廣東省廣州大學(xué)附屬中學(xué)(510000) 韓智明

我們通常在進(jìn)行一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的時(shí)候必須要特別注意問(wèn)題的等價(jià)性,也就是需要同時(shí)考慮命題成立的充分性和必要性.但在很多時(shí)候,為了尋找解題突破口(尤其是突然有個(gè)猜想)時(shí),往往需要先利用必要條件(或充分條件)探路,然后隨后驗(yàn)證其充分性(或必要性),這就是必要性探路解題的思想方法.這種方法一般用于證明不等式恒成立問(wèn)題.大量的教輔資料及雜志涉及到必要性探路的題常常會(huì)引起一些讀者的質(zhì)疑,質(zhì)疑地是探路時(shí)取定義域里面的哪個(gè)數(shù)?為什么取那個(gè)數(shù)?怎樣操作?幾乎沒(méi)有一本數(shù)學(xué)資料說(shuō)清楚,因此此種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法一直不被廣大師生所接受和通用,也可能因?yàn)檫@與我們通常的解題思維區(qū)別較大,在找點(diǎn)的問(wèn)題上緣由沒(méi)有弄清楚.但在必要性探路解題活動(dòng)中,由必要條件得到的范圍是必須滿(mǎn)足的范圍,所以只需要限定在這個(gè)范圍內(nèi)進(jìn)行就可以,而如果同時(shí)又證明了這個(gè)范圍內(nèi)所有數(shù)都可以取到,那么這個(gè)過(guò)程在邏輯上就是嚴(yán)密的,也不失為一種巧妙的處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的好方法.然而在證明必要性時(shí)究竟取什么值?怎樣取值?一直是一個(gè)懸而未決的問(wèn)題,下面就讓我們一起去探個(gè)明白.

筆者在一次高三綜合測(cè)試中遇到一道這樣的導(dǎo)數(shù)壓軸題:

試題已知函數(shù)f(x)=axex-(a+1)(2x-1).

(1)若a=1,求函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程.

(2)當(dāng)x＞0時(shí),函數(shù)f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

大家看到這道題,當(dāng)然會(huì)想到很多方法,至少不少于四種通解通法,然而此題的參考答案是這樣給的:

解析(1)略.(2)因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí),函數(shù)f(x)≥0恒成立,所以f(1)≥0,所以.

解法1由題意,得f′(x)=a(x+1)ex-2(a+1).令f′(x)=h(x),則h′(x)=a(x+2)ex在x＞0時(shí)恒為正數(shù),所以函數(shù)h(x)即f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.而f′(0)=-2-a＜0,f′(1)=2ea-2a-2 ≥0,所以f′(x)存在唯一根x0∈(0,1],且函數(shù)f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)的極小值也是最小值為f(x0)=ax0ex0-(a+1)(2x0-1),故只需f(x0)≥0即可.由f′(x0)=0得a(x0+1)ex0-2(a+1)=0,即,代入上式可得,因?yàn)閤0∈(0,1],所以,所以f(x0)≥0恒成立,所以.

當(dāng)老師們看到這種解法后,感到方法巧妙地同時(shí)又有點(diǎn)蒙的感覺(jué),學(xué)生看到后更是百思不得其解,共同的疑惑是為什么要取值1,而不是其它的數(shù),而且代入1正好是參數(shù)的取值范圍,這就是證明不等式恒成立時(shí)所運(yùn)用的一種證明方法,即必要性探路法.縱觀各種教輔資料關(guān)于運(yùn)用必要性探路法證明不等式恒成立問(wèn)題的時(shí)候,從來(lái)都沒(méi)有把證明過(guò)程說(shuō)清楚,代什么數(shù)?為什么代某個(gè)數(shù)正好得到參數(shù)范圍?都是給出答案的人在幕后操作,很少走向前臺(tái),有些老師少于研究不知個(gè)中緣由,更不要說(shuō)接受教育的學(xué)生了.于是見(jiàn)到這種方法解題,多數(shù)老師直接避開(kāi)或?qū)ふ移渌慕忸}方法了,甚至教育學(xué)生不要用這種不好解釋的方法解題,放任學(xué)生的一片迷茫.我當(dāng)然也是一樣的心理,但作為傳道、授業(yè)的老師,解惑是我們的職業(yè),面對(duì)學(xué)生們的疑惑,我們責(zé)無(wú)旁貸地要弄清楚、想明白這種解題方法的來(lái)龍去脈,同時(shí)對(duì)老師自己的專(zhuān)業(yè)水平也是一個(gè)很大的提升.

思路探求題目答案中先取特殊值1的依據(jù)是什么?由當(dāng)x＞0時(shí),函數(shù)f(x)≥0恒成立,x取2時(shí)得到f(2)≥0,即為什么不是這個(gè)結(jié)果呢?這時(shí)有人會(huì)說(shuō)x取2時(shí)得到a的取值范圍在證其充分性的時(shí)候不成立,這樣一說(shuō)仿佛有道理,試問(wèn)我們是不是要把題目定義域范圍內(nèi)的數(shù)取遍然后逐一驗(yàn)證呢?這樣的話不現(xiàn)實(shí),關(guān)鍵還是要回到為什么x取1的問(wèn)題上來(lái).

首先我們觀察所證不等式的特征,由f(x)=axex-(a+1)(2x-1)≥0在(0,+∞)上恒成立轉(zhuǎn)化為axex-2(a+1)x+a+1≥0在(0,+∞)恒成立.即axex≥2(a+1)x-a-1,我們先可以假設(shè)g(x)=axex以直線h(x)=2(a+1)x-a-1為切線,設(shè)切線的切點(diǎn)為P(x0,y0),則由g′(x)=a(x+1)ex,h′(x)=2(a+1),得到解得

這時(shí)我們畫(huà)出兩函數(shù)圖像如圖1可知,當(dāng)取1時(shí)顯然是兩條曲線的臨界值,如果x取其它值就會(huì)把條件加強(qiáng),其得到的的取值范圍則是當(dāng)a取1時(shí)得到a的取值范圍的子集,故在本題中x應(yīng)該取1,只是出題人隱去了這一思維步驟,結(jié)合圖像和解答我們就明白為什么x取1,而不是其它數(shù)了.

圖1

其實(shí)根據(jù)這種解法,先用必要性探路找a的取值范圍時(shí),做題之前是要做很多功夫作鋪墊的,當(dāng)確定a的范圍后,第二步就只要證明其充分性滿(mǎn)足就可以了,其本質(zhì)是切線放縮和尋找切點(diǎn)的問(wèn)題,下面給出證明充分性的第二種證法.

解法2由f(x)=axex-(a+1)(2x-1)得f(x)=a(xex-2x+1)-2x+1.令M(x)=xex-2x+1,則M′(x)=(x+1)ex-2在(0,+∞)上單調(diào)遞增.因?yàn)镸′(0)=1-2=-1＜0,M′(1)=2e-2＞0,據(jù)零點(diǎn)存在定理可知,?x0∈(0,1)使得M′(x0)=0,即,易知M(x)min=,因?yàn)閤0∈(0,1),所以M(x0)＞0,即M(x)=xex-2x+1＞0.所以f(x)=a(xex-2x+1)-.令N(x)=xex-2ex+e,因?yàn)镹′(x)=(x+1)ex-2在(0,+∞)上單調(diào)遞增,由N′(1)=0易知N(x)min=N(1)=0,所以f(x)≥0.

方法點(diǎn)睛通過(guò)上面的剖析,我們知道必要性探路所取的值并不是隨意的,而是有“預(yù)謀”的,是經(jīng)過(guò)對(duì)不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化分析,尋找切點(diǎn),確定臨界值然后利用切線放縮證明其充分性成立,只是在一些運(yùn)用此法解題過(guò)程中沒(méi)有分析怎樣取值的問(wèn)題.

現(xiàn)在我們不妨通過(guò)這種思想方法去嘗試解幾道題.

題2已知函數(shù).

(1)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,函數(shù)f(x)和g(x)的圖像在x=x0處的切線總相等,求x0的值.

(2)若對(duì)?x＞0,不等式f(x)-g(x)≥1恒成立,求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.

思路探求第(1)問(wèn)顯然是第(2)問(wèn)的鋪墊,通過(guò)第(1)問(wèn)找出切線和切點(diǎn),為第(2)問(wèn)利用必要性探路法解題時(shí)直接可以得到取x=1.

解析(1)因?yàn)閒(x)=ax+,所以由題設(shè)知x0＞0且f′(x0)=g′(x0),即,所以,即,因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)a恒成立,所以解得x0=1,故x0=1.畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)圖像如圖2知,x=1是所取的臨界值.

圖2

(2)令h(x)=f(x)-g(x)-1(x＞0),只需證明h(x)≥0即可.由h(1)=f(1)-g(1)-1≥0得a≥1.下面證明當(dāng)a≥1時(shí),h(x)≥0成立即可.因?yàn)?令M(x)=x-lnx-1,則,易知M(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增.所以M(x)≥M(1)=0,所以h(x)≥M(x)≥0,即f(x)-g(x)≥1.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).

方法點(diǎn)睛利用第(1)問(wèn)找到的臨界值x=1代入原不等式得到參數(shù)a的取值范圍,然后證明不等式成立的充分性,整個(gè)解題利用放縮等處理方法顯得思路清晰,過(guò)程簡(jiǎn)潔.

題3已知函數(shù)f(x)=lnx-x2+ax,f(x)≤0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

思路探求此題屬于恒成立問(wèn)題,可以用必要性探路法處理,然而究竟首先取什么數(shù)呢?我們不妨對(duì)函數(shù)本身進(jìn)行處理,由f(x)=lnx-x2+ax=0得到lnx=x2-ax,令g(x)=lnx,h(x)=x2-ax,設(shè)兩個(gè)函數(shù)在x=x0處有公切線,求出此公切線的方程,此時(shí)取x=x0進(jìn)行必要性探路,求出的a值就是臨界值,就可以得到a的取值范圍,然后再證明其充分性.

圖3

解析設(shè)函數(shù)g(x)=lnx和h(x)=x2-ax的公切點(diǎn)為(x0,y0),則有,消a得,令φ(x)=lnx+x2-1(x＞0)可知其單調(diào)遞增,又因?yàn)棣?1)=0,故x0=1,a=1.畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)圖像如圖3知x=1是所取的臨界值.取x=1即f(1)≤0得到a≤1.下面證明當(dāng)a≤1時(shí)不等式恒成立.由f(x)=lnx-x2+ax≤lnx-x2+x,易證當(dāng)x＞0時(shí),lnx≤x-1,所以f(x)≤lnx-x2+x≤x-1-x2+x=-(x-1)2≤0,即證充分性成立,所以a≤1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤1.

方法點(diǎn)睛此題不同于題2,前者有第(1)問(wèn)做鋪墊,怎樣取值和取什么值在第(1)問(wèn)中通過(guò)求兩條曲線的切線和切點(diǎn)即可得到,先把不等式分成兩個(gè)函數(shù),先令它們有公切線和公切點(diǎn),求出其公切點(diǎn)即為運(yùn)用此方法解題所要取的x值,求出參數(shù)a的范圍,再代入原不等式證明其充分性成立,證明過(guò)程中運(yùn)用到了放縮法和形如lnx≤x-1經(jīng)典的不等式,整個(gè)解題步驟也是顯得干凈、利落.

題4已知函數(shù)

(2)f(x)≥g(x)在x＞0時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

圖4

思路探求第(1)問(wèn)略:第(2)問(wèn)如果用參變分離法或整體構(gòu)造函數(shù)處理的話,難度很大,加上含有三角函數(shù),求導(dǎo)非常復(fù)雜,如果用必要性探路法處理先要合理構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),通過(guò)觀察所證不等式可以轉(zhuǎn)化為證對(duì)?x＞0恒成立的問(wèn)題,為方便計(jì)算切線方程和切點(diǎn)坐標(biāo),可以化為證明成立.下面先令和 τ(x)=-ax相切,則設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為P(x0,y0),則有畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)圖像如圖4可知,是所取的臨界值.由下面證明充分性成立,當(dāng)時(shí),只要證明μ(x)=因?yàn)橛忠驗(yàn)樗援?dāng)時(shí),μ′(x)＜ 0,μ(x)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),μ′(x)＞ 0,μ(x)單調(diào)遞增.所以即μ(x)≥0,即證所以即實(shí)數(shù)a的取值范圍為

方法點(diǎn)睛處理恒成立問(wèn)題的方法較多,有些利用分參后求導(dǎo)難得較大,操作性不強(qiáng),此題運(yùn)用必要性探路法處理,解題思路清晰,邏輯性強(qiáng),是一種簡(jiǎn)化思維程序的好方法.教師在進(jìn)行解題活動(dòng)時(shí),不僅要教給學(xué)生某種解題方法,更要教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)恰當(dāng)?shù)剡x擇某種方法,從而習(xí)得某種解題策略,這對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有很大的提升.為找臨界值,合理地重新構(gòu)造函數(shù),求出兩個(gè)函數(shù)的公切線和公切點(diǎn),通過(guò)必要性探路得到參數(shù)的范圍,然后利用放縮或者求導(dǎo)證明不等式成立的充分性.整個(gè)思維流程脈絡(luò)明晰,一氣呵成,由此可見(jiàn)必要性探路是處理此題最佳的策略和方法.

通過(guò)以上幾個(gè)習(xí)題的解題分析,必要性探路法在解決恒成立問(wèn)題中應(yīng)該是一種不可或缺的解題策略,我們也更加清晰和明白它的應(yīng)用范圍和證明原理.我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)特別是數(shù)學(xué)解題教學(xué)活動(dòng)時(shí),不是一成不變的解題套路,當(dāng)套路被“套”的時(shí)候,我們要靈活地去選擇其它方法,其中一個(gè)首要任務(wù)就是教會(huì)學(xué)生怎樣思考問(wèn)題,怎樣審題、怎樣尋找解題的突破口以及靈活變通.當(dāng)學(xué)生遇到一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)問(wèn)題或是看到某個(gè)難題的奇妙的解法弄不懂時(shí),作為教學(xué)的組織者,我們除了傳道、授業(yè)以外,解惑也是一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié).在高三后期的復(fù)習(xí)備考中,訓(xùn)練的綜合性讓試題的難度和深度都有加大,特別是一些壓軸題的解題思路不容易發(fā)現(xiàn)甚至給學(xué)生不好講解,有些試題的解決處理方法多種多樣,當(dāng)遇到這種情況的時(shí)候,某些教師嚴(yán)格遵循復(fù)習(xí)資料的參考答案,拘泥于參考答案的方法,讓學(xué)生限于機(jī)械被動(dòng)的接受學(xué)習(xí)中,缺乏解題前的準(zhǔn)備,雙方的互動(dòng)和活動(dòng)鋪墊不夠,對(duì)學(xué)生的能力和知識(shí)儲(chǔ)備不了解,也就是說(shuō)沒(méi)有認(rèn)清學(xué)生已經(jīng)具備的認(rèn)知結(jié)構(gòu),這樣就根本就不能達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生解題思維的效果,結(jié)果是當(dāng)學(xué)生在每次遇到這種問(wèn)題時(shí)仍然是一籌莫展.

“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心所在,即在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì),要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題,今天我們把必要性探路法“探”了個(gè)明白,然而在漫長(zhǎng)的解題活動(dòng)中,還有很多問(wèn)題和陌生的領(lǐng)域需要我們?nèi)ヌ街?只有我們老師自己從觀念上明白了所教授的數(shù)學(xué)問(wèn)題的內(nèi)容和本質(zhì),才能教給學(xué)生真正的數(shù)學(xué),才能站在教學(xué)研究的制高點(diǎn),準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì),才能知道學(xué)生什么時(shí)候需要和需要什么的問(wèn)題,才能成為數(shù)學(xué)教育功能的執(zhí)行者和傳播者.