謝維勇

(四川省眉山中學(xué)校 620010)

在平面幾何中，我們將能完全覆蓋某平面圖形且面積最小的圓稱(chēng)為該平面圖形的最小覆蓋圓.例如，線段AB的最小覆蓋圓就是以AB為直徑的圓.能完全覆蓋住三角形的最小圓，叫做三角形的最小覆蓋圓.

在學(xué)習(xí)完圓的方程后，經(jīng)常遇見(jiàn)如下問(wèn)題：

若一個(gè)三角形三邊所在直線方程分別為x+2y-5=0,y-2=0,x+y-4=0，求能夠覆蓋此三角形且面積最小的圓的方程.

對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，多數(shù)同學(xué)通過(guò)簡(jiǎn)單的分析，會(huì)認(rèn)為三角形的外接圓就是所求圓，然后給出如下解法.

解直線x+2y-5=0,y-2=0,x+y-4=0的交點(diǎn)為A(1,2),B(2,2),C(3,1),能夠覆蓋三角形ABC且面積最小的圓是△ABC的外接圓

設(shè)△ABC的外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0

將點(diǎn)A(1,2),B(2,2),C(3,1)分別代入方程得：

辨析所求圓要覆蓋△ABC，則三個(gè)頂點(diǎn)均在圓上或圓內(nèi).若三個(gè)頂點(diǎn)都在圓內(nèi)，則圓肯定不是面積最小的；若只有一個(gè)頂點(diǎn)在圓上，則圓面積一定可繼續(xù)減??；若恰好有兩個(gè)點(diǎn)在圓上，則這兩點(diǎn)連線必然是圓的弦，欲使圓面積最小，則這兩點(diǎn)連線恰好是圓的直徑，且剩下的頂點(diǎn)需在圓內(nèi)；若三個(gè)頂點(diǎn)都在圓上，則所求圓即為三角形的外接圓.

此題中，顯然以AB,BC為直徑的圓均不能包含剩下的頂點(diǎn)，以AC為直徑的圓的方程為

那么，△ABC的最小覆蓋圓就不可能是三角形的外接圓嗎？如果不是，什么情況下才是三角形的外接圓呢？

根據(jù)上例的分析，只需考慮恰好有兩點(diǎn)在圓上，剩余點(diǎn)在圓內(nèi)和三點(diǎn)都在圓上兩種情況.

如圖是以AB為直徑的圓O，若點(diǎn)C在圓O內(nèi)，則連接BC并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D,連接AD,則∠BCA>∠BDA=90°

若點(diǎn)C在圓O上，連接BC，AC,則∠BCA=90°;

若點(diǎn)C在圓O外，連接BC交圓O于點(diǎn)D,連接AD,則∠BCA<∠BDA=90°.

由上討論可知：

當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，任意邊為直徑的圓均不能覆蓋整個(gè)三角形；

當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，只有以斜邊為直徑的圓剛好覆蓋整個(gè)三角形，此圓即為三角形的外接圓；

當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)， 鈍角所對(duì)邊為直徑的圓可以覆蓋整個(gè)三角形，此圓的面積比三角形外接圓的面積小.

證明：設(shè)任意覆蓋△ABC的⊙O的直徑為d.

(1)當(dāng)△ABC為直角或鈍角三角形時(shí),設(shè)△ABC最長(zhǎng)的邊為AC,線段AC為⊙O的弦或在圓及其內(nèi)部,故d≥AC,而以AC為直徑的圓一定覆蓋了△ABC,因此以AC為直徑的圓就是△ABC的最小覆蓋圓.

(2)當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí), 如圖,設(shè)直線AB與⊙O交于點(diǎn)D,E,直線EC與⊙O交于點(diǎn)E,F,不妨假定CF≤DA,過(guò)F作FG∥AC交直線AB于點(diǎn)G，則FG≥AC.

而∠DGF=∠DAC=180°-∠BAC>90°.

DF≥FG≥AC,又0°<∠AEC≤∠ABC<90°,

sin∠AEC≤sin∠ABC.

顯然△ABC的外接圓覆蓋了△ABC.

因此，△ABC的外接圓就是△ABC的最小覆蓋圓.

綜上，當(dāng)△ABC為銳角或直角三角形時(shí)，能夠覆蓋三角形且面積最小的圓是三角形的外接圓；當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，能夠覆蓋三角形且面積最小的圓是以最長(zhǎng)邊為直徑的圓.