廣東省湛江一中培才學(xué)校(524037) 魏 欣

在近幾年各地高考中,三角函數(shù)最值問題屢屢受到命題者青睞.其出現(xiàn)的形式,或者是在小題中單純地考察三角函數(shù)的值域問題;或者是隱含在解答題中,作為解答題所考查的知識(shí)點(diǎn)之一;或者在解決某一問題時(shí),應(yīng)用三角函數(shù)有界性會(huì)使問題更易于解決(比如參數(shù)方程).解決這一類問題的基本途徑,一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性(如有界性等),另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)(二次函數(shù)等)最值問題.本文就2018年高考全國I卷理科數(shù)學(xué)第16題,分析出三角函數(shù)最值的通法,歸納出三角函數(shù)最值的求解的主要五種模型,并舉例歷年高考題介紹求三角函數(shù)的最值.

一、題目展示與分析

題目(2018年全國I卷理科第16題)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值為____.

解析已知f(x)為奇函數(shù),,T=2π,所以fmin(x)=-fmax(x).結(jié)合y=2sinx與y=sin2x圖像特點(diǎn)知,當(dāng)時(shí),f(x)可取到最大值.

方法一(求導(dǎo)法)當(dāng)時(shí),f′(x)=2cosx+2cos2x=2(2cosx-1)(cosx+1).當(dāng)時(shí),f′(x)＞0,當(dāng)時(shí),f′(x)＜0.所以,因?yàn)閒min(x)=-fmax(x),所以.所以f(x)的最小值為.如圖1所示.

圖1

評(píng)析用導(dǎo)數(shù)法求三角函數(shù)的最值是處理此類問題的通法,求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性,考慮到最大值易于理解與求解,就先求出最大值,再結(jié)合函數(shù)圖像的對(duì)稱性求出最小值,或許這種方法是命題者的初衷.

方法二(均值不等式法)當(dāng)時(shí),

評(píng)析用均值不等式法求三角函數(shù)的最值,先做恒等變換,再適當(dāng)配湊,然后利用四元均值不等式,算出最大值,再利用原函數(shù)圖像的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化為最小值,這種思路的難點(diǎn)在于積式的配湊,配湊的目的是用了均值不等式后要得到常數(shù),再考慮等號(hào)成立是否有意義,盡管具有一定的技巧性,但也不失為一種好方法.

二、高考題型歸類分析

在近幾年各地高考中,三角函數(shù)最值問題屢屢受到命題者青睞.三角函數(shù)的最值問題是對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用,一般題目給出的三角關(guān)系式往往比較復(fù)雜,必須進(jìn)行化簡后,再進(jìn)行歸納.下面歸納出三角函數(shù)最值的求解的主要五種模型及其解題通法.

(一)一次函數(shù)型

三角函數(shù)的最值問題的一次函數(shù)型主要是指可以化為基本類型y=asinx+b或y=acosx+b的問題,主要有以下五種模型.

模型1y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B

例1(2014年高考北京卷第16題第2小問)求在區(qū)間上的最大值和最小值.

解析因?yàn)?所以.于是,當(dāng),即時(shí),f(x)取得最大值0;當(dāng),即時(shí),f(x)取得最小值-3.

模型2y=asinx+bcosx+c

對(duì)于y=asinx+bcosx+c型的函數(shù),可通過輔助角公式,使函數(shù)轉(zhuǎn)化為(其中,再利用有界性加以解決.

例2(2016年高考上海卷)若函數(shù)f(x)=4sinx+acosx的最大值為5,則常數(shù)a=___.

解析由φ)(其中)的最大值為5,得,解得a=±3.

模型3y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x+d

這一模型的最值求法是通過降次轉(zhuǎn)化為模型2,其中利用降冪公式.

例3(2015年高考浙江卷文科)函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小值是___.

解析f(x)=sin2x+sinxcosx+1=

模型4y=sin(mx+α)±sin(mx+β)或y=cos(mx+α)±cos(mx+β).

這一模型的三角函數(shù),先用兩角和與差的正余弦公式展開,整理后可以轉(zhuǎn)化為模型2,化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式后,再求最值.

例4(2013年高考安徽卷)設(shè)函數(shù)f(x)=sinx+.(1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取最小值的x的集合;(2)略.

解析(1)即此時(shí)x的取值集合為.

模型5y=sin(mx+α)cos(mx+β)或y=sin(mx+α)sin(mx+β)

這一模型的三角函數(shù),先用兩角和與差的正余弦公式展開,再利用乘法運(yùn)算展開,整理后可以轉(zhuǎn)化為模型3,再化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式后,最后求最值.

例5(2013年高考北京卷第2問)求f(x)=在區(qū)間上的最大值和最小值.

解析

圖2:模型1-5的轉(zhuǎn)化關(guān)系

(二)二次函數(shù)型

模型6(同名)y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c

這里的同名是指二次項(xiàng)與一次項(xiàng)的三角函數(shù)名稱相同,這一模型的最值的求法是直接轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx或cosx的二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題.

例6(2016年高考全國卷II)函數(shù)f(x)=1-2sin2x+6sinx在上最大值和最小值之和為( )

解析,當(dāng)sinx=1時(shí),即時(shí),fmax(x)=5,當(dāng),即時(shí),.所以,故選C.

模型7(異名)y=asin2x+bcosx+c或y=acos2x+bsinx+c

這里的異名是指二次項(xiàng)與一次項(xiàng)的三角函數(shù)名稱不同,即一個(gè)是正弦另一個(gè)是余弦,這一模式的最值的求法是用公式sin2x=1-cos2x或cos2x=1-sin2x將其轉(zhuǎn)化為模型6.

例7(2011年高考北京卷理科)已知f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx,求函數(shù)f(x)的最大值與最小值.

解析因?yàn)?/p>

又因?yàn)閏osx∈[-1,1],所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)cosx=-1時(shí),f(x)max=f(-1)=6.

模型8(“正余弦三姊妹”聚會(huì))y=f(sinx±cosx,sinxcosx)整式型

“正余弦三姊妹”聚會(huì)是指在所求函數(shù)中出現(xiàn)sinx±cosx,sinxcosx三者中的兩個(gè)或三個(gè).這一模型的最值的求法是通過把三角函數(shù)化為代數(shù)函數(shù)求最值.

例8(2015年高考安徽卷文科16(2))已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx+sinx·cosx.求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.

解析令t=sinx+cosx,則,當(dāng)以當(dāng)所以當(dāng).

評(píng)注在換元時(shí),通常令t=sinx+cosx,則sinx·cosx=.

(三)分式函數(shù)模型

模型9

例9(2015年高考重慶卷改編)求函數(shù)f(x)=的最值.

圖3

解析,其幾何意義是過定點(diǎn)P(-2,0)和單位圓上的動(dòng)點(diǎn)Q(cosx,sinx)的直線的斜率,于是把求函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為求該直線斜率的最值問題.如圖,利用數(shù)形結(jié)合法,可知直線y=k(x+2)與單位圓x2+y2=1相_切時(shí)取得該直線斜率的最值.由,所以

(四)高次冪函數(shù)模型

對(duì)于y=asinnx+bcosmx型的函數(shù),往往也可以利用導(dǎo)數(shù)法來求最值.

例10(2008年高考安徽春季卷)函數(shù)f(x)=sin4x+cos2x的最大值為___.

解析對(duì)函數(shù)求導(dǎo),f′(x)=4sin3x·cosx-2cosx·sinx,令f′(x)=0,即4sin3x·cosx-2cosx·sinx=0,解得sinx=0或cosx=0或.當(dāng)sinx=0或cosx=0時(shí),f(x)=1,當(dāng)時(shí),.因此函數(shù)f(x)=sin4x+cos2x的最大值為1.

(五)對(duì)勾函數(shù)模型

例11(2012年高考上海春季卷)已知x∈(0,π),則函數(shù)的最小值為____.

解析此題為型三角函數(shù)求最值問題.因?yàn)閤∈(0,π),所以sinx＞0,當(dāng)a＞0時(shí),不能用基本不等式來求最值,可以利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性來求最值.設(shè)在(0,1]上為減函數(shù),故當(dāng)t=1時(shí),.所以函數(shù)的最小值為3.

用導(dǎo)數(shù)解三角問題的基本思路是“構(gòu)”、“導(dǎo)”、“令”、“得”:一、構(gòu)造函數(shù);二、求導(dǎo);三、設(shè)導(dǎo)數(shù)函數(shù)等于零或大于零或小于零;四、根據(jù)題意得出要求的結(jié)論.解題的關(guān)鍵是“得”,即如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)可以判斷單調(diào)性和求極大或極小值的性質(zhì)得到要求的結(jié)論.利用導(dǎo)數(shù)解三角往往可以避免用三角公式進(jìn)行繁瑣的三角變換從而減少計(jì)算量,不但過程簡單,而且方法新穎別致.通過練習(xí)可以增強(qiáng)知識(shí)之間的融會(huì)貫通,拓展知識(shí)面,對(duì)提高解題能力和培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)具有重要意義.

求三角函數(shù)最值問題,綜合性強(qiáng),解題方法靈活多樣,而且有的問題本身解法并不是各自獨(dú)立的,而是相互依存,又相互聯(lián)系;我們通過以上各種解題方法的探究,使我們對(duì)數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)美和辯證的關(guān)系有了進(jìn)一步的系統(tǒng)認(rèn)識(shí),對(duì)解這方面的題目能起到事半功倍的作用.