廣東省佛山市高明區(qū)紀(jì)念中學(xué)(528500) 孟 弦

一、問題呈現(xiàn)

下面提供的是2018年全國(guó)高考卷(新課標(biāo)I理科)第19題題目:

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程;

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:∠OMA=∠OMB.證明過程從略.在上述解答過程中發(fā)現(xiàn),題目已知的橢圓外的點(diǎn)M恰好使得斜率之和為零,筆者不禁想問,推廣到一般情況時(shí),要使kMA+kMB=0成立,這個(gè)點(diǎn)M坐標(biāo)與橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng),短半軸長(zhǎng),焦半徑有怎樣的關(guān)系;如果推廣到其他圓錐曲線,是否會(huì)有類似的結(jié)論;當(dāng)直線AB是不過焦點(diǎn)的直線時(shí),是否存在一個(gè)點(diǎn)M,使得斜率之和依然為定值等等.

一、探究過程

探究1設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn).則在x軸上是否存在一點(diǎn)M使kMA+kMB=0恒成立.

有關(guān)如上問題,筆者從文獻(xiàn)[1]中了解到有下列性質(zhì).

結(jié)論1設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn).則在x軸上存在點(diǎn)使kMA+kMB=0恒成立.

結(jié)論2設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn).則在x軸上存在點(diǎn)使kMA+kMB=0恒成立.

結(jié)論3設(shè)拋物線C:y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn).則在x軸上存在點(diǎn)使kMA+kMB=0恒成立.

上述三個(gè)結(jié)論中的條件具有限制性,比如直線l要過焦點(diǎn)F,點(diǎn)M在x軸上.當(dāng)進(jìn)一步一般化時(shí),會(huì)有下列性質(zhì).其證明可參閱文[2].

結(jié)論4過定點(diǎn)P(t,0)(t/=0,t/=a)的直線l與雙曲線C:交于A,B兩點(diǎn).則存在點(diǎn)使得直線MA與MB的斜率之和為定值

結(jié)論5過定點(diǎn)P(t,0)(t/=0,t/=a)的直線l與橢圓C:交于A,B兩點(diǎn).則存在點(diǎn)使得直線MA與MB的斜率之和為定值

結(jié)論6過定點(diǎn)P(t,0)(t/=0)的直線l與拋物線C:y2=2px(p＞0)交于A,B兩點(diǎn).則存在點(diǎn)M(-t,n)(n∈R),使得直線MA與MB的斜率之和為定值

數(shù)學(xué)中有逆命題的概念,這種思想應(yīng)用到結(jié)論4上,會(huì)有漂亮結(jié)果出現(xiàn)嗎?

探究2已知雙曲線C:過平面內(nèi)不在雙曲線C上任一點(diǎn)M(x0,y0)(x0/=0,y0/=0)作兩條直線l1和l2,分別交雙曲線C于A,B兩點(diǎn)和D,E兩點(diǎn),兩直線的斜率滿足則直線AD,BE,AE,BD是否過定點(diǎn),如果有定點(diǎn)求出其坐標(biāo).

證明不妨先證明直線AD過定點(diǎn).當(dāng)直線AD的斜率不為0時(shí),設(shè)直線AD的方程為x=μy+t,設(shè)A(x1,y1),D(x2,y2).聯(lián)立方程得所以即由韋達(dá)定理得

所以

當(dāng)直線AD的斜率為0時(shí),設(shè)直線AD的方程為y=m,設(shè)A(x1,m),D(x2,m).聯(lián)立直線和雙曲線方程可得由韋達(dá)定理得x1+x2=0,x1x2=則化簡(jiǎn)可得即直線AD的方程為則直線恒過定點(diǎn)

結(jié)論7已知雙曲線過平面內(nèi)不在雙曲線C上任一點(diǎn)M(x0,y0)(x0/=0,y0/=0)作兩條直線l1和l2,分別交雙曲線C于A,B兩點(diǎn)和D,E兩點(diǎn),兩直線的斜率滿足則直線AD和直線BE恒過同一定點(diǎn),直線AE和直線BD恒過同一定點(diǎn),這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為和

雙曲線有如此完美定點(diǎn),橢圓和拋物線是否也有類似的結(jié)論呢?筆者通過探究,得到如下結(jié)論,探索方法與上面類似,過程省略.

結(jié)論8已知橢圓過平面內(nèi)不在橢圓C上任一點(diǎn)M(x0,y0)(x0/=0,y0/=0)作兩條直線l1和l2,分別交橢圓C于A,B兩點(diǎn)和D,E兩點(diǎn),兩直線的斜率滿足則直線AD和直線BE恒過同一定點(diǎn),直線AE和直線BD恒過同一定點(diǎn),這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為和

結(jié)論9已知拋物線C:y2=2px(p＞0),過平面內(nèi)不在拋物線C上任一點(diǎn)M(x0,y0)(x0/=0,y0/=0)作兩條直線l1和l2,分別交拋物線C于A,B兩點(diǎn)和D,E兩點(diǎn),兩直線的斜率滿足則直線AD和直線BE恒過同一定點(diǎn),直線AE和直線BD恒過同一定點(diǎn),這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x0,0)和