梁鴻輝

(福建省龍巖第一中學(xué) 福建 龍巖 364000)

對(duì)勾函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一種典型函數(shù)，其形式為

圖1 對(duì)勾函數(shù)圖像

高中階段大家所熟知的均值不等式，其取等時(shí)的值正是與對(duì)勾函數(shù)的極值相對(duì)應(yīng)，關(guān)于均值不等式在物理中的應(yīng)用已經(jīng)非常多了，如文獻(xiàn)[1]就對(duì)此作了詳細(xì)的分析，但是這些僅僅是利用均值不等式取等時(shí)的值，當(dāng)物理量的變化導(dǎo)致無(wú)法取等時(shí)，學(xué)生對(duì)物理量的判斷往往束手無(wú)策，本文正是研究此類(lèi)型問(wèn)題．

1 巧用對(duì)勾函數(shù)比速度

【例1】如圖2所示，斜面體固定不動(dòng)，一輕質(zhì)彈簧沿光滑斜面放置，下端固定在斜面底部擋板上．分兩次將質(zhì)量為m1和m2(m2>m1)的兩物塊從斜面上不同位置靜止釋放，兩次運(yùn)動(dòng)中彈簧的最大壓縮量相同(彈簧始終在彈性限度范圍內(nèi))．物塊從開(kāi)始釋放到速度第一次減為零的過(guò)程，則( )

A．m1開(kāi)始釋放的高度高

B．m1的重力勢(shì)能變化量大

C．m2的最大速度小

D．m2的最大加速度小

圖2 例1題圖

答案：A，C，D.

本題的選項(xiàng)C無(wú)法直接判斷，用常規(guī)方法也不容易得出物塊質(zhì)量與最大速度的關(guān)系．但是通過(guò)能量關(guān)系列式，采用對(duì)勾函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)可以做出準(zhǔn)確的判斷.

解析：設(shè)彈簧的最大壓縮量為A，平衡位置時(shí)壓縮量為x0,最大速度為vm，則平衡位置

mgsinθ=κx0

(1)

系統(tǒng)能量守恒有

(2)

由式(1)、(2)得

(3)

圖關(guān)系圖像

2 巧用對(duì)勾函數(shù)比時(shí)間

A.紫光用的時(shí)間較長(zhǎng)

B.紅光用的時(shí)間較長(zhǎng)

C.兩者所用的時(shí)間相等

D.無(wú)法比較

答案：A.

解析：光路圖如圖4所示，折射率公式

(4)

圖4 光束通過(guò)平行玻璃板光路圖

速度公式

(5)

則光在玻璃板內(nèi)傳播的時(shí)間

(6)

式(6)并不能直接判斷出t和n之間的變化關(guān)系，但是市面上大部分練習(xí)答案都直接給出n較大則t也更大，這顯然是沒(méi)有對(duì)式(6)進(jìn)一步討論的結(jié)果．

實(shí)際上可令

(7)

則有

n2=m2+sin2i

(8)

將式(8)代回式(6)并整理得

(9)

3 巧用對(duì)勾函數(shù)比功率

圖5 例3題圖

解析：桿MN上電動(dòng)勢(shì)

ε=Blv

(10)

桿MN接入電路電阻

(11)

由歐姆定律得

(12)

聯(lián)立式(10)、(11)、(12)得

(13)