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        一元一次不等式(組)的求解對策(基礎(chǔ)篇)

        2019-07-01 03:32:14
        數(shù)理化解題研究 2019年17期
        關(guān)鍵詞:要點對策

        宋 揚

        (江蘇省揚州市田家炳實驗中學 225000)

        一、概念題(含不等式性質(zhì)的運用)

        例1 下列說法錯誤的是( ).

        A.若a>b,則a-c>b-cB.若a-c>b-c,則a>b

        C.若a>b,則ac2>bc2D.若ac2>bc2,則a>b

        解根據(jù)不等式的性質(zhì),對各個選項逐一判斷,選C.

        要點指導(dǎo):應(yīng)密切關(guān)注“0”存在與否,以防掉進“0”的陷阱.

        例2 若(m-1)x|m|+4>0是關(guān)于x的一元一次不等式,其解集為.

        解由一元一次不等式的定義可知 |m|=1,且m-1≠0,得m=-1,從而原不等式即為-2x+4>0,其解集為x<2.

        要點指導(dǎo):基本概念不容忽視.根據(jù)定義,掌握一元一次不等式的特征是解本題(或類似題型)的關(guān)鍵.

        二、怎樣解一元一次不等式

        主要依據(jù)不等式的解集的意義和不等式的性質(zhì)求解,其一般步驟與解方程類似,通常按照去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1的步驟進行,并能具體情況具體對待.另一方面,要特別注意與解方程不同的地方.

        解4(2x-1)≤3(3x+2)-12,8x-4≤9x+6-12,8x-9x≤6-12+4,-x≤-2,得x≥2.所以原不等式的解集為x≥2,在數(shù)軸上表示為:(略)

        要點指導(dǎo):(1)在去分母或系數(shù)化為1時,若不等式的兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),要改變不等號的方向;(2)常常會出現(xiàn)與解方程類似的錯誤,比如去分母時漏乘不帶分母的項,移項時忘記改變該項的符號等;(3)移項時,不等號的方向不變.想一想,為什么?

        三、怎樣解一元一次不等式組

        主要依據(jù)不等式組的解集的意義求解,其一般步驟是先分別求出各個不等式的解集,然后求其公共部分,即為不等式組的解集.

        求公共部分,有數(shù)軸法和口訣法.數(shù)軸法是數(shù)形結(jié)合的方法,清晰直觀,通俗易懂,對數(shù)軸法所畫的示意圖的本義要講仔細,講明白,讓同學們真正理解到位.口訣法的優(yōu)點是解題速度快,要在充分理解的基礎(chǔ)上記住口訣,熟練運用.

        對于只有兩個不等式構(gòu)成的不等式組,各自化簡后可歸結(jié)為四種基本情形,其求解口訣為:同大取大,同小取小,大小小大中間找(取中間),大大小小無處找(無解了).對于由多個不等式構(gòu)成的不等式組,各自化簡后可先將所有不等式歸為兩類,大于的一類,小于的一類,其口訣為:同大取最大,同小取最小,然后歸結(jié)為另外兩種基本情形繼續(xù)求解.

        所以原不等式組的解集為-3≤x<4,它的所有非負整數(shù)解為0,1,2,3.

        要點指導(dǎo):(1)解不等式組的過程中,不可將兩個不等式交叉運算變形,它與解方程組大不相同,要避免由解方程組的“加減法”給解不等式組帶來的負遷移所產(chǎn)生的錯誤;(2)本題在分別求出各個不等式的解集后,根據(jù)口訣“大小小大中間找”求得原不等式組的解集.

        四、求不等式(組)的特殊解

        類型對策:通常是先求出不等式(組)的解集,然后從中找出符合題意要求的特殊解.可具體參看上述例4,重點是后半部分.

        五、解帶有參數(shù)的不等式(組)

        類型對策:解含參數(shù)的不等式(組),在參數(shù)的取值不能確定的情況下,應(yīng)該對參數(shù)進行討論.是否需要全面討論,如何分段,要視具體情況而定.

        注:本題中,若題設(shè)條件明確是解關(guān)于x的一元一次不等式組,則由①、②可知a≠0,只要討論a>0與a<0兩種情況.

        要點指導(dǎo):在解含參數(shù)的不等式組時,要善于對照解普通不等式組的四種基本情形(包括各自的結(jié)論),正確運用口訣法,還要能逆向使用,全面考慮(包括端點),靈活運用. 例5用到“同小取小”與“同大取大”這兩種情形;例6是逆向使用,用到“大小小大中間找”與“大大小小無處找”這兩種情形.

        六、怎樣求解不等式(組)中的參數(shù)

        不等式(組)中的參數(shù)求解問題,往往是與不等式(組)的解集相關(guān)的問題,就是說已經(jīng)知道了某不等式(組)的解集或解集的部分信息,反過來求出該不等式(組)中參數(shù)的取值(或取值范圍).

        類型對策(常用的方法):(1)逆用不等式(組)的解集確定;(2)借助數(shù)軸確定;(3)分類討論確定.

        要點指導(dǎo):本題是根據(jù)不等式組的解集,逆用“大大小小無解了”的口訣,同時應(yīng)當注意考察端點的情況.

        注:本題可運用的解題技巧有:暫作降格處理,逆用解集(及口訣),直接(或借助數(shù)軸)觀察數(shù)據(jù)的變化趨勢等.

        要點指導(dǎo):(1)先求出關(guān)于變量的不等式(組)的解集(可用含參數(shù)的代數(shù)式表示),然后根據(jù)其它已知條件列出關(guān)于參數(shù)的數(shù)學式子,繼而求解;(2)特別要注意,類似于例8這樣的題型,含參數(shù)的代數(shù)式的取值不是只有一個數(shù),而是一個區(qū)間(取值范圍),還要仔細考察在兩個端點是否應(yīng)該取等號.

        七、在參數(shù)可確定的情況下,怎樣解不等式(組)

        類型對策:通常應(yīng)根據(jù)已知條件,先求出參數(shù)或相關(guān)系數(shù)的取值(或范圍),再求不等式(組)的解集.這類問題的求解,不宜對參數(shù)作泛泛的討論.

        解由不等式組得2bb+5 即為(-5+3)x>1+5,解得x<-3,即為所求的不等式的解集.

        要點指導(dǎo):(1)根據(jù)不等式(組)的解集的兩種表示形式應(yīng)該是一致的,列出關(guān)于參數(shù)的方程(組),求出參數(shù)后,代入所要求解的不等式(組),繼而求解;(2)本題兩個參數(shù)a、b的取值都是唯一確定的.

        除上述內(nèi)容外,不等式(組)求解的主要類型還有:可化為一元一次不等式(組)的問題,與數(shù)學其它知識點的綜合運用,在實際問題中的應(yīng)用等,可謂五彩繽紛.限于篇幅,待另文發(fā)表.

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