鄭漢聰

【摘要】在建立以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，直觀想象有利于促進學(xué)生的知識與能力形成，有利于提高學(xué)生分析和解決問題能力，從而養(yǎng)成良好數(shù)學(xué)思維習(xí)慣、創(chuàng)新意識以及欣賞數(shù)學(xué)之美.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);直觀想象

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年）》著重提出要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，無論進行怎樣的課程改革，如果要用一句話描述數(shù)學(xué)教育的根本，那就是培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)直觀”.因為數(shù)學(xué)的結(jié)論是“看”出來的，不是“證”出來的，依賴的是“數(shù)學(xué)直觀”，要如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)呢？筆者結(jié)合自身經(jīng)驗，談?wù)剬?shù)學(xué)直觀素養(yǎng)的培養(yǎng).

一、更新教學(xué)觀念，改變學(xué)習(xí)方式

高中數(shù)學(xué)新課標要求學(xué)生能夠積極主動地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，內(nèi)容包括：學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時，不能僅僅進行數(shù)學(xué)知識的被動接收、記憶以及模仿，還應(yīng)該在學(xué)習(xí)過程中注重合作交流、自主探索、閱讀自學(xué)等主動的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式.為了實現(xiàn)對高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)的要求，需要學(xué)生改變傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式.具體到高中生數(shù)學(xué)直觀能力的培養(yǎng)方面，更應(yīng)該要求學(xué)生能夠抓住數(shù)學(xué)直觀性思維的精髓.如，可以借助于計算機技術(shù)的優(yōu)勢，讓學(xué)生非?？焖俚貙⒁恍┖瘮?shù)、代數(shù)關(guān)系等直接轉(zhuǎn)換成圖形等直觀模式，通過學(xué)生在自主探索中發(fā)現(xiàn)直觀性思維的特點，以及與同學(xué)進行信息溝通與交流來快速掌握數(shù)學(xué)直觀這種思維方式.

二、培養(yǎng)學(xué)生使用直觀思維理解題目意思

有些數(shù)學(xué)題內(nèi)容抽象，關(guān)系復(fù)雜，給我們理解題意增添了困難，使正常的思維難以進行到底.對這類題目，要借助圖表或圖像的直觀分析理解題意，有助于將抽象內(nèi)容形象化，復(fù)雜關(guān)系條理化.使思維有相對具體的依托，便于深入思考，發(fā)現(xiàn)解題線索.

例1 （2010年福建卷文科22題）已知函數(shù)f（x）=13x3-x2+ax+b的圖像在點P（0，f（0））處的切線方程為y=3x-2.

（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值;

（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）+mx-1是[2，+∞）上的增函數(shù).

（ⅰ）求實數(shù)m的最大值;

（ⅱ）當(dāng)m取最大值時，是否存在點Q，使得過點Q的直線若能與曲線y=g（x）圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等？若存在，求出點Q的坐標;若不存在，說明理由.

解析 第（Ⅰ）問相對簡單，容易求得實數(shù)a=3，b=-2.第（Ⅱ）問的（?。?，由“g（x）=f（x）+mx-1是[2，+∞）上的增函數(shù)”可得g′（x）≥0在[2，+∞）恒成立，求得m的最大值為3;

第（Ⅱ）問的（ⅱ）難度較大，“是否存在點Q，使得過點Q的直線若能與曲線y=g（x）圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等”，這句話是什么意思，如何理解？我們對題目意義可以從直觀上予以理解，不難得知：

（1）函數(shù)y=g（x）的圖像不變，直線在變;

（2）直線在變，但直線與曲線y=g（x）圍成兩個封閉圖形的面積總相等;

（3）如何才能總相等？

顯然，只有當(dāng)直線過函數(shù)圖像的中心.

至此，問題明朗.只要判斷函數(shù)是否為中心對稱圖形？若是，則所找的點即為函數(shù)圖像的中心.

接下來，我們考查函數(shù)的解析式.可以把函數(shù)g（x）=13x3-x2+3x-2+3x-1看作是由函數(shù)h（x）=13x3-x2+3x-2和函數(shù)φ（x）=3x-1復(fù)合而成的.由于三次函數(shù)存在對稱中心，反比例函數(shù)也存在對稱中心，所以我們只要判斷h（x）和φ（x）的中心一致即可.

如何判斷呢？還得從直觀意義上理解.

直觀1：由于g（x）存在唯一的極大值點x=0與唯一的極小值點x=2，感知圖像上的點P（0，-5）與Q2，173連線的中點1，13，即為y=g（x）的對稱中心.

直觀2：由分式函數(shù)φ（x）=3x-1的結(jié)構(gòu)特征，知其對稱中心的橫坐標為1，進而感知y=g（x）的對稱中心的橫坐標為1，只需證g（x）+g（2-x）為定值.

直觀3：由于三次函數(shù)h（x）=13x3-x2+3x-2的對稱中心為1，13，感知這應(yīng)該也是y=g（x）的對稱中心，只需證g（x）+g（2-x）為定值即可.

三、加強數(shù)形結(jié)合方法在直觀想象的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合是變換的一種，它是語言、符號信息和形象信息的轉(zhuǎn)換，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)時，應(yīng)該注意引導(dǎo)學(xué)生從抽象代數(shù)以及直觀幾何兩個方面的相互表征，注意數(shù)學(xué)知識中數(shù)與形的相互表征.

例2 求函數(shù)y=sinx-2cosx的值域.

解析 本題除了可以用三角函數(shù)有界求最值外，還可以根據(jù)函數(shù)式的特點，直觀想象到過兩點的直線的斜率公式，將原式中的y看作為過定點（0，2）與動點（cosx，sinx）的直線的斜率.其中動點（cosx，sinx）在圓x2+y2=1上，根據(jù)圓的相關(guān)知識容易求出y∈（-∞，-3]∪[3，+∞）.

四、注重實物模型演示直觀想象

空間想象能力是直觀想象素養(yǎng)的重要組成成分，空間想象能力的培養(yǎng)是學(xué)生直觀想象素養(yǎng)水平提升的前提保障.空間想象力是人們對幾何體的抽象思維品質(zhì).眾所周知，形象化的實物模型對抽象的幾何概念的學(xué)習(xí)有著舉足輕重的作用.因此，在教學(xué)過程中，教師要注重借助實物模型，促進學(xué)生對空間幾何體的認識歷經(jīng)由直觀感知、直觀表象、直觀想象的過程，從而發(fā)展學(xué)生的空間想象能力.

總之，在教學(xué)過程中，教師要根據(jù)學(xué)生實際、結(jié)合教材具體內(nèi)容，采取適當(dāng)?shù)闹庇^手段，將對教學(xué)效果和學(xué)生的素質(zhì)的全面發(fā)展有顯著的促進作用.

【參考文獻】

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