廣東省廣州市天河外國語學(xué)校(510630) 許澤然

近日,筆者在高三的一節(jié)解三角形最值問題的微專題復(fù)習(xí)課中,選用了2009年福建卷理科第18題,2011年新課標(biāo)全國卷理科第16題,2013年新課標(biāo)卷II第17題和2014年新課標(biāo)卷I理科第16題,這幾道題點(diǎn)燃了學(xué)生的思維,課堂上學(xué)生給出了很多精彩的解法,理清了問題的本質(zhì),收到很好的課堂效果.下面結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)際,談?wù)勀Ｐ突枷胂聦?jīng)典高考題的運(yùn)用的思考.

一.高考真題,經(jīng)典再現(xiàn)

題目1(2013年高考新課標(biāo)卷II第17題)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB,

(1)求B;(2)若b=2,求△ABC面積的最大值.

分析易得,又b=2,由余弦定理可得,,又a2+c2≥2ac,故,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號成立.因此,△ABC面積的最大值為.

題目2(2014年高考新課標(biāo)卷I第16題)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則△ABC面積的最大值為___.

分析由條件(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC得(2+b)(a-b)=(c-b)c,整理得b2+c2-bc=4,即,即.由b2+c2-bc=4,得4=b2+c2-bc≥bc,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號成立..因此,△ABC面積的最大值為.

題目3(2009年高考福建卷理科第18題)如圖1,某市擬在長為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動賽道,賽道的前一部分為曲線段OSM,該曲線段為函數(shù)y=Asinωx(A＞0,ω＞0),x∈[0,4]的圖象,且圖象的最高點(diǎn)為;賽道的后一部分為折線段MNP,為保證參賽運(yùn)動員的安全,限定∠MNP=120°.

圖1

(1)求A,ω的值和M,P兩點(diǎn)間的距離;

(2)應(yīng)如何設(shè)計(jì),才能使折線段賽道MNP最長?

分析本題第二問最終可轉(zhuǎn)化為在△MNP中,已知∠MNP=120°,MP=5,求MN+NP的最大值.本題既可以用正弦定理轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系通過三角函數(shù)求最值,也可以用余弦定理轉(zhuǎn)化邊的關(guān)系,利用基本不等式求最值.

題目1和題目2全面考查了三角恒等變換、正弦定理、余弦定理以及三角形的面積公式的運(yùn)用,題目3考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的能力.這三道題一脈相承,都可歸結(jié)為在△ABC中,若已知角C及其對邊c,求三角形中的最值問題.其通解是:

方法一可用“化角”的方法求形如sinB)的式子的取值范圍;

方法二可用余弦定理得含有a+b,ab及a2+b2的等式,再利均值定理化為以a+b或ab為變量的不等式求得a+b或ab的最值,從而可得三角形周長或面積的最值.

二.構(gòu)建模型,揭示背景

圖2

在解三角形中,這是一個(gè)很重要的模型,我們不妨稱之為“一邊及其對角”模型.由于只知道三角形的一邊及其對角,三角形的形狀未能確定.因此,“一邊及其對角”模型常常被用來命制與解三角形有關(guān)的最值問題.

以上高考題,在“一邊及其對角”模型下,是比較好理解的.如題目1和題目2中,三角形的一邊固定,另外一個(gè)頂點(diǎn)在其外接圓上運(yùn)動,要使三角形的面積最大,則只需要頂點(diǎn)到固定邊距離最遠(yuǎn)即可,即頂點(diǎn)在對邊的中垂線上.這種特殊狀態(tài)也是具有幾何直觀的對稱狀態(tài).題目3的最大值也是對稱位置.

三.深化模型,發(fā)散思維

題目4(2011年新課標(biāo)I卷理科第16題)在△ABC中,B=60°,則AB+2BC的最大值為___.

圖3

這道題在題目3的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步深化,從求線段和的最值,轉(zhuǎn)化為求帶有系數(shù)的線段和的最值.在解決的過程中仍可以結(jié)合常規(guī)方法解決.

解法1.由正弦定理切入,利用輔助角公式求最值

解法2.由余弦定理切入,利用三角換元求最值

根據(jù)余弦定理b2=a2+c2-2accosB,有a2+c2-ac=3.由a2+c2-ac=3,得,故設(shè)得c=2sinθ,,故,其中,故當(dāng),即時(shí),c+2a有最大值為.故AB+2BC的最大值為.

解法3:由余弦定理切入,利用線性規(guī)劃的思想求最值

由余弦定理可得,a2+c2-ac=3,設(shè)a=x+y,c=x-y,可得x2+3y2=3,由a＞0,c＞0得y＞-x,y＜x,故點(diǎn)(x,y)構(gòu)成的平面區(qū)域如圖4中所示,設(shè)z=c+2a=3x+y,當(dāng)直線y=-3x+z與橢圓x2+3y2=3在區(qū)域y＞-x,y＜x內(nèi)相切時(shí),z有最大值.由得28x2-18xz+3(z2-1)=0.由Δ=0,解得,故c+2a最大值為.

圖4

反思:加上系數(shù)的調(diào)控,本題從基本的解三角形問題升級為角或邊為變量的函數(shù)最值問題,總體的難度有所上升.同時(shí)本題蘊(yùn)含的函數(shù)思想、解三角形的角或邊的變量意識更為豐富,本題也可以采用判別式法或?qū)?shù)法求解,這里不贅述.

對于本題,原本模型構(gòu)建的幾何意義很難再應(yīng)用了.但若能結(jié)合一些平面幾何的基本定理,本題也能得到很好的幾何直觀解釋.

托勒密定理圓的內(nèi)接凸四邊形ABCD中,兩組對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.

如圖5所示,在劣弧AC選取一點(diǎn)D,由托勒密定理可知,AB×CD+BC×AD=AC×BD,點(diǎn)D在劣弧AC上移動,顯然存在某一位置,使得AD=2CD,此時(shí),在△ACD中,,由余弦定理可解得,故AC×BD,即.顯然當(dāng)BD為圓的直徑,即BD=2時(shí),AB+2BC的最大值為.

圖5

四.模型運(yùn)用,命題實(shí)踐

1.定量到變量,反溯條件

題目5(2019屆佛山一模理科第16題)△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且,若當(dāng)b,c變化時(shí),g(b,c)=b+λc存在最大值,則正數(shù)λ的取值范圍是___.

本題命制得非常精彩,從題目4中定系數(shù)的線段和轉(zhuǎn)化為含參系數(shù)的線段和,并由基本的求最值問題,轉(zhuǎn)化為逆向問題,反溯條件.在題4的幾何背景下,類比可得此題的圖形解釋,可得對應(yīng)AD能夠成為圓的直徑時(shí),g(b,c)=b+λc取得最大值.此時(shí)點(diǎn)D的臨界狀態(tài)位于圖6中D1和圖7中D2.

圖6

圖7

從常規(guī)解法來看,本題也是對正弦定理、余弦定理以及輔助角公式的深度挖掘,能很好的考察學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)品質(zhì).

2.與向量交匯,引入雙變量

筆者在參與2019屆廣州市天河區(qū)二模命題時(shí),也以“一邊及其對角”模型為背景,命制了填空題第16題.

題目6在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心,若,且,則m+n的最大值為___.

下面提供這道題的解析法做法,當(dāng)作對這類題目的解法補(bǔ)充.

方法1依題意有,c+2acosC=2b,由正弦定理可得,sinC+2sinAcosC=2sinB,可得A=,故△ABC外接圓的半徑,如圖8所示,以△ABC外接圓圓心為原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系,設(shè),則點(diǎn)A在優(yōu)弧BC上移動,可設(shè)A(cosθ,sinθ),則,故,又因?yàn)?當(dāng) sinθ=0時(shí),m+n=0,當(dāng)sinθ/=0時(shí),,故當(dāng)時(shí),m+n有最大值為,綜上,m+n的最大值為.

圖8

圖9

方法2(數(shù)形結(jié)合)如圖9,延長AO交BC于M,則由B,C,M三點(diǎn)共線,可得,且x+y=1.設(shè),又,則m+n=k.此時(shí)要求k的最大值,只需要最大即可,而為定值1,因此最小即可,此時(shí)AM⊥BC,即A在BC的中垂線上.

五.幾點(diǎn)思考

1.高三的教學(xué)很多時(shí)候是解題教學(xué),而解題教學(xué)中選題是很重要的,題目的選擇應(yīng)體現(xiàn)“典型性、針對性、層次性”.歷年的高考真題凝聚了命題專家的智慧,能夠反映高中數(shù)學(xué)的核心知識和方法,內(nèi)涵豐富.因此,高考題應(yīng)該是我們優(yōu)先選擇的對象.

2.孫維剛先生曾言,“一題多解,達(dá)到熟悉,多解同一,尋求共性,多解歸一,形成規(guī)律”.一題多解能夠有效訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維,能夠培養(yǎng)學(xué)生多方位、多角度、多途徑、多方式觀察和解決問題的能力.在高三的解題教學(xué)中,我們應(yīng)以一些經(jīng)典問題為載體,開展一題多解.同時(shí),要善于引導(dǎo)學(xué)生舉一反三,總結(jié)問題的本質(zhì)和規(guī)律,形成模型化的思想.在這個(gè)過程中,多解是突破口,但歸一才是最終方向.有生長力的解法才是我們需要給學(xué)生傳遞的.

3.對于高中教師而言,要深入研究高考題,體會高考題的背景以及立意,同時(shí)提升自己命題的能力.只有這樣,教師才能站在較高的角度開展解題教學(xué).