事件.比如太陽東升西落為必然事件，那么發(fā)生概率為1；公雞下蛋為不可能事件，發(fā)生概率為0；擲一次骰子，擲得4點(diǎn)的事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，那么其發(fā)生概率為0到1之間的某值.其次，有限個(gè)互斥事件的和事件發(fā)生的概率為各互斥事件發(fā)生概率的和.比如箱子里有紅、藍(lán)、黃、黑球各一個(gè)，從中任取一球，取到紅球的概率為1/4，取到藍(lán)球的概率也為1/4，取到紅球或藍(lán)球的概率則為取到紅球和取到藍(lán)球兩事件的概率之和，為1/2.最后，相互獨(dú)立的兩個(gè)事件發(fā)生的聯(lián)合概率等于各事件發(fā)生的概率乘積[2].比如甲和乙兩人分別從裝有4個(gè)球(紅、藍(lán)、黃、黑球各一個(gè))任取一球，兩個(gè)人都取到紅球的概率為，甲取到紅球的概率乘以乙取到紅球的概率，即1/4×1/4=1/16.

二、概率論的發(fā)展歷程

概率論起源于保險(xiǎn)行業(yè)，但對(duì)于概率論進(jìn)行數(shù)學(xué)化的邏輯理論研究開始于賭博行業(yè).如同新生嬰兒出生前的準(zhǔn)備一樣，概率論的出現(xiàn)也是漫長準(zhǔn)備期的成果.卡當(dāng)?shù)摹墩撡€博》、伯努里的《猜度術(shù)》中提到的“伯努利定理”，便是大數(shù)定律(又稱大數(shù)法則，是指在一個(gè)隨機(jī)事件中，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率趨于一個(gè)穩(wěn)定值)的雛形.概率論的發(fā)展可分為古典時(shí)期、初等發(fā)展時(shí)期、分析概率時(shí)期以及現(xiàn)代概率時(shí)期.

概率論研究者們普遍認(rèn)為概率論早期研究始于十六世紀(jì)到十七世紀(jì).如果更寬泛一些，甚至可以將十四世紀(jì)骰子、抽簽問題的出現(xiàn)可以視為概率論早期研究的形式.十七世紀(jì)，西方出現(xiàn)的文藝復(fù)興與工業(yè)革命為概率論的發(fā)展提供了大背景.工業(yè)蓬勃發(fā)展帶來的效率問題，航海業(yè)發(fā)展帶來的時(shí)間誤差問題，貿(mào)易業(yè)激增帶來的負(fù)債率、資產(chǎn)率等催生了概率論的出現(xiàn).概率論是應(yīng)實(shí)踐的需求而出現(xiàn)的，其中較為著名的是伽利略的對(duì)于物理實(shí)驗(yàn)誤差問題的研究，他認(rèn)為誤差問題可以作為隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行概率估算.這一階段是概率論發(fā)展的古典時(shí)期.

概率論的初等發(fā)展時(shí)期的代表人物是瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利，他在這一時(shí)期的概率研究也建立在賭博問題之上，代表著作是1713年出版的《猜度術(shù)》，建立了第一個(gè)以數(shù)學(xué)理論為主要特征的概率論的極限定律，即著名的伯努利大數(shù)定律.這一理論的誕生為頻率數(shù)學(xué)抽象化理論研究奠定了基礎(chǔ)，也是研究等可能性問題的極其重要的鋪墊理論.

十九世紀(jì)，概率論的發(fā)展進(jìn)入分析概率時(shí)期.在這一時(shí)期，俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫以伯努利定理和泊松大數(shù)定理作為特例建立了關(guān)于獨(dú)立隨機(jī)變量序列的大數(shù)定律，并在此基礎(chǔ)上推廣出更為普遍的中心極限定理.十九世紀(jì)末期，概率論在統(tǒng)計(jì)物理等領(lǐng)域的實(shí)踐應(yīng)用催生了對(duì)概率論基本概念與原理進(jìn)行解釋的需求.與此同時(shí)，概率論古典發(fā)展時(shí)期中基本概念的矛盾之處也被進(jìn)一步挖掘和放大.概率論理論進(jìn)一步得到完善.

概率論真正的現(xiàn)代階段開始于二十世紀(jì).社會(huì)生產(chǎn)發(fā)展迅速、科技進(jìn)步日新月異推動(dòng)了概率論的進(jìn)一步發(fā)展，也出現(xiàn)了新的學(xué)科分支.概率論應(yīng)用也遍布各個(gè)產(chǎn)業(yè)的方方面面.現(xiàn)代概率時(shí)期的研究重點(diǎn)是無數(shù)多隨機(jī)變量集合的隨機(jī)過程.這是以時(shí)間序列為研究維度、對(duì)數(shù)學(xué)思維的抽象化.大數(shù)定律和中心極限定理的應(yīng)用范圍在馬爾可夫(俄羅斯數(shù)學(xué)家)的研究中得以推廣，成為現(xiàn)代概率論研究的基礎(chǔ).

三、現(xiàn)代概率論的應(yīng)用

概率論在生活中隨處可見，為物理學(xué)、生物學(xué)、信息論、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程技術(shù)等學(xué)科提供了數(shù)學(xué)工具.本文以車險(xiǎn)行業(yè)、生物遺傳學(xué)中的概率論應(yīng)用進(jìn)行說明.

1.在車險(xiǎn)中的應(yīng)用

雖然對(duì)于概率論進(jìn)行數(shù)學(xué)化的邏輯理論研究開始于賭博行業(yè)，但概率論卻起源于保險(xiǎn)行業(yè).保險(xiǎn)已經(jīng)成為人們生活中保障人們生活質(zhì)量的重要內(nèi)容，以實(shí)際案例進(jìn)行證明，比如小趙在某保險(xiǎn)公司購買汽車保險(xiǎn)，其中保險(xiǎn)額最高為20萬元，在這險(xiǎn)種中第三責(zé)任險(xiǎn)需小趙支付1200元的保險(xiǎn)費(fèi)，那當(dāng)購買這一險(xiǎn)種的人數(shù)達(dá)到1000名時(shí)，保險(xiǎn)公司在這一保險(xiǎn)銷售中盈利40萬元的概率以及虧損概率是多少?這是需要對(duì)保險(xiǎn)賠償金額及事故次數(shù)進(jìn)行分析.如果每次事故需保險(xiǎn)公司賠付5萬元，那么保險(xiǎn)公司要獲得40萬元的利潤就必須保證將事故次數(shù)控制在16次以內(nèi)，通過對(duì)被保險(xiǎn)車輛的調(diào)查，發(fā)生事故的幾率一般為0.5%.通過計(jì)算可以得知保險(xiǎn)公司盈利40萬元的概率為0.99998；發(fā)生虧損的概率為0.0000000068.可以看出保險(xiǎn)公司普遍是盈利的.

2.在生物遺傳中的應(yīng)用

概率論的誕生與發(fā)展為諸多學(xué)科提供了有效的數(shù)學(xué)模型，成為解決現(xiàn)實(shí)問題的有力工具.本文對(duì)概率的發(fā)展與應(yīng)用作了淺要的研究，尤其對(duì)保險(xiǎn)行業(yè)和生物遺傳的概率應(yīng)用作了較為詳細(xì)的說明.由于專業(yè)知識(shí)比較深?yuàn)W，專業(yè)性較強(qiáng)，所以有些工作做的還不是太深入，許多方面的研究還比較粗糙，這是作者今后要努力的方向.