四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(641100) 蔣紅珠 劉成龍

問題再現(xiàn)已知x,y,z,m,n均為正實數(shù),且x2+y2=z2,求證:.

問題是數(shù)學(xué)的心臟,問題是研究的起點.好的數(shù)學(xué)問題能激發(fā)研究的欲望和熱情,引領(lǐng)數(shù)學(xué)研究活動的有序進行.上述問題是一個經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題,下文從數(shù)學(xué)美、素養(yǎng)立意、推廣三個視角對問題進行分析.

1.問題賞析—基于數(shù)學(xué)美的視角

數(shù)學(xué)是對自然界的抽象化描述,自然界的美無疑在數(shù)學(xué)模式中有所體現(xiàn),這就是數(shù)學(xué)內(nèi)容的規(guī)律性、有序性,如簡單、對稱、和諧、統(tǒng)一等,這些有序化特征構(gòu)成了數(shù)學(xué)的自由性本質(zhì),這就是所謂的“數(shù)學(xué)美”.對數(shù)學(xué)美的追求既是數(shù)學(xué)家從事創(chuàng)造活動的動力之一,又是他們判斷和選擇成功的重要標準,因而追求數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要因素.正如數(shù)學(xué)家馮諾伊曼強調(diào):“我認為數(shù)學(xué)家無論是選擇題材,還是判斷成功的標準主要都是美學(xué)的.”德國數(shù)學(xué)家外爾也指出:“我的工作就是努力把真與美統(tǒng)一起來;要是我不得不在其中選擇一個,我常常是選擇美.”[1]《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》(下文簡稱《標準》)指出:學(xué)會審美不僅可以陶冶情操,而且能夠改善思維品質(zhì).[2]文中的問題蘊含豐富的數(shù)學(xué)美,分析如下:

(1)簡潔美:問題敘述簡潔,整個試題幾乎是符號化的表述,具有簡潔美;

(2)對稱美:條件x2+y2=z2呈現(xiàn)的是對稱的形態(tài),反映出x,y兩字母地位的平等性.同時,在待求證目標中,也反饋出了m,n高度的對稱性.因此,無論是條件還是待證目標都具有對稱美;

(3)統(tǒng)一美:字母x,y,z,m,n被條件x2+y2=z2最終統(tǒng)一成結(jié)論,這一過程中通過運算,把五個看似無關(guān)的字母有序地進行了組合,具有統(tǒng)一美.

2.問題內(nèi)涵—基于素養(yǎng)立意的視角

2016年9月13日,中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)研究成果發(fā)布會在北京師范大學(xué)舉行,會上公布了中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)總體框架及基本內(nèi)涵,將學(xué)生核心素養(yǎng)定義為“學(xué)生應(yīng)具備的,能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.”[3]《標準》界定了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的成分,包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.[2]在此導(dǎo)向下,近年高考試題的立意由傳統(tǒng)的“知識立意”逐步轉(zhuǎn)向“素養(yǎng)立意”.上述問題以重要不等式、三角代換、向量、方程、復(fù)數(shù)、托勒密定理、點到直線的距離、三角形的面積等知識為載體,體現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等基本思想,突出邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的考查,能夠改善思維品質(zhì),能使學(xué)生適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.下面,從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)立意的角度,對文中的問題進行分析.

2.1 運用重要不等式法、三角代換法、向量法、方程法和復(fù)數(shù)法,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)

邏輯推理素養(yǎng)邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā),依據(jù)規(guī)則推出其它命題的素養(yǎng),主要包括兩類:一類是從特殊到一般的推理,推理形式主要有歸納、類比;一類是從一般到特殊的推理,推理形式主要有演繹,邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式,是數(shù)學(xué)嚴謹性的基本保證,是人們在數(shù)學(xué)活動中進行交流的基本思維品質(zhì).[3]

數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)數(shù)學(xué)運算是在明晰運算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程.主要包括:理解運算對象,掌握運算法則,探究運算方向,選擇運算方法,涉及運算程序,求得運算結(jié)果等.[3]

分析1:重要不等式法

分析2:向量法

由x2+y2=z2及不等式,將問題轉(zhuǎn)化為看成α=(x,y)與β=(m,n)的乘積,看成向量α=(x,y)與β=(m,n)模的乘積,由α·β≤|α|·|β|,立得.

分析3:三角代換法

由x2+y2=z2出發(fā),令x=zcosθ,y=zsinθ,,則zsinαcosθ+zcosαsinθ=zsin(α+θ)≤z.

分析4:方程法

由x2+y2=z2及不等式,將問題變形為,從結(jié)構(gòu)上看與一元二次方程的判別式相似,于是構(gòu)造關(guān)于t的方程(x2+y2)t2+2(mx+ny)t+m2+n2=0,即(xt+m)2+(yt+n)2=0,又因為x,y,m,n為正數(shù),所以 Δ=4(mx+ny)2-4(x2+y2)·(m2+n2)≤0,即

分析5:復(fù)數(shù)法

由已知條件x2+y2=z2且x,y,z,m,n均為正實數(shù),就聯(lián)想到復(fù)數(shù),令z1=m+ni,z2=x-yi,則

評注這些解法主要考查了學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng).推理和運算是最為基本的數(shù)學(xué)活動,在推理和運算中,促進數(shù)學(xué)思維發(fā)展,形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì),養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學(xué)精神.

2.2 運用幾何法,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)

直觀想象素養(yǎng)直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括:借助空間形式認識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立與數(shù)的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型,探索解決問題的思路.直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段,是探索和形成論證思路、進行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).[3]

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象,得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng).主要包括:從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)聯(lián),從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),并且數(shù)學(xué)語言予以表征.[3]

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)數(shù)學(xué)模型是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達問題,用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模過程主要包括:在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,分析問題、建立模型,確定參數(shù)、計算求解,檢驗結(jié)果、改進模型,最終解決實際問題.[3]

分析1:將問題抽象為圓內(nèi)接四邊形

圖1

圖2

分析2:將問題抽象為點到直線的距離

分析3:將問題抽象為三角形面積

含有x,y,m,n,z五個量的x2+y2=z2與m2+n2具有勾股定理的影子,容易抽象成直角三角形的邊.而mx、ny可看成直角三角形面積的二倍(如圖3).待證目標等價于.令CD=x,AC=y,BC=n,OC=m,由圖3知S△CDO+S△ABC=S△ABD-S△AOD,即,其中.于是化簡變形可得.

圖3

評注從分析1、2、3中可以看出,問題對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查十分深刻.在數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的考查中,引導(dǎo)學(xué)生不斷提高運用幾何圖形解決問題的意識、提升數(shù)形結(jié)合的能力、感悟事物的本質(zhì),培養(yǎng)創(chuàng)新思維.

3.問題拓展—基于推廣的視角

現(xiàn)代微分幾何之父陳省身指出歷史上數(shù)學(xué)的發(fā)展不外乎兩種途徑,一是增加對已知材料的了解,二是推廣已知材料的范圍.[4]其中,推廣已知材料的范圍即問題推廣.具體來講,問題推廣是指在一定范圍內(nèi)或一定層次上對問題進行拓展,使之在更大范圍或更高層次上成立,此外,也指對條件、結(jié)論進行結(jié)構(gòu)分析以后,進行適當變化,使得到的新命題為真.[5]問題推廣首先應(yīng)認清問題的成立條件或適用范圍;其次,需要把握條件或結(jié)論中呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu);最后,需要弄清解決問題的方法.文中所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題無論變元個數(shù)、次數(shù)、系數(shù),還是代數(shù)結(jié)構(gòu)都是推廣的視角.通過推廣擴大學(xué)生認知的范圍和水平,尤其在完善學(xué)生認知結(jié)構(gòu)、生成有意義的知識系統(tǒng)上有積極作用.

分析1:從“元”上推廣

問題條件”x2+y2=z2”呈現(xiàn)的是高度對稱的3元關(guān)系,很自然想到4元、5元、6元···n元關(guān)系下,相應(yīng)的結(jié)論還會成立嗎?

推廣1已知xi,ai,z均為正數(shù),其中i=1,2,···,n,n≥2且,且,則.

證明由柯西不等式得

又因為

所以

評注推廣1揭示了多變量間關(guān)系結(jié)構(gòu)的一致性,直接指向了多元變量蘊含規(guī)律的內(nèi)核.推廣1的證明方法是原問題證明方法的遷移,同時原問題證明方法對推廣方向有一定的指向性.推廣1的形成及證明過程對培養(yǎng)學(xué)生問題意識、創(chuàng)新意識、邏輯推理能力有積極作用.

分析2:從“次數(shù)”上推廣

問題條件”x2+y2=z2”呈現(xiàn)出的x,y,z地位“平等”,但結(jié)論中顯示出x,y,z地位不平等(x,y地位“平等”,與z的地位有差別),于是”x2+y2=z2”掩飾了x,y,z地位的不平等性,很自然想到真實的x,y,z所具有的地位(關(guān)系或結(jié)構(gòu))應(yīng)是怎樣的呢?

推廣2已知x,y,z,m,n,a均為正數(shù),且x2a+y2a=z2,則.

證明略.

評注推廣2揭示了多元變量間的關(guān)系特征的實質(zhì).這對學(xué)生回歸理性、認識數(shù)學(xué)本質(zhì)有引導(dǎo)作用.

分析3:從“元”、“次數(shù)”和“系數(shù)”上推廣

在推廣2的基礎(chǔ)上,很自然提出問題:推廣2保持了“x、y”的地位平等性(“x2a+y2a=z2”),打破“x、y”地位的平等性會有怎樣的結(jié)論呢?結(jié)合原問題的解答方法,為便于敘述,可以做以下推廣:

推廣3已知xi,ti,ai,mi,z,u均為正數(shù),其中i=1,2,···,n,n≥2且,且,則.

證明由柯西不等式

又因為

評注推廣3徹底打破了變元間的地位,進一步擴大了問題研究的范圍,呈現(xiàn)了結(jié)論的更一般結(jié)構(gòu).

數(shù)學(xué)家波利亞指出:一個有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付煩瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目,還不如適當?shù)剡x擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個方面,在指導(dǎo)學(xué)生解題的過程中,提高他們的才智與推理能力.文中所呈現(xiàn)的多角度分析正是通過對一個好的問題從不同層面反復(fù)、深入地剖析,實現(xiàn)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)美、感受數(shù)學(xué)內(nèi)涵、認識數(shù)學(xué)本質(zhì)、優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)的最佳方式.