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        細線繞柱問題的再探討

        2019-07-01 08:28:14趙繼峰姜付錦邱為鋼
        數(shù)理化解題研究 2019年16期
        關(guān)鍵詞:細線小球曲面

        趙繼峰 姜付錦 邱為鋼

        (1.湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 430300;2.浙江省湖州師范學(xué)院求真學(xué)院公共教研部 313000)

        細線繞柱問題是中學(xué)生物理競賽訓(xùn)練題的一類常見題目,一個質(zhì)量不計的細線,一端固定在圓柱表面,一端系著一個大小不計的小球.起始時刻把細線拉直并給小球一個垂直細線方向的速度,問小球如何運動.圓柱是有高度的,但幾乎所有的解答默認為圓柱是沒有高度的,細線和小球在垂直圓柱的平面內(nèi)(地面上)運動,完全忽略重力對小球的影響.讀者真的去做這個實驗,用一個筷子系一條繩子,繩子一端系一個螺絲帽等重物.你會發(fā)現(xiàn),這是個三維運動問題,細線在圓柱上繞出一個類似螺旋線的曲線.中學(xué)師生想當然的把這個三維運動問題自動轉(zhuǎn)化為兩維運動問題,就算文獻中明確寫出“立一個圓柱”,作者還是認為是兩維曲線問題.假如這個柱不僅是圓柱,還有可能是圓錐或球面,文獻中的結(jié)論-物塊速度垂直于懸線-還成立嗎?曲面上繃緊細線上張力怎么分布?

        從實際物理角度考慮,曲面應(yīng)該是粗糙的,在柱面上繃緊的細線不會在細線垂直方向上移動,我們也假設(shè)曲線面外的細線部分也是繃緊的,以弧長為參數(shù),細線在曲面上和曲面外分界點的坐標是

        當然這個坐標滿足曲面的隱函數(shù)方程F(x,y,z)=0.這個分界點在曲面上移動,形成一個三維曲線.設(shè)曲線在這個點的切線方程是:

        其中三個方向角分別是切線方向與三個坐標軸的夾角,按定義有:

        滿足以下約束:cos2α+cos2β+cos2γ=1 (4)

        設(shè)細線的總長度為L,那么細線末端小球的坐標是

        x′(s)=x(s)+(L-s)cosα

        y′(s)=y(s)+(L-s)cosβ

        z′(s)=z(s)+(L-s)cosγ(5)

        (4)式兩邊對時間求導(dǎo),得到小球的速度是:

        于是運動小球速度與細線方向的內(nèi)積(點乘)為

        (4)式兩邊對時間求導(dǎo),得到

        寫開來就是

        舉一個例子來說明(13)式的計算.球面上一個細線,參數(shù)方程是:

        其中E(φ,k)是第二類完全橢圓積分.這種情況下與粗糙圓柱面上細線張力類似,隨著參數(shù)的變化,張力指數(shù)增長.

        跳離中學(xué)物理訓(xùn)練題無論什么情況都是默認為兩維平面運動的模式,考慮到了真實場景,得到了三維曲面上細線繃緊運動時,末端物塊速度也是垂直細線的結(jié)論.對于粗糙曲面上的三維纏繞細線,張力也是隨著參數(shù)指數(shù)增長的.

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