于潤(rùn)鵬

(山東省聊城市茌平縣第一中學(xué) 252100)

一、什么是微元法

“微元”思想在我國(guó)最早出自莊子《天下篇》：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”，但直到牛頓時(shí)期，這一方法才被廣泛應(yīng)用，成為分析解決數(shù)學(xué)和物理問題的常用方法.

微元法就是將復(fù)雜的物理過程分成眾多微小的“元過程”，然后對(duì)“元過程”進(jìn)行分析，找出其物理規(guī)律，再將此規(guī)律通過一定的數(shù)學(xué)方法或物理思想運(yùn)用到整個(gè)過程，從而解決問題.選取的“元”代表了整個(gè)物理過程的基本特征，例如可以選取一段時(shí)間——時(shí)間元，一部分面積——面積元，一段圓弧——線元，一部分質(zhì)量——質(zhì)量元等等.

二、列舉：人教版高中物理教科書中的微元思想

高中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)有限，當(dāng)面對(duì)一些需要使用微分、積分來分析的復(fù)雜物理問題，往往難以理解，借助微元思想可以化難為易，從而幫助學(xué)生解決認(rèn)知和思維上的困難.具體方法就是先對(duì)具有代表性的“元過程”進(jìn)行物理分析，再利用數(shù)學(xué)方法將“元過程”推廣到整個(gè)物理過程.下面就以人教版高中物理教材為例，列舉應(yīng)用微元思想的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)：

人教版高中物理教科書中微元思想舉例.

知識(shí)點(diǎn)微元元素主要內(nèi)容瞬時(shí)速度的定義時(shí)間元Δt取Δt足夠小,對(duì)平均速度的元過程求極限用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器測(cè)量瞬時(shí)速度時(shí)間元Δt取Δt足夠小,算出平均速度代替瞬時(shí)速度勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移面積元Δs在v-t圖像上,物體的位移可看做無數(shù)個(gè)微小的Δs疊加,即梯形的面積重力勢(shì)能:重力做的功高度元Δh將任意路徑分成眾多小間隔,每個(gè)小間隔可近似成一條傾斜的直線,每段高度差為Δh,疊加后即為重力在整個(gè)路徑上所做的功探究彈性勢(shì)能的表達(dá)式:拉力做的功長(zhǎng)度元ΔL彈簧拉伸的過程分成多個(gè)小段,將每小段ΔL上的力視為恒力,將各小段上拉力做的功疊加

三、列舉：微元法在高考試題和物理競(jìng)賽中的妙用

物理教材中的眾多內(nèi)容中滲透的微元思想，為學(xué)生解決物理問題提供了全新的視角和巧妙的途徑.采用微元法可以將復(fù)雜、動(dòng)態(tài)的物理問題簡(jiǎn)單化，具體解題方法可以概括為①無限分割：取元②尋找“元”規(guī)律③逼近：積分疊加.

例如：半徑為R的半球形容器裝滿密度為ρ的液體.要將容器內(nèi)的液體全部抽出,至少需要做多少功?用含ρ，R，π的式子表示.

解析將容器內(nèi)的液體全部抽出需最少功即將所有液體抽到球心高度所需功的和.利用微元法解題如下：

1.無限分割：取“元”

如圖2所示在距球心x處，取一高度為dx的液體.

2.尋找“元”規(guī)律

距球心x到x+dx處的液體體積為π×(R2-x2)×dx

將這些液體抽到球心至少做功為

W=ρgπx(R2-x2)dx

3.逼近：積分疊加

將所有功積分(從0積到R)

dW=ρgπx(R2-x2)dx

評(píng)析本題的難點(diǎn)是：每一部分液體被抽出的高度不同，無法利用公式求得所做的功.采取分割取元的方法，將一小段液柱為研究對(duì)象，再結(jié)合微元的物理意義，得到對(duì)微元內(nèi)水柱做功的大小，之后運(yùn)用數(shù)學(xué)工具再對(duì)整體疊加積分從而突破難點(diǎn).

綜上可見，微元法的本質(zhì)是通過化靜為動(dòng)、化曲為直、化變?yōu)楹愕确绞?，將物理模型巧妙的轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過對(duì)“微元”累計(jì)疊加后再回歸物理情境.這種從片斷到整體的思維方式，為分析解決高中物理力學(xué)、電磁學(xué)中一些復(fù)雜的問題中提供了全新的思路，也為大學(xué)微積分的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)，促進(jìn)了學(xué)生的物理建模能力和數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，極大提升了學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng).