趙繼峰 姜付錦 邱為鋼
(1.湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 430300;2.浙江省湖州師范學(xué)院求真學(xué)院公共教研部 313000)
細(xì)線繞柱問題是中學(xué)生物理競賽訓(xùn)練題的一類常見題目,一個質(zhì)量不計的細(xì)線,一端固定在圓柱表面,一端系著一個大小不計的小球.起始時刻把細(xì)線拉直并給小球一個垂直細(xì)線方向的速度,問小球如何運(yùn)動.圓柱是有高度的,但幾乎所有的解答默認(rèn)為圓柱是沒有高度的,細(xì)線和小球在垂直圓柱的平面內(nèi)(地面上)運(yùn)動,完全忽略重力對小球的影響.讀者真的去做這個實(shí)驗(yàn),用一個筷子系一條繩子,繩子一端系一個螺絲帽等重物.你會發(fā)現(xiàn),這是個三維運(yùn)動問題,細(xì)線在圓柱上繞出一個類似螺旋線的曲線.中學(xué)師生想當(dāng)然的把這個三維運(yùn)動問題自動轉(zhuǎn)化為兩維運(yùn)動問題,就算文獻(xiàn)中明確寫出“立一個圓柱”,作者還是認(rèn)為是兩維曲線問題.假如這個柱不僅是圓柱,還有可能是圓錐或球面,文獻(xiàn)中的結(jié)論-物塊速度垂直于懸線-還成立嗎?曲面上繃緊細(xì)線上張力怎么分布?
從實(shí)際物理角度考慮,曲面應(yīng)該是粗糙的,在柱面上繃緊的細(xì)線不會在細(xì)線垂直方向上移動,我們也假設(shè)曲線面外的細(xì)線部分也是繃緊的,以弧長為參數(shù),細(xì)線在曲面上和曲面外分界點(diǎn)的坐標(biāo)是
當(dāng)然這個坐標(biāo)滿足曲面的隱函數(shù)方程F(x,y,z)=0.這個分界點(diǎn)在曲面上移動,形成一個三維曲線.設(shè)曲線在這個點(diǎn)的切線方程是:
其中三個方向角分別是切線方向與三個坐標(biāo)軸的夾角,按定義有:
滿足以下約束:cos2α+cos2β+cos2γ=1 (4)
設(shè)細(xì)線的總長度為L,那么細(xì)線末端小球的坐標(biāo)是
x′(s)=x(s)+(L-s)cosα
y′(s)=y(s)+(L-s)cosβ
z′(s)=z(s)+(L-s)cosγ(5)
(4)式兩邊對時間求導(dǎo),得到小球的速度是:
于是運(yùn)動小球速度與細(xì)線方向的內(nèi)積(點(diǎn)乘)為
(4)式兩邊對時間求導(dǎo),得到
寫開來就是
舉一個例子來說明(13)式的計算.球面上一個細(xì)線,參數(shù)方程是:
其中E(φ,k)是第二類完全橢圓積分.這種情況下與粗糙圓柱面上細(xì)線張力類似,隨著參數(shù)的變化,張力指數(shù)增長.
跳離中學(xué)物理訓(xùn)練題無論什么情況都是默認(rèn)為兩維平面運(yùn)動的模式,考慮到了真實(shí)場景,得到了三維曲面上細(xì)線繃緊運(yùn)動時,末端物塊速度也是垂直細(xì)線的結(jié)論.對于粗糙曲面上的三維纏繞細(xì)線,張力也是隨著參數(shù)指數(shù)增長的.