黃燕　宋樹森

【摘 要】根據(jù)動力總成懸置系統(tǒng)模態(tài)及解耦的計算公式，利用EXCEL自帶的有限的矩陣運算函數(shù)，計算動力總成懸置系統(tǒng)的廣義剛度矩陣K和廣義質量矩陣M的逆矩陣M-1的乘積M-1×K（設其結果為矩陣A）。然后利用作者發(fā)明的一種特殊方法在EXCEL中求出該矩陣A的特征值，再利用逆冥法在EXCEL表中求出矩陣A的特征向量，最終計算出動力總成懸置系統(tǒng)的模態(tài)及解耦。整個計算過程龐大而復雜，但求解矩陣A的特征值和特征向量是核心，因此將重點介紹。此外，將利用工程領域應用極廣的計算軟件MATLAB對基于EXCEL的動力總成懸置系統(tǒng)模態(tài)及解耦的計算的準確性和精度進行驗證。

【關鍵詞】動力總成懸置系統(tǒng);模態(tài);解耦;EXCEL

【中圖分類號】U464.13 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-0688（2019）09-0122-04

0 前言

在開發(fā)工程車和乘用車時，為了整車的駕乘舒適性和避免共振現(xiàn)象的發(fā)生，必須計算動力總成懸置系統(tǒng)的模態(tài)及解耦，以期達到良好的隔振效果和整車舒適性。該計算工作量很大，很難人工完成。所以，工程師會借助于強大的數(shù)學計算軟件或物理建模軟件完成相關計算。這些軟件往往是商用的，計算成本較高。本文將介紹如何利用辦公電腦必備的辦公軟件EXCEL，完成動力總成懸置系統(tǒng)模態(tài)及解耦的計算。基于EXCEL的計算結果與基于MATLAB的計算結果做對比，說明計算精度的一致性。這種利用EXCEL自帶的函數(shù)庫完成某些功能件的分析計算的方法，值得其他功能區(qū)域去探索和實踐，以便降低開發(fā)成本，緩解計算資源的緊張。

1 動力總成懸置系統(tǒng)模態(tài)及解耦計算公式簡介

2 在EXCEL表中的計算方法實現(xiàn)

根據(jù)動力總成懸置系統(tǒng)模態(tài)求解公式（7）和解耦率求解公式（9）可知，涉及在EXCEL表中構建矩陣，求解逆矩陣、求解矩陣乘積、求解矩陣特征值和特征向量等。在本文中，將結合某公司設計的一款車型懸置，重點介紹如何在EXCEL表中求解矩陣的逆、矩陣的乘積、矩陣的特征值和特征向量等。

2.1 逆矩陣的計算方法

在EXCEL表中，求解矩陣的逆可以用函數(shù)MINVERSE（）。在本文中，將利用該函數(shù)求解廣義質量矩陣M的逆矩陣。在公司開發(fā)的車型中，動力總成的質量矩陣如圖1所示，利用函數(shù)MINVERSE（）計算其逆矩陣如圖2所示。

2.2 矩陣乘積的計算方法

在EXCEL表中，求解兩個矩陣乘積的函數(shù)為MMULT（）。在本文中，利用該函數(shù)求解矩陣A=M-1×K（見公式8）。動力總成懸置系統(tǒng)的廣義剛度矩陣如圖3所示，利用函數(shù)MMULT（）計算的矩陣A結果如圖4所示。

2.3 矩陣特征值的計算方法

在EXCEL表中，無直接計算矩陣特征值的函數(shù)。但可以借助EXCEL表的其他函數(shù)，實現(xiàn)求解矩陣的特征值。設矩陣A的特征值構成的行列式為Y，并將A看作行列式，則存在行列式A-Y=0。一般，各車型的動力總成的質量在130～180 kg，其對應的矩陣A的特征值Y的取值范圍在1 000～14 000。為了能夠處理更輕的動力總成和更重的動力總成，我們可以適當放大特征值Y的取值范圍。本文設特征值的取值范圍在510～30 000。

可以按照從小到大的順序求解特征值Y。我們先假設Y=510，代入行列式A-Y中，計算行列式A-Y的值。然后逐漸增大Y值，并依次計算行列式A-Y的值。當行列式A-Y=0時，則對應的Y值就是矩陣A的特征值。我們會在510～30 000找到6個使行列式A-Y=0的Y值。但實際計算時存在一個難解的問題：即使Y以單位1來遞增，每次求行列式A-Y的值時，其值都不等于0。這說明，如果我們只將Y精確到個位數(shù)，是無法使行列式A-Y=0的。因此，我們需要取小數(shù)。但實踐證明，即使我們取到了小數(shù)點后5位，也不會使A-Y=0。Y以如此小的幅度遞增，會使計算量和計算數(shù)據(jù)變得龐大，甚至達到天文數(shù)字。一張EXCEL表最多含有1 048 576×16 384個單元格，即使將這些單元格都利用上，也可能無法完成如此巨大的計算。實踐證明，我們不需要十分精確的矩陣A的特征值，只要將其精確到10位，就可以保證動力總成懸置系統(tǒng)的模態(tài)與解耦率擁有足夠的精度。經(jīng)過與大型商業(yè)軟件MATLAB計算的結果對比，模態(tài)的精度可以達到0.1 Hz，解耦率的精度可以達到0.2。該精度完全滿足任何車型的動力總成懸置系統(tǒng)的設計要求。將特征值精確到10位，可以極大地減少計算量。我們只需要完成（30 000-510）/10+1=29 950次計算。這樣的計算次數(shù)，EXCEL表可以在數(shù)秒內完成。

精確到10位，意味著求解特征值Y的近似值。在計算過程中，肯定會發(fā)生這種情況：當Y=Yn時，A-Yn<0;當Y=Yn+1時，A-Yn+1>0，則特征值就介于Yn與Yn+1之間。所以，我們可以令特征值近似的為Y=（Yn+Yn+1）/2。這樣，我們就求出了矩陣A的近似特征值。其中，n=1，2，3，…，29 950;Yn+1=Yn+10。

首先在EXCEL表中構建特征值行列式Y，從510開始，以10為單位步長累加（如圖5和圖6所示）。然后計算行列式A-Y的值（如圖7和圖8所示）。計算行列式的值要用到函數(shù)MDETERM（）。最后判斷（A-Yn）×（A-Yn+1）是否小于0，凡是小于0的，則?。╕n+Yn+1）/2為矩陣A的近似特征值。這樣，我們就計算出了矩陣A的所有近似特征值，重新命名其為eig，其值為（1 475 2 655 3 705 4 835 8 845 10 235）T。

2.4 矩陣特征向量的計算方法

求得矩陣A的特征值后，需要求解特征值對應的特征向量。同樣，EXCEL沒有求解特征向量的函數(shù)。本文利用逆冥法[3]求解特征向量，其方法見公式（10），其中i=1，2，…，6，I為6×6階的單位矩陣，每個特征值對應的初始特征向量為單位向量R0=[1 1 1 1 1 1]T，每次迭代后的特征向量為Rn（n=1，2…）。MAX|Xn|為數(shù)列Xn中極值的取正。按照公式（10）進行迭代計算，當相鄰兩次迭代Rn-1和Rn近似相等時，則Rn即為矩陣A的一個特征值對應的特征向量。

（A-eigi×I）Rn-1=XnRn=Xn/MAX|Xn（10）

以eig1為例，在EXCEL表中簡單介紹其對應的特征值計算方法。根據(jù)式（10），在EXCEL表中利用函數(shù)MMULT（（MINVERSE（A-eig1*I），R0））求出X1.利用函數(shù)MAX（ABS（）），求出MAX|Xn|和R1。然后，迭代下去，依次計算X2、R2、X3、R3……最后發(fā)現(xiàn)，第九次和第十次迭代后，R9和R10在小數(shù)點后7位都是相同的，所以確定了eig1對應的特征向量為第10次迭代的結果R10，并重新命名為V1=[-0.001 062 906 1 -0.000 659 385 0.515 210 046 -0.173 737 188 0.052 904 115]T。

同理，依次計算出其他5個特征向量：

V2=[0.017 934 073 -0.000 286 984 1 0.013 295 751 -0.437 069 402 -0.078 468 667]T

V3=[0.664 140 6 -0.001 388 5 -0.025 148 703 0.081 674 249 -1 -0.456 414 39]T

V4=[0.045 221 658 0.003 542 984 0.012 140 699 -0.066 572 212 1 0.155 561 787]T

V5=[0.025 497 281 -0.009 717 558 -0.000 166 081 0.105 893 448 -0.079 668 001 1]T

V6=[-0.003 851 884 -0.030 347 53 0.001 081 269 1 -0.090 717 755 -0.172 696 521]T

2.5 動力總成懸置系統(tǒng)模態(tài)和解耦率的計算結果

根據(jù)公式（7），其在EXCEL表中的實現(xiàn)函數(shù)為SQRT（TRANSPOSE（eig））/（2*PI（）），求出動力總成懸置系統(tǒng)的六階頻率為ω=（6.11，8.20，9.69，11.07，14.97，16.10）。再根據(jù)公式（9）和前述求得的特征向量，可以在EXCEL表中計算出動力總成懸置系統(tǒng)的解耦率和六階模態(tài)對應的方向。這個在EXCEL表中都是利用現(xiàn)有函數(shù)實現(xiàn)，難度不大，因篇幅限制，在此不予介紹。最終結果如圖9所示（Fore/Aft代表前后方向X，Lateral代表左右方向Y，Bounce代表上下方向Z，Roll代表繞X軸旋轉的方向，Pitch代表繞Y軸懸置的方向，Yaw代表繞Z軸懸置的方向）。

3 結果驗證

MATLAB因其強大的數(shù)據(jù)處理，尤其是對矩陣的處理，被廣泛應用于各種工程領域。本文將利用事先在MATLAB中編制好的動力總成懸置解耦程序，用于檢驗基于EXCEL計算結果的準確性。計算結果如圖10所示。對比圖9和圖10可知，頻率偏差在0.1 Hz以內，解耦率偏差在0.2以內（MATLAB的解耦率表示方法采用的是小數(shù)表示，EXCEL的解耦率表示方法采用的是百分數(shù)，對比時需要注意）。這樣的精度，足以滿足和保證動力總成懸置系統(tǒng)的模態(tài)和解耦率計算的精度要求。

4 結論

利用EXCEL表可以進行矩陣求解特征值和特征向量的計算，進而求解動力總成懸置系統(tǒng)的模態(tài)和解耦率。

整個計算過程（包含參數(shù)輸入）需要1～2 min。這與基于MATLAB的計算時間基本一致或接近。

經(jīng)過與基于MATLAB的計算結果對比，計算精度與MATLAB保持一致，足以滿足動力總成懸置系統(tǒng)的模態(tài)和解耦率計算的需求。

參 考 文 獻

[1]范讓林，呂振華.汽車動力總成三點式懸置系統(tǒng)的設計方法探討[J].汽車工程，200（3）：304-308.

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[3]李慶楊，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].北京：清華大學出版社，2011：308-312.