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        淺析帶電粒子在重力和洛倫茲力作用下的運(yùn)動(dòng)
        ——對(duì)一道高考題的再思考

        2019-06-29 07:33:56賈彥峰賈雅惠
        物理通報(bào) 2019年7期

        賈彥峰 賈雅惠

        (河北省井陘縣第二中學(xué) 河北 石家莊 050301) (鄭州輕工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 河南 鄭州 450002)

        在筆者的腦海里總有一個(gè)問(wèn)題在縈繞,只要閑下來(lái)的時(shí)候,總會(huì)琢磨它.它就是2008年高考江蘇物理單科卷第14題.各種雜志刊登了許多老師的文章,對(duì)該試題從不同角度進(jìn)行了評(píng)析,讓筆者受益匪淺.但筆者更想知道:帶電粒子在重力和洛倫茲力作用下做何種運(yùn)動(dòng).盡管小球在變力作用下的運(yùn)動(dòng)不是高中物理探究的問(wèn)題,但作為一名物理教師應(yīng)該對(duì)此問(wèn)題有所了解.下面是筆者對(duì)此問(wèn)題的思索.

        1 提出問(wèn)題

        【原題】(2008年高考江蘇卷第14題)在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,一質(zhì)量為m,帶正電q的小球在O點(diǎn)靜止釋放,小球的運(yùn)動(dòng)曲線如圖1所示.已知此曲線在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到x軸距離的2倍,重力加速度為g.求:

        (1)小球運(yùn)動(dòng)到任意位置P(x,y)的速率v;

        (2)小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中第一次下降的最大距離ym;

        提出問(wèn)題:由靜止釋放的帶電小球在水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做何種運(yùn)動(dòng)?小球運(yùn)動(dòng)曲線為什么如圖1所示?此曲線是何種曲線?

        圖1 小球的運(yùn)動(dòng)曲線

        2 探究小球運(yùn)動(dòng)的軌跡方程

        沿水平向右方向建立x軸,豎直向下方向建立y軸,z軸垂直紙面向里(未畫出).

        在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B沿z軸正方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,一質(zhì)量為m,帶正電q的小球在O點(diǎn)靜止釋放,小球運(yùn)動(dòng)到位置P時(shí)受力如圖2所示.

        圖2 小球運(yùn)動(dòng)到位置P時(shí)受力情況

        小球受力

        則小球的運(yùn)動(dòng)微分方程為

        (1)

        (2)

        (3)

        由式(1)得

        兩邊積分

        (4)

        式(4)代入式(2)整理得

        (5)

        式(5)對(duì)應(yīng)的齊次方程為

        它的特征方程為

        由于λ=0不是特征方程的根,所以應(yīng)設(shè)特解為

        y*=b0

        代入式(5)得

        非齊次方程式(5)的通解為

        (6)

        代入式(6)得

        (7)

        式(7)代入式(4)得

        兩邊積分得

        把t=0時(shí),x=0代入,得C=0,則

        (8)

        則式(7)、(8)可寫作

        y=R(1-cosθ)

        (9)

        x=R(θ-sinθ)

        (10)

        由式(3)及初始條件得z=0.

        至此,我們得到了小球的軌跡方程.那么小球的軌跡到底是怎樣的曲線呢?

        3 擺線的運(yùn)動(dòng)方程

        擺線(cycloid)是數(shù)學(xué)中眾多的迷人曲線之一.它是這樣定義的:一個(gè)圓沿一直線緩慢地滾動(dòng),則圓上一固定點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的軌跡稱為擺線,又稱圓滾線、旋輪線.

        以圓上定點(diǎn)的初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn),定直線為x軸.當(dāng)圓滾動(dòng)t角以后,圓上定點(diǎn)從O點(diǎn)位置到達(dá)P點(diǎn)位置.當(dāng)圓滾動(dòng)一周,即t從零變動(dòng)2π時(shí),動(dòng)圓上定點(diǎn)描畫出擺線的第1拱.再向前滾動(dòng)一周, 動(dòng)圓上定點(diǎn)描畫出第2拱,繼續(xù)滾動(dòng),可得第3拱,第4拱……,所有這些拱的形狀都是完全相同的 ,每一拱的拱高為2a(即圓的直徑),拱寬為2πa(即圓的周長(zhǎng)),如圖3所示.

        圖3 擺線

        擺線的方程為

        x=a(t-sint)

        y=a(1-cost)

        其中a為圓的半徑,t是圓的半徑所經(jīng)過(guò)的弧度(滾動(dòng)角).

        4 結(jié)論

        由以上討論可知,小球在重力和豎直平面內(nèi)的洛倫茲力共同作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡為擺線.如果把重力換成電場(chǎng)力,可以用同樣的方法討論,得出帶電粒子在電場(chǎng)力和洛倫茲力共同作用下的軌跡方程.

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